［收稿日期］２０２１－０８－２５；［修改日期］２０２１－１２－２６［基金项目］湖北省高等学校省级教学研究项目（２０２１３３０）；湖北省教育厅科学技术研究项目（Ｂ２０２１０９５）［作者简介］肖梅霞（１９８８－），女，博士，副教授，从事大学数学教学研究．Ｅ－ｍａｉｌ：ｍｘｘｉａｏ＠ｗｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ第３９卷第２期大学数学Ｖｏｌ．３９，№．２２０２３年４月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｐｒ．２０２３关于函数级数逐项积分的注记肖梅霞（武汉纺织大学数理科学学院，武汉４３０２００）［摘要］由一个问题给出关于函数级数逐项积分和级数极限交换顺序的结果，并用积分平均收敛定理和一个与积分有关的新结果推广了这个问题．［关键词］幂级数；绝对收敛；交换顺序；积分平均收敛［中图分类号］Ｏ１７７．５［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０２３）０２－０１００－０６１引言文献［１］的题１．３９如下（为方便，后面称之为问题（Ｆ））：（ｉ）设ｋ是正整数，证明ｌｉｍｎ→∞ｎ２∫１０ｘｎｄｘ１＋ｘｋ＋ｘ２ｋ＋…＋ｘｎｋ＝ｋ∑∞ｍ＝０１（１＋ｋｍ）２；（ｉｉ）设ｋ是正整数，ｆ（ｘ）在［０，１］上连续，证明ｌｉｍｎ→∞ｎ２∫１０ｘｎｆ（ｘ）ｄｘ１＋ｘｋ＋ｘ２ｋ＋…＋ｘｎｋ＝ｋｆ（１）∑∞ｍ＝０１（１＋ｋｍ）２.对问题（ｉ），解答可见文献［１］指定的参考文献［２］，其要点是：对ε∈（０，１），有Ｉ＝∫１－ε０ｘｎｄｘ１＋ｘｋ＋ｘ２ｋ＋…＋ｘｎｋ＝∫１－ε０（１－ｘｋ）ｘｎｄｘ１－ｘ（ｎ＋１）ｋ＝∫１－ε０∑∞ｍ＝０（１－ｘｋ）ｘｎ＋（ｎ＋１）ｍｋｄｘ.然后由函数级数的逐项积分定理，交换积分与求和运算顺序，得Ｉ＝∑∞ｍ＝０∫１－ε０（１－ｘｋ）ｘｎ＋（ｎ＋１）ｍｋｄｘ＝∑∞ｍ＝０∫１－ε０（ｘｎ＋（ｎ＋１）ｍｋ－ｘｎ＋（ｎ＋１）ｍｋ＋ｋ）ｄｘ＝∑∞ｍ＝０（１－ε）（ｍｋ＋１）（ｎ＋１）ｍｋ（ｎ＋１）＋ｎ＋ｋ＋１－［ｍｋ（ｎ＋１）＋ｎ＋１］（１－ε）ｋ（ｎ＋１）（ｍｋ＋１）［（ｎ＋１）（ｍｋ＋１）＋ｋ［］］.（１）因此，极限ｌｉｍｎ→∞ｎ２∫１０ｘｎｄｘ１＋ｘｋ＋ｘ２ｋ＋…＋ｘｎｋ＝ｋｌｉｍｎ→∞∑∞ｍ＝０ｎ２（ｎ＋１）（ｍｋ＋１）［（ｎ＋１）（ｍｋ＋１）＋ｋ］＝ｋ∑∞ｍ＝０１（１＋ｋｍ）２.注Ａｂｅｌ极限定理是：只要幂级数在其收敛区间的端点收敛，该幂级数的和函数就在该点相应单侧连续．式（１）...
