关于椭球面上一道积分题目的探讨_张婷.pdf

收稿日期 ；修改日期 基金项目国家自然科学基金面上项目（）作者简介张婷（），女，博士，副教授，从事偏微分方程及其数值解的研究 ：通讯作者张伟（），男，博士，副教授，从事非线性椭圆偏微分方程的研究 ：第 卷第期大学数学 ，年月 关于椭球面上一道积分题目的探讨张婷，张伟（兰州大学 数学与统计学院，兰州 ）摘要主要研究椭球面上的一道曲面积分题目，分别从 公式、椭球面的不同参数表示，以及余面积公式等角度对该积分的计算技巧进行了详细总结同时，从微分几何的观点出发，对该题目进行了推广 关键词曲面积分；椭球面；公式；余面积公式；支撑函数 中图分类号 文献标识码 文章编号 （）引言曲面积分是多元函数积分学的重要知识点，也是本科数学分析课程的核心内容之一曲面积分在数学的多个领域中都有广泛的应用，特别是现代偏微分方程和微分几何等研究方向 同时，很多物理量的刻画也离不开曲面积分，比如，不均匀曲面板的质量、变速度流体穿过曲面的流量、变化电磁场穿过曲面的通量等本文主要研究的是数学分析中椭球面上的一道第一型曲面积分题目为叙述方便，先将题目陈述如下题目计算曲面积分（），其中是椭球面（，）该题目在数学分析教材和各类习题集上多次出现，同类题目也被多所高校选作全国硕士研究生入学考试试题，比如，中国科技大学（年）、兰州大学（年）、武汉大学（年）、浙江大学（年）等 故在教学中对该题目进行总结推广，非常有意义 在习题课上，可以引导学生从多角度出发去思考，激发其学习兴趣，培养其分析问题、解决问题的能力本文的结构安排如下 在第节中，详细介绍上述题目的多种解法，并对这些解法进行对比总结 在第节中，从题目的微分几何背景出发，对该题进行推广所给积分的多种计算方法在本节中，从计算该积分所用的主要公式或关键方法出发，给出所述题目的多种解法 利用 公式计算积分这个方法是众多教材和习题集推荐的标准答案 该方法两次运用 公式，计算量最小，但是对初学者而言，有一定的技巧性，不易想到解法显然椭球面在点（，）的单位外法向量为，（）因此，所求积分可以转化为（）（，）（），（）（）两次应用 公式，不难得到（）（）其中，充分小，是以原点为中心为半径的球面，是以原点为中心为半径的球体注意，这里的可以取为任意正数，比如直接令在接下来的两种解法中，最终需要计算的积分都可以归结为下面这个二重积分引理设，则有，证显然，有（）=（）；（）直接计算，得到，（）利用直角坐标计算积分注意，在教材 中该题目出现在第一型曲面积分的课后习题中，按照课程进度，这时还没有讲授第二型曲面积分和 公式 因此，有必要探索不依赖于 公式的解法 最自然的做法，就是写出曲面的参数方程，转为计算参数平面上的二重积分 为此，先引进几个记号设是R中的正则曲面，其参数方程为（，）（，），（，），（，），（，）进一步，记，大学数学第 卷则曲面的面积元为 解法根据对称性，只需考虑曲面在第一卦限内的积分 这时，曲面在第一卦限部分的显示方程可以写成（，），（，），相应的参数方程为（，）（，（，），（，），面积元为结合广义极坐标变换 ，有（）（）（）（），上面倒数第二个等号处用到了引理 利用椭球面的参数方程计算积分由于题目中给出的曲面是标准的椭球面，故可以考虑先写出椭球面的参数方程，然后算出该参数表示下的面积元，再计算积分这也是容易想到的做法回忆标准椭球面的参数方程（，）（，）（，）引理在上述参数（，）下，椭球面上的面积元为 证引理的证明本身是平凡的，只是计算冗长，需要仔细耐心地整理成上面整齐的形式为了节省篇幅，这里我们省略掉繁琐的化简过程 有兴趣的读者，请自行验证解法利用引理，并结合引理，直接计算可得（），这个做法看似简单，实则计算量隐藏到了计算面积元和引理中的二重积分里面 利用球面参数（即纬度和经度）计算积分欧氏空间R中的球坐标（，）与普通的直角坐标（，）之间的关系为 ，（，）代入到椭球面的标准方程中，得到椭球面的球面参数表示第期张婷，等：关于椭球面上一道积分题目的探讨（，）（，）引理在球面参数（，）下，椭球面上的面积元为 （）证该引理的证明类似于之前引理的证明 本身是平凡的，只是计算冗长，需要仔细耐心地整理成上面整齐的形式为了节省篇幅，这里仍然省略掉繁琐的化简过程有兴趣的读者，请自行验证解法利用引理，显然有（），注意，解法与解法的区别在于解法不需要用引理，完全归结为球面参数下，椭球面上面积元的计算 利用余面积公式计算积分余面积公式是几何测度论中的一个重要结论，它表明一个函数在欧氏空间某个开集上的积分可以通过在另一个函数的水平集上作积分来实现叙述余面积公式的下述特例引理设：R R是 连续函数，（R），并且 在的支集上成立，则有（），其中（）表示集合的维 测度特别指出，当和为光滑函数，并且没有临界点的时候，引理完全可以仅在数学分析的框架下理解，参见文献 或解法设函数（，）对任意固定的，定义空间区域（，）：（，）进一步，取函数（）（，），其中（，）表示区域的特征函数 对任意的（，），应用引理，有（）（）在上式两边，同时关于求导数，结合球坐标变换，得到（）（）（）（，）（，）（）令知，题目中所求积分的值为 在上式中（，）（，）在 节中，已给出过（，）的表达式 但是，这里并不需要利用（，）的具体表达式，只要（，）即可大学数学第 卷推广本节将从微分几何的观点出发，对题目进行推广设是R中的椭球面，其标准方程为（，）对任意的（，），记该点处的位置向量为（，），单位外法向量为（，），原点到点（，）处切平面的距离为（，）显然（，）（，）（，）称为椭球面的支撑函数 一般地，在凸体几何中，对于任意的严格凸曲面 R，都可以这样定义它的支撑函数（只不过为了使用方便，的定义域通常取成单位球面）有了这些记号，可以将题目中的积分改写成（，）（，）现在考虑椭球面上的积分（，）（，），其中和是常数希望研究对哪些和，上面的积分有封闭形式不妨以椭球面的参数方程（详见 节）为例进行讨论 这时，有（，）（，），（）（）（）由此，不难得到（），：（，）；（），：（，）；（），：（，）（，）；（）（）和同时为非负整数时，积分有封闭形式现在对前三个积分，作几点说明 情形（）中的积分恰好等于曲面所围空间区域体积的倍，这个现象不是偶然的，将换成任意闭曲面，由 公式知结论仍然成立；情形（）中的被积函数恰好是椭球面的 曲率，根据变量替换公式或 定理，知积分值等于单位球面的面积；情形（）就是本文着重讨论的积分需要指出的是，除上述列出的几种情形外，还有其它情形，使得积分有封闭形式 例如，采用球面参数，可以得到当（）和（）同时为非负整数时，积分也有封闭形式最后，叙述上面前三个积分的高维类比 设是给定的阶正定方阵，椭球面 R 由二次方程 给出，则有（），：（，）（）；（），：（，）；第期张婷，等：关于椭球面上一道积分题目的探讨（），：（，）（，）（）其中表示维单位球面的面积结论曲面积分是多元函数积分学的重要知识点，也是本科数学分析课程的核心内容之一，更是学习后续数学课程和将来从事科学研究工作的必要基础 作者从椭球面上一道典型的曲面积分题目出发，通过总结该题目的多种解法，旨在让学生对曲面积分的计算有更深入的理解 同时，希望对于培养学生举一反三，独立思考，勇于探索未知的数学素养有所帮助致谢感谢复旦大学楼红卫教授给予的宝贵建议，感谢审稿专家的细心审阅和修改建议 参考文献崔尚斌数学分析教程：下册北京：科学出版社，：楼红卫微积分进阶北京：科学出版社，：宁荣健，周玲曲面积分参数方程计算方法的若干注记大学数学，（）：潘宁，曲智林基于球坐标计算第一型曲面积分注记大学数学，（）：，：，：梅加强数学分析 版北京：高等教育出版社，：楼红卫数学分析：下册北京：高等教育出版社，：，（，）：，：；大学数学第 卷