2022年医学专题—第六章玻耳兹曼统计ppt.ppt

河南教育(jioy)学院物理系,热力学与统计(tngj)物理,第一页，共六十七页。,第五章指出：定域系统和满足经典(jngdin)极限条件的玻色（费米）系统都遵从玻耳兹曼分布。按照统计思想，宏观量是对应微观量的统计平均值，根据等概率原理，这两类系统玻耳兹曼分布出现的概率最大，其他分布实际上不出现，所以对这两类系统，宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统计平均值。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的热力学性质。,第二页，共六十七页。,玻耳兹曼统计(tngj)的热力学量表达式,玻耳兹曼统计的统计公式(gngsh)的应用,理想气体的物态方程，理想气体的内能(ni nn)和热容量，固体热容量的爱因斯坦理论,玻耳兹曼统计的分布公式的应用,麦克斯韦速度分布律，能量均分定律，两者的应用,本章主要内容,第三页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表达式。要解决的问题：宏观(hnggun)量（如：热力学基本函数）与玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏观(hnggun)量是微观量的统计平均值去寻找联系。,一、内能(ni nn)的统计表达式,内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值,遵从玻耳兹曼分布的系统的内能为,本式求和在粒子的能级和简并度知道后就能计算,第四页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,为了(wi le)方便，引入粒子配分函数Z1,由约束(yush)的另一条件知，粒子配分函数满足的条件为,即,本式给出N和Z1的关系,即,此式即内能的统计表达式,第五页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,二、广义力的统计(tngj)表达式,1.外界(wiji)对系统的广义力,系统在准静态元过程中，当外参量y变化dy时，外界对系统的功为,Y是与外参量y对应的外界对系统的广义作用力,例如：系统在准静态元过程中体积变化dV时，外界的功为pdV。广义力是压强。,2.广义微观力,粒子能量是外参量的函数，能级l上一个粒子在外参量y变化时受到的广义微观力为,第六页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,3.外界(wiji)对系统的广义力的统计表达式,广义(gungy)力是系统中粒子的广义(gungy)微观力 之和的统计平均值,即,这是广义力的统计表达式,一个重要特例：pVT系统压强的统计表达式为,第七页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,讨论：准静态(jngti)过程元功和系统微小吸热的物理本质,外界(wiji)对系统所作的元功,对内能 求全微分，有,内能的改变可以分为两项，第一项是粒子分布不变时由于能级改变而引起的内能变化，第二项是粒子能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化。,与热力学第一定律和元功的表达式对照知,第一项是在准静态过程中外界对系统所做的功，第二项是准静态过程中系统从外界吸收的热量。可见，外界对系统作功是粒子分布不变时由于能级改变而增加的内能，准静态过程中系统从外界吸收的热量等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。,第八页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,三、熵的统计(tngj)表达式,考虑到熵与系统在可逆过程中吸收(xshu)的热量有关，微小可逆过程有,由热力学第一定律,上式说明1/T是Q的一个积分因子，可以证明也是Q的一个积分因子。即 能写成一个完整微分式。写出该完整微分与上式比较可得到熵。,可以证明,上式是完整微分式，说明也是Q的积分因子,第九页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,根据(gnj)微分方程关于积分因子的理论，取,上式中k应是熵S的函数(hnsh)。下面说明其实k与熵S无关,考虑到两个互为热平衡的系统合起来总能量守恒，这两个系统必有一个共同的因子（习题6.5），正好与互为热平衡的系统温度相同一致。所以，只能是温度的函数，不可能与熵有关。,上式中k应是常数。称为玻耳兹曼常数，在将理论用于实际问题（例如理想气体）时得到k值为,上式是熵的统计表达式，积分时已将积分常数选为零。,第十页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,讨论(toln):熵的统计意义-玻耳兹曼关系,根据熵的统计表达式、玻耳兹曼统计中Z1与的关系和玻耳兹曼分布(fnb)公式，可以证明,上式称为玻耳兹曼关系，熵是用系统宏观态上出现的微观状态数来量度的。某个宏观态对应的微观状态数越多，系统微观上运动的变化就越多端，它的混乱程度就越大，熵也越大。玻耳兹曼关系给出了熵的统计意义：熵是系统混乱程度的量度。,中的应是M.B.。上面熵的统计表达式和统计解释只适用于粒子可分辨的系统（定域系统）,注意,第十一页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,由于(yuy)熵与系统的微观状态数有关，所以对于即使满足经典极限条件的玻色（费米）系统，若 仍然成立，则系统的微观状态数应换为,如果求得配分函数Z1，可以求得基本热力学函数内能、物态方程和熵，从而确定系统的全部(qunb)平衡性质。,四、玻耳兹曼统计统计公式的使用方法,因此，lnZ1是以、y(对于简单系统即T、V)为变量的特性函数。,第十二页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,玻耳兹曼理论求热力学函数的一般方法是：先求配分函数，再利用(lyng)热力学量的统计公式求出热力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子的能级和能级简并度，利用(lyng)配分函数的定义式写出配分函数。,例如(lr)：求以T、V为变量的特性函数的统计表达式,对定域系统,对满足经典极限条件的玻色（费米）系统,第十三页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,五、经典统计理论(lln)中热力学函数的表达式,配分函数的经典(jngdin)表达式,取l足够小，上式的求和变为积分,将配分函数代入内能、物态方程和熵的统计表达式可以求得基本热力学函数的内能、物态方程和熵,讨论：选择不同数值的h0，对经典统计结果的影响,由内能U、广义力Y的统计表达式知，U、Y只与lnZ1的偏导数有关，所以与h0的具体选择无关，而熵S及与lnZ1有关的热力学量的具体数值与h0的具体选择有关可见，绝对熵的概念是量子力学的结果。,第十四页，共六十七页。,6.1 热力学量的统计(tngj)表达式,例题(lt)：,试根据(gnj)公式 证明对于非相对论粒子,有,证明：,根据题目，处在边长L的立方体内，非相对论粒子的能量本征值为,将上式改写为体积的函数,所以,利用压强公式，有,第十五页，共六十七页。,6.2 理想气体(l xin q t)的物态方程,一般(ybn)气体满足经典极限条件，遵从玻耳兹曼分布，作为玻耳兹曼统计的最简单应用，本节利用玻耳兹曼量子统计讨论理想气体的物态方程。在本节末将对气体一般(ybn)满足经典极限条件作详细分析。,一、单原子(yunz)分子理想气体的物态方程,1求配分函数Z1,分子的能量为,粒子的能量值和动量值准连续，在微小相体积dxdydzdpxdpydpz内，分子可能的微观状态数，,粒子的配分函数为,积分公式,（掌握计算呀）,单原子分子理想气体，分子可看成没有结构的质点,第十六页，共六十七页。,6.2 理想气体(l xin q t)的物态方程,2单原子(yunz)理想气体的物态方程,玻耳兹曼常数的数值就是将上式与实验的物态方程 比较(bjio)得到的。,二、双原子分子或多原子分子理想气体的物态方程,分子的能量除平动动能外，还包括转动、振动等能量。由于计及转动、振动能量后不改变配分函数Z1对V的依赖关系，求得的物态方程仍同上式。,如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程，得到的物态方程与上式完全相同（自己计算一下，看看配分函数有无差别）。所以，在这个问题上，由量子统计和由经典统计理论得到的结果是相同的。,第十七页，共六十七页。,6.2 理想气体(l xin q t)的物态方程,三、讨论(toln)：气体一般满足,经典极限(jxin)条件是,利用求出的单原子分子配分函数，代入,对一般气体来说，如果（1）N/V愈小，即气体愈稀薄；（2）温度愈高；（3）分子质量愈大。经典极限条件愈易得到满足。,（1）、（2）是理想气体条件。所以理想气体一般满足,经典极限条件也往往采用右式表示,分子的德布罗意波长为,若将理解为分子热运动的平均能量，并估计为kT,经典极限条件又可表示为,考虑单原子分子气体,第十八页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦速度(sd)分布律,一、无外场条件下理想气体(l xin q t)分子速度分布,分子速度分布情况用在单位体积(tj)内，分布在微小速度区间的分子数反映。表示为,1.麦克斯韦速度分布律,对满足经典极限条件的气体系统，在温度为T的平衡态，在单位体积内，速度在vx vx+dvx、vyvy+dvy、vz vz+dvz内的分子数为,速度分布函数满足条件,第十九页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦(mi k s wi)速度分布律,2.推导(tudo)过程,玻耳兹曼分布(fnb)的经典表达式为,在没有外场时，分子质心运能量的经典表达式为,（1）分子按动量分布,在体积V内，在dpxdpydpz的动量范围内，分子质心平动的状态数为,分子数为,参数由总分子数N的条件定出,用玻耳兹曼分布的经典表达式采用分布法推导,第二十页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦速度(sd)分布律,积分(jfn)后整理，得,分子质心在V内，动量(dngling)在dpxdpydpz范围内的分子数为,（2）分子按速度分布,代入上式,在体积V内，速度在dvxdvydvz内的分子数为,速度分布函数满足条件,第二十一页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦(mi k s wi)速度分布律,（3）分子(fnz)按速率分布,在速度(sd)的球极坐标下，速度(sd)元为v2sindvd d，代替上式的速度元，对、积分后，,上式是麦克斯韦速率分布律。速率分布函数满足条件,第二十二页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦速度(sd)分布律,麦克斯韦速率分布另一推导(tudo)方法,分子质心(zh xn)在V内，分子动量大小在pp+dp内，分子的微观状态数为,经典分布为,参数由总分子数N的条件定出,积分公式,代入经典分布公式，在V内，在p-p+dp内分子数为,从而,第二十三页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦(mi k s wi)速度分布律,二、三种(sn zhn)特征速率,1最概然速率(sl),速率分布函数有一个最大值，使速率分布函数取最大值的速率称为最概然速率,表示在这一速率附近单位速率间隔内分子数最多（即分子具有这个速率的概率最大）,2平均速率,分子速率的平均值称为平均速率,第二十四页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦速度(sd)分布律,利用(lyng)积分公式,3方均根速率(sl),分子速率平方的平均值的平方根称为方均根速率,第二十五页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦(mi k s wi)速度分布律,三、麦克斯韦速度分布(fnb)律的应用碰撞数,在单位时间内碰撞(pn zhun)到单位面积器壁上的分子数叫碰撞(pn zhun)数。,以ddAdt表示在dt时间内，碰到dA面积上的速度在dvxdvydvz范围内的分子数,这个分子数就是图中斜柱体体积内，速度在dvxdvydvz范围内的分子数,如果容器器壁上有一个小孔，分子就会从小孔逸出，则单位时间内逸出的分子等于碰到小孔面积上的分子数。分子从小孔逸出的过程叫泻流。,第二十六页，共六十七页。,6.3 麦克斯韦(mi k s wi)速度分布律,例题：试根据麦氏速度分布律证明(zhngmng)，速度的涨落为,证明(zhngmng)：,由麦氏速率分布律已经求出,所以,第二十七页，共六十七页。,6.4 能量均分(jn fn)定理,现在根据经典玻耳兹曼分布导出一个重要的定理能量均分定理，并用之讨论一些物质(wzh)系统的内能和热容量。,一、能量均分(jn fn)定理,对于处在温度为T的平衡态的经典系统，粒子能量（的表达式）中每一个平方项的平均值均等于,二、