关于函数级数逐项积分的注记_肖梅霞.pdf

收稿日期 ；修改日期 基金项目湖北省高等学校省级教学研究项目（）；湖北省教育厅科学技术研究项目（）作者简介肖梅霞（），女，博士，副教授，从事大学数学教学研究 ：第 卷第期大学数学 ，年月 关于函数级数逐项积分的注记肖梅霞（武汉纺织大学 数理科学学院，武汉 ）摘要由一个问题给出关于函数级数逐项积分和级数极限交换顺序的结果，并用积分平均收敛定理和一个与积分有关的新结果推广了这个问题 关键词幂级数；绝对收敛；交换顺序；积分平均收敛 中图分类号 文献标识码 文章编号 （）引言文献 的题 如下（为方便，后面称之为问题（）：（）设是正整数，证明 （）；（）设是正整数，（）在，上连续，证明 （）（）（）.对问题（），解答可见文献 指定的参考文献，其要点是：对（，），有 （）（）（）（）.然后由函数级数的逐项积分定理，交换积分与求和运算顺序，得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）.（）因此，极限 （）（）（）（）（）.注 极限定理是：只要幂级数在其收敛区间的端点收敛，该幂级数的和函数就在该点相应单侧连续式（）中的级数就是关于（）的幂级数，当时收敛（即式（）中级数，也收敛）对于问题（），文献 指出用连续函数的多项式逼近定理文献 的解答是标准的，本质是积分与函数级数运算换序，以及当 时极限与级数运算换序 前者就是函数级数的逐项积分，若有一致收敛则通常教材有直接结论这里的（）（）在区间，（上不一致收敛 事实上，取则该函数级数的余项（）（）当 时，极限为（），所以用了小的来处理受文献 定理 （见下面引理）的启发，首先，利用级数的重排思想建立幂级数乘积级数的逐项积分结论（见命题），并由此写出多项式与幂级数乘积的逐项积分结论（见推论），从而无须借助小的；其次，给出级数极限 （）（）的一个换序结论（见命题）事实上，上述解答的最后一个等号涉及极限与级数运算换序，却没有明确指出当 时与级数有关的和式极限结论可见文献 和其参考文献在第节给出问题（）的推广：将改为正数并减弱函数的条件，相应结论（）和（）仍然成立但是由于其中出现的不见得能展开为 级数，也未必是多项式，所以用积分平均收敛理论解决主要结果引理（定理 ）设幂级数，的收敛半径分别为正数，.记 ，则这两个幂级数乘积级数（与相加的排列顺序无关）的收敛半径.特别地，其 乘积的收敛半径，其中.引理（定理 ）设幂级数的收敛半径为正数，和函数为（），则对任意（，），成立逐项积分公式（）.进而，如果 收敛，则成立（）.对有类似结果命题设幂级数，的收敛半径分别为正数，.和函数分别为（），（）.记 ，则对任意（，），成立逐项积分公式（）（）（）.（）进而，如果上式右端级数在绝对收敛，则成立（）（）（）.（）对有类似结果证由引理知乘积级数在（，）内绝对收敛到（）（）.注意到 乘积（）（），（，），其中，从而由引理，对任意（，）得（）（）.因为式（）的右端级数是绝对收敛级数 的一个重排级数，得证式（）成立第期肖梅霞：关于函数级数逐项积分的注记若（）绝对收敛，则 作为它的一个重排级数，与它同和，因而由引理得到式（），即（）（）（）.特别地，取（）为多项式，则有推论设幂级数的收敛半径为正数，和函数为（）.若（）为一给定的多项式，则对任意（，），成立逐项积分公式（）（）（）.进而，如果上式右端级数在绝对收敛，则成立（）（）（）.对有类似结果关于级数极限，比照文献 定理，有命题设（）级数（）关于 N一致收敛：，N，使得 N有（）；（）对正整数集的任意有限子集，当 时，（）关于一致收敛于；（）收敛则 （）（）.证由条件（）和（），N，使得 N有（），.由条件（）知，对上述，存在正整数，使得当时，对所有的，有（）（）.于是，当时，有（）（）（）（）（）（）.故 （）（）.注条件（）可改为（）对每个，（）.这是因为证明的第三行中的取为 ，即可，其中（，）满足（）（）（）.推论设（）满足（）对每个，（）；（）对所有的，成立（），且收敛，则 （）.大学数学第 卷事实上，由条件（）知级数（）关于 N一致收敛，且收敛，由命题即得证现在回到引言问题（）的（）记（），（）（）（）（）（），则 （），（）（），），（）在，上连续，且由推论有（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）.因此，由推论，得到 （）（）（）（）（）.问题（）的推广将引言问题（）中的正整数改为正实数，减弱函数的条件，相应结论也成立，即（）设是正实数，则 （）；（）设是正实数，（）在，上可积，（），则 （）（）.对于结论（），第节的结果不可用了，因为不见得能展开为 级数，也未必是多项式为此用文献 的积分平均收敛结果可达目的定义对于定义在区间，上的每一项可积函数级数（），如果存在一个定义在，上的可积函数（），使得函数级数的部分和序列（）满足 （）（），则称函数级数（）在，上积分平均收敛于（）.引理（定理 ）设函数级数（）在，上积分平均收敛于广义可积函数（），则逐项积分得到的级数（）在，上一致收敛于（）.特别地，成立等式（）（）.记（），（）（）（），第期肖梅霞：关于函数级数逐项积分的注记其中为正整数，则（）（）（）（），且有（）（）（）（）（）（）（）.定义函数（）（）（，），（），则它在区间，上连续，且（）.于是（）（）（）（）（）（）（）.这表明函数级数（）（）在，上积分平均收敛于（），从而由引理，得（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）.因此，由推论，得到 （）（）（）（）（）.接下来，利用文献 的一个结论给出问题（）的解答引理（命题）设函数（）在，上可积，且 （）.又设非负函数（）在，上满足 （）.若对任意的（，），（）在，上一致收敛于零，则 （）（）.问题（）的解答令（），则（，），在，上满足（）（），也就是（）在，上一致收敛于零因此由结论（）和引理，有 （）（）.问题（）也可用积分平均收敛和引理得到解决，但通常的教材没有积分平均收敛的内容在缺乏或不清楚函数级数一致收敛性时，可以考虑用积分平均收敛处理积分与函数级数的换序问题例证明 （）（）.证函数级数 （）在区间，上不一致收敛，通常教材中的逐项积分定理不可用事实上，对其余项 （）中的取为，得（）（）.若想用命题来交换运算顺序 （）（），需要左边级数是绝对收敛的，这不易验证于是考虑用积分平均收敛的引理，对（，）有大学数学第 卷（）（）（），（），（）（）.部分和（）（）（，），（）.于是由 （）（）（），有（）（）（）（）.这表明级数 （）在，上积分平均收敛于（），从而由引理得 （）（）（）（）.结论利用绝对级数的重排理论给出两个幂级数乘积的逐项积分结论，同时给出极限 （）（）的一个换序结果，并用这些结论给出了问题（）不同于文献 给出的解法最后，借助于积分平均收敛和文 的新结果，将问题（）中的正整数推广为正数并减弱函数（）的条件致谢作者非常感谢所有参考文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见 参考文献 ，：，（）：崔尚斌数学分析教程：中册 北京：科学出版社，：，黄永忠，吴娥子，吴洁关于和式极限的两个定理及其应用大学数学，（）：黄永忠，韩志斌，吴洁，等多元分析学 版武汉：华中科技大学出版社，：裴礼文数学分析中的典型问题与方法 版北京：高等教育出版社，：黄永忠，吴洁与积分有关的一个极限及其应用大学数学，（）：（，）：；第期肖梅霞：关于函数级数逐项积分的注记