关于不定方程(37n)-x...(685n)-z的正整数解_王志兰.pdf

第 32 卷第 1 期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.12023 年 3 月Journal of Henan Institute of Education(Natural Science Edition)Mar.2023收稿日期:2022-05-02基金项目:江苏省自然科学基金(BK20171318)作者简介:王志兰(1974),女,江苏兴化人,泰州学院数理学院讲师,主要研究方向为数学课程与教学论、初等数论。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.01.003关于不定方程(37n)x+(684n)y=(685n)z的正整数解王志兰1,2(1.泰州学院 数理学院,江苏 泰州 225300;2.江苏省吴江中等专业学校,江苏 吴江 215200)摘要:运用初等方法证明了对任意的正整数 n,丢番图方程(37n)x+(684n)y=(685n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。关键词:JESMANOWICZ 猜想;丢番图方程;正整数解;分解因子;同余中图分类号:O156.4文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)01-0012-040引言设 a,b,c 是正整数,满足 a2+b2=c2且(a,b)=(b,c)=(c,a)=1。1956 年,JESMANOWICZ L 1猜测:对任意的正整数 n,不定方程(an)x+(bn)y=(cn)z(1)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。这就是著名的 JESMANOWICZ 猜想。此猜想是至今尚未解决的数论难题。目前的主要结果集中在 n=1 的情形,对于 n1,仅有少数情形被解决,见文献2-12。本文运用初等方法证明了如下定理 1。定理 1对任意的正整数 n,丢番图方程(37n)x+(684n)y=(685n)z(2)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。1引理引理 113如果方程(1)有解(x,y,z)(2,2,2),则 x,y,z 互不相同。引理 214设正整数 a,b,c 满足 a2+b2=c2。若 zmaxx,y,则不定方程 ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2)。引理 315设 a,b,c 是两两互素的正整数且满足 a2+b2=c2。若不定方程 ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),则方程(1)没有满足 zyx 或 zx1 且 minx,yzzy。此时方程(2)可化为684y=nz-y(685z-37xnx-z)。(3)由于 zy,故 gcd(n,684)1。设 n=2r3s19tn1,r+s+t0,gcd(n1,114)=1,则(3)式成为22y32y19y=2r(z-y)3s(z-y)19t(z-y)nz-y1(685z-37x2r(x-z)3s(x-z)19t(x-z)nx-z1)。(4)由(4)式可知 n1=1,且有685z-37x2r(x-z)3s(x-z)19t(x-z)=22y-r(z-y)32y-s(z-y)19y-t(z-y)。(5)情形 1.1若 r=s=t=0,则由(5)式得 37x+684y=685z。(6)根据引理 5,方程(6)仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2),与 xzy 矛盾。故(6)式不成立。情形 1.2若 r=s=0,t0,则由(5)式得 y=t(z-y),且有 37x19t(x-z)=685z-36y。(7)对(7)式取模 37,得 19z(-1)y(mod 37)。由 Legendre 符号的性质得(-1)z=(1937)z=(-137)y=1,故 z0(mod 2)。令 z=2z1,则(7)式成为37x19t(x-z)=(685z1+6y)(685z1-6y),注意到 gcd(685z1+6y,685z1-6y)=1,有 37x(685z1+6y)或 37x(685z1-6y),但37x37z=372z1=1 369z1(685+62)z1685z1+62z1685z1+6y685z1-6y不可能,因此(7)式不成立。情形 1.3若 r=t=0,s0,则由(5)式得 2y=s(z-y),且有37x3s(x-z)=685z-76y。(8)对(8)式取模 37,得 19z2y(mod 37)。由 Legendre 符号的性质得(-1)z=(1937)z=(237)y=(-1)y,故 y,z同奇同偶。若 y,z 同为奇数,则由 2y=s(z-y)知,s 为奇数。对(8)式取模 4,得 3s(x-z)1(mod 4),故 s(x-z)0(mod 2),于是 x 为奇数。但对(8)式取模 19,得(-1)x3s(x-z)1(mod 19),推出 x 为偶数。矛盾。所以y,z 同为偶数。令 z=2z1,y=2y1,则(8)式成为37x3s(x-z)=(685z1+76y1)(685z1-76y1),注意到 gcd(685z1+76y1,685z1-76y1)=1,有 37x(685z1+76y1)或 37x(685z1-76y1),但37x37z=372z1=1 369z1(685+76)z1685z1+76y1685z1-76y1不可能,因此(8)式不成立。情形 1.4若 s=t=0,r0,则由(5)式得 2y=r(z-y),且有 37x2r(x-z)=685z-171y。(9)对(9)式取模 37,得 19z23y(mod 37)。由 Legendre 符号的性质得(-1)z=(1937)z=(2337)y=(-1)y,故 y,z 同奇同偶。当 r=1 时,z=3y,此时(9)式成为 37x2x-3y=6853y-171y。易知,269(6853-171),故 269(6853y-171y),而 269 37x2x-3y,所以 r2。对(9)式取模 4,有 1(-1)y(mod 4),故 y0(mod 2),得 zy0(mod 2)。令 z=2z1,y=2y1,则(9)式成为37x2r(x-z)=(685z1+171y1)(685z1-171y1),14 河南教育学院学报(自然科学版)2023 年注意到 gcd(685z1+171y1,685z1-171y1)=2,有 37x(685z1+171y1)或 37x(685z1-171y1),但37x37z=372z1=1 369z1(685+171)z1685z1+171y1685z1-171y1不可能,因此(9)式不成立。情形 1.5若 r=0,s0,t0,则由(5)式得 2y=s(z-y),y=t(z-y),且有 37x3s(x-z)19t(x-z)=685z-4y。(10)对(10)式取模 37,有 19z4y(mod 37),由 Legendre 符号的性质得(-1)z=(1937)z=(437)y=1,故 z0(mod 2)。类似情形 1.2 的讨论知,(10)式不成立。情形 1.6若 s=0,r0,t0,则由(5)式得 2y=r(z-y),y=t(z-y),且有 37x2r(x-z)19t(x-z)=685z-9y。(11)对(11)式取模 37,有 19z9y(mod 37),由 Legendre 符号的性质得(-1)z=(1937)z=(937)y=1,故 z0(mod 2)。类似情形 1.2 的讨论知,(11)式不成立。情形 1.7若 t=0,r0,s0,则由(5)式得 2y=r(z-y)=s(z-y),且有 37x2r(x-z)3s(x-z)=685z-19y。(12)对(12)式取模 37,有 19z19y(mod 37),由 Legendre 符号的性质得(-1)z=(1937)z=(1937)y=(-1)y,故 y,z 同奇同偶。当 r=1 时,z=3y,此时(12)式成为 37x2x-3y3s(x-3y)=6853y-19y。易知,257(6853-19),故 257(6853y-19y),而 257 37x2x-3y3s(x-3y),所以 r2。对(12)式取模 3,有 1(-1)y(mod 4),得 y0(mod 2),故 zy0(mod 2)。令 z=2z1,y=2y1,则(12)式成为37x2r(x-z)3s(x-z)=(685z1+19y1)(985z1-19y1)。注意到 gcd(685z1+19y1,685z1-19y1)=2,有 37x(685z1+19y1)或 37x(685z1-19y1),但37x37z=372z1=1 369z1(685+19)z1685z1+19y1685z1-19y1不可能,因此(12)式不成立。情形 1.8若 r0,s0,t0,则由(5)式得 2y=r(z-y)=s(z-y),y=t(z-y),且有 37x2r(x-z)3s(x-z)19t(x-z)=685z-1。(13)对(13)式取模 37,有 19z1(mod 37),由 Legendre 符号的性质得(-1)z=(1937)z=1,故 z0(mod 2)。易知,7(6852-1),故 7(685z-1),而 7 37x2r(x-z)3s(x-z)19t(x-z),因此(13)式不成立。情形 2yzx。此时方程(2)可化为37x=nz-x(685z-684yny-z)。(14)由于 zx,故 gcd(n,37)=1。设 n=37un1,这里 u1,gcd(n1,37)=1,此时(14)式成为37x=37u(z-x)nz-x1(685z-684y37u(y-z)ny-z1),(15)由此可见 n1=1 且 x=u(z-x),故(15)式给出684y37u(y-z)=685z-1。(16)对(16)式取模 37,有 19z1(mod 37),由 Legendre 符号的性质得(-1)z=(1937)z=1,故 z0(mod 2)。易知,7(6852-1),故 7(685z-1),而 7 684y37u(y-z),因此(16)式不成立。定理 1 得证。参 考 文 献1JESMANOWICZ L.Several remarks on Pythagorean numbers J.Wiadom Mat,1955,4(1):196-2022邓谋杰.关于丢番图方程(13n)x+(84n)y=(85n)zJ.黑龙江农垦师专学报,1999,1(3):40-41第 1 期王志兰:关于不定方程(37n)x+(684n)y=(685n)z的正整数解15 3邓谋杰.关于丢番图方程(15n)x+(112n)y=(113n)zJ.黑龙江大学自然科学学报,2002,24(5):617-6204YANG Z J,TANG M.On the Diophantine equation(8n)x+(15n)y=(17n)zJ.Bulletin of Australian Mathematical Society,2012,86(2):348-3525MIYAZAKIT.Generalizations of classical results on Jesmanowicz conjecture concerning Pythagorean triplesJ.Journal of Number Theory,2013,133(2):583-5956CHENG Z,SUN C F,DU X N.On the diophantine equation(20n)x+(21n)y=(29n)zJ.Math Appl,2013,26(1):129-1337DENG M J.A note on the Diophantine equation(na)x+(nb)y=(nc)zJ.Bull Austral Math Soc,2014,89(3):316-3218马米米,吴建东.关于丢番图方程(65n)x+(72n)y=(97n)zJ.南京师大学报(自然科学版),2014,37(4):28-309MIYAZAKIT.A remark on Jesmanowicz conjecture fo