基于修正的G-K公式的组合机构自由度的计算_许兆棠.pdf

2023年 第47卷 第5期Journal of Mechanical Transmission基于修正的G-K公式的组合机构自由度的计算许兆棠（三江学院 机械与电气工程学院，江苏 南京 210012）摘要 用修正的Grbler-Kutzbach的机构自由度计算公式，计算组合机构的自由度，有时会产生错误的结果。为了正确计算组合机构的自由度，并考虑计算组合机构自由度的方法便于工程技术人员学习和应用，根据修正的Grbler-Kutzbach的机构自由度计算公式，导出组合机构自由度的计算公式，得到机构自由度的一般计算公式；提出计算组合机构自由度的注意事项，给出了组合机构划分为基本机构的方法，并给出了算例。修正的Grbler-Kutzbach的机构自由度计算公式只能用于1个基本机构的自由度计算及各个基本机构的公共约束相同的机构自由度计算；对于一般的组合机构，要用组合机构自由度的公式计算其自由度。组合机构自由度等于各个基本机构自由度的和。关键词 组合机构 自由度 计算 基本机构 公共约束Calculation of Mobility on Combined Mechanisms Based on the Modified G-Ks FormulaXu Zhaotang（School of Mechanical and Electrical Engineering，Sanjiang University，Nanjing 210012，China）Abstract Using the modified Grbler-Kutzbachs formula of mechanism mobility,the calculation of the mobility of combined mechanism may produce wrong results.In order to correctly calculate the mobility of combined mechanism,and to consider that the calculation method of the mobility of combined mechanism is convenient for engineers for study and application,according to the modified Grbler-Kutzbachs formula of the mechanism mobility,the calculation formula of mobility of combined mechanism is deduced.The general calculation formula of mobility of mechanism is obtained.The attentions of calculating mobility of combined mechanism are proposed.The method of dividing the combined mechanism into basic mechanisms is given.Numerical examples are given.The modified Grbler-Kutzbachs formula of mechanism mobility can only be used to calculate mobility of a basic mechanism,and to calculate mobility of combined mechanism in that each basic mechanism has the same common constraint.The mobility of general combined mechanism should be calculated by the calculation formula of mobility of combined mechanism.The mobility of combined mechanism is equal to the sum of the mobility of each basic mechanism.Key words Combined mechanismMobilityCalculationBasic mechanismCommon constraint0 引言修正的Grbler-Kutzbach的机构自由度计算公式（简称修正的 G-K 公式）早已编入中外许多教科书中1115-116242-48，并已为众多工程师所熟悉和运用。在机构自由度的计算中，用修正的G-K公式计算组合机构的自由度，有时会产生错误的结果，这给组合机构自由度的计算带来问题。图1（a）所示为曲柄滑块机构与双滑块机构的串联机构，机构自由度为1。其中，曲柄滑块机构与双滑块机构的自由度各为11124，机构串联后，根据运动传递关系，曲柄滑块机构的输出驱动双滑块机构，串联机构的自由度仍为1。用修正的G-K公式进行计算，机构公共约束为3，机构自由度为0，这与机构的实际自由度不符，机构自由度的计算结果是错误的。图 2（a）所示为 Delta 机构与驱动机构的混联机构，电动机1通过主动齿轮2和从动齿轮3驱动Delta文章编号：1004-2539（2023）05-0062-05DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2023.05.01162第5期许兆棠：基于修正的G-K公式的组合机构自由度的计算机构。其中，Delta机构的自由度为31130-13335-9，每个驱动机构的自由度为1；机构混联后，根据运动传递关系，每个驱动机构的输出驱动Delta机构的1个曲柄4，使混联机构的自由度为3。用修正的G-K公式进行计算，连杆5和连杆6分别有绕其轴线转动的局部自由度，去局部自由度后，机构公共约束为0，机构自由度为-6，这与机构的实际自由度不符，机构自由度的计算结果是错误的。产生上述计算结果错误的原因，是修正的G-K公式只能用于计算1个基本机构的自由度，以及各个基本机构的公共约束相同的组合机构的自由度。对于图 1、图 2 中基本机构的公共约束不同的组合机构，需要用该修正公式导出组合机构自由度的计算公式，并使用公式的注意事项，才能得到正确的计算结果。机构自由度的计算公式有很多1118-119293-964-5651-637，主要是针对基本机构的自由度进行计算。其中，用到螺旋理论1121-1352104-108、机构的拓扑结构学648-54、线性变换理论8、群论9等。相比较之下，修正的G-K公式比较简单，能较好地用于基本机构自由度的计算1115-116 242-48，90-9510，且易于工程技术人员学习和应用，这为组合机构自由度的计算提供了基础。为了准确计算组合机构的自由度，并考虑计算组合机构自由度的方法便于工程技术人员学习和应用，本文根据修正的G-K公式导出组合机构自由度的计算公式，提出计算组合机构自由度的注意事项，划分了组合机构，给出了由两个基本机构组合的机构自由度的算例。1 组合机构自由度的计算公式及其使用注意事项1.1组合机构自由度的计算公式设机构共有N个构件，除去机架，共有n=N-1个活动构件；g为运动副的数目；fi为第i个运动副的自由度；为公共约束；v为冗余约束数；为局部自由度数；F为机构的自由度。则修正的 G-K 公式为1119293F=(6-)(n-g)+i=1gfi+v-（1）不同或相同的机构组合在一起，成为组合机构。因此，可将组合机构分为多个基本机构，由式（1）分别计算其自由度后再相加，得到整个机构自由度的计算公式及其自由度。（a）曲柄滑块机构与双滑块机构的串联机构（b）曲柄滑块机构（c）双滑块机构1.机架；2.曲柄；3.连杆；4.水平滑块；5.垂直滑块。图1曲柄滑块机构与双滑块机构Fig.1Crank slider mechanism and double slider mechanism（a）Delta机构与驱动机构的混联机构（b）Delta机构 （c）驱动机构1.电动机；2.主动齿轮；3.从动齿轮；4.摇杆；5.上连杆；6.下连杆；7.动平台。图2Delta机构与其驱动机构Fig.2Delta mechanism and driving mechanism63第47卷将机构的活动构件数n分为n1和n2，n=n1+n2，则机构为n1和n2个活动构件的组合机构。再将机构的运动副数g分为g1和g2，g=g1+g2；公共约束分为1和2，=1 2；冗余约束数v分为v1和v2，v=v1+v2；局部自由度数分为1和2，=1+2。将式（1）分别用于n1和n2个活动构件的机构，再相加，得两个不同公共约束的组合机构自由度的计算公式为F=(6-1)(n1-g1)+i=1g1fi+v1-1+(6-2)(n2-g2)+i=1g2fi+v2-2=F1+F2（2）式中，F1为n1个活动构件的机构自由度，F1=(6-1)(n1-g1)+i=1g1fi+v1-1；F2为n2个活动构件的机构自由度，F2=(6-2)(n2-g2)+i=1g2fi+v2-2。如果一个机构由公共约束等于3的平面机构和公共约束数为的空间机构组合而成，取机构中平面机构的活动构件数为np，空间机构的活动构件数为nk，则机构的活动构件数n=np+nk。将式（2）中的n1改为np，n2改为nk，g2改为gk；取pL、pH分别为平面低副数和平面高副数。得公共约束等于3的平面机构和公共约束数为的空间机构自由度的计算公式为F=3np-2pL-pH+v1-1+(6-)(nk-gk)+i=1gkfi+v2-2（3）式（2）是由两个基本机构组合而成的组合机构的自由度计算公式，该式表明，由两个基本机构组合而成的组合机构的自由度等于其基本机构自由度的和。由此扩大到多个基本机构组合而成的组合机构自由度的计算。由多个基本机构组合而成的组合机构自由度，等于其各个基本机构自由度的和，即F=F1+F2+Fm（4）式 中，组 合 机 构 共 有m个 基 本 机 构，Fj=(6-j)(nj-gj)+i=1gjfi+vj-j，Fj、nj、gj、j、vj、j分别为第j个基本机构的自由度、活动构件数、运动副数、公共约束、冗余约束数和局部自由度数，j=1，2，m。多个基本机构组合而成的组合机构是机构的一般形式，因此，式（4）是机构自由度的一般计算公式。一个机构可能是一个组合机构，也可能是一个基本机构，均可用式（4）计算机构的自由度。当一个机构是基本机构时，式（4）退化为式（1）。1.2计算组合机构自由度的注意事项由式（1）和式（2），得计算组合机构自由度的注意事项：1）当n1和n2的机构的公共约束的形式相同且相等时，1=2=，g1=g2=g，由式（2）可得式（1），或者说，式（2）退化为式（1），可用式（1）计算组合机构的自由度；当n1和n2的机构的公共约束为 0 时，1=2=0，由式（2）也可得式（1），也可用式（1）计算组合机构的自由度；当1 2时，式（2）不会退化为式（1），只能用式（2）计算组合机构的自由度，或用式（1）分别计算n1和n2的机构自由度，再根据运动传递关系，得组合n1和n2的机构自由度。2）对于n=g多分支的开链机构，由于n-g=0，式（1）中第1项为0，或将n分为n1和n2，g分为g1和g2，式（2）中第1项和第5项为0，使机构的自由度等于i=1gfi，不受机构公共约束的影响。用式（1）或式（2）计算组合机构自由度的结果相同。3）对于含有n1=g1的开链机构的混联机构，n1、g1分别为开链机构的活动构件数和运动副数，由于n1-g1=0，式（2）中第1项为0，使开链机构自由度等于i=1g1fi，不受机构公共约束的影响；但开链机构的公共约束影响整个机构的公共约束，仍要用式（2）计算组合机构的自由度。4）当基本机构串联时，