关于密立根油滴实验中的几个问题探究_吴致浩.pdf

第 卷第 期大学物理实验 年 月 收稿日期：基金项目：中国石油大学（华东）大学生创新训练项目（）；中国石油大学（华东）探究性实验建设项目（）通讯联系人文章编号：（）关于密立根油滴实验中的几个问题探究吴致浩，周 昊，刘超卓，朱海丰，王 龙（中国石油大学（华东）理学院，山东 青岛）摘要：通过建立密立根油滴实验中油滴下落的动力学数学模型，解释了油滴从开始下落便可视作为匀速的“合理性”。同时从微观分子碰撞角度解释了空气黏滞系数修正因子“”的物理意义。最后使用直接代入公式法、修正 公式法和迭代运算法三种实验数据处理方法计算元电荷值，并得出迭代运算的方法得出的数据更稳定且误差小的结论。关键词：密立根油滴实验；静态平衡法；修正因子；迭代运算中图分类号：文献标志码：大学物理实验投稿网址：密立根油滴实验是大学物理实验中的一个综合性实验，通过油滴电量的测量最终确定了元电荷数值。实验由美国实验物理学家密立根（）精心十年设计并于 年完成。不少学者对密立根油滴实验进行了进一步探究，大部分集中于数据处理的相关研究；宋元军对数据使用多重差值法进行研究、李潮锐对数据进行高斯分布拟合、亓东林等对实验数据进行大数定理的分析、陈浩民等基于实验原理综合考查油滴实验在实际操作中的可行性和实验测量的准确性。以上研究均是从数学角度对数据进行处理，并未给出物理含义。本文建立了油滴下落的动力学模型并用其分析油滴下落后作匀速运动的“合理性”，同时基于微观分子碰撞角度讨论了修正系数 的物理含义，最后对实验数据进行迭代运算进而求解更加准确的油滴半径，从而减小计算中由于近似产生的误差。实验原理基于静态平衡法，如图 所示，选取油滴为研究对象，调节极板电压（即电场强度），使进入油雾室的油滴在电场力（）、浮力（）和重力（）下平衡，则：（）图 油滴受电场力示意图由于极板间电场强度为 ，空气密度为，油滴的密度为，油滴在表面张力的作用下呈球形，其半径记为，所以（）式可改写为：（）（）撤掉电场作用后，由于电场力消失，油滴将会作变加速运动，在空气黏滞阻力的持续作用下，最终达到黏滞阻力、重力 和浮力 三力平衡，进而油滴匀速下落（如图）。图 油滴受黏滞阻力示意图设空气黏滞系数为，油滴下落瞬时速度大小为；由于实验中雷诺数满足，故根据斯托克斯定律可得（）由牛顿第二定律得：（）即 ，令 ，又有，则（）解得 ，即 （）代入初始条件 ，得 ，则（）()（）当 时，油滴最终必然达到匀速，即 ，则（）可表示为（）()（）室温下的空气密度范围在 ，而油的密度范围在 ，通常是空气的 倍以上，故而最大可取。取 的范围为 ，取 的范围为 ，用 软件作图得到连续的三维曲面图，即图。图 速度的三维函数图根据图像可看出达到最终速度 的时间处于 数量级上，故而油滴从变加速到匀速过程非常短暂。又由于油滴的最终速度通常在 ，所以令 ，则三维图像可退化为二维（图）。图中变加速过程是十分短暂的，这证明了实验中油滴可以利用斯托克斯定律进行近似的可行性。图 速度与时间的关系图油滴进入匀速后，由黏滞阻力 与重力、浮力 平衡，即（）则油滴半径 可表示为（）（）可见油滴半径可用空气的黏滞系数表示，但是这并不意味着 与 有关，它们是相互独立的，前者是油滴的固有属性，后者是空气的固有属性。由于斯托克斯定律只适用于连续介质，而油滴半径小到 左右，与空气分子的平均自由程比较接近，故空气介质已不能认为是连续介质，必须对空气的黏滞系数 进行修正。根据黏滞阻力 的修正公式为（）其中 为空气分子的平均自由程；叫 数，用于判断流体是否符合连续假设，也用于进行非连续性介质中的滑移校正。将函数 进行泰勒展开，可得（）其中，为常数，取前两项，即。大 学 物 理 实 验 年根据分子平均自由程模型公式和阿伏伽德罗定律（）（）其中 为空气分子平均直径；是空气分子的数密度；是玻尔兹曼常数。联立（）（）得（）记修正后的黏滞系数为，故：（）经实验测量，的一般取值为。从 来看，其表达式均不含油滴属性的物理量，只含油滴所处环境的特征，即环境温度、空气分子的平均直径 和空气分子的能量。在微观上，的物理含义就是表征周围空气分子对油滴作用量的强弱；在宏观上，则是油滴在非连续性介质中滑移的修正项。根据平行极板间 时，测量油滴匀速下落定长距离（）的时间，则（）因此可得（）（）从（）式中可以看出，只需要在实验过程中测量、即可得出较为准确的油滴电量，从而推算元电荷数值。如果想进一步提高计算精度，就必须提高 的精度。实验测量实验采用 型密立根油滴仪、显示器、喷雾器等装置进行，油滴盒结构图和实验装置图如图 所示。（）油滴盒结构图（）实验装置实物图图 油滴盒结构及实验装置实验在室温下进行，同时采用中华牌钟油实验，故相关参数如表 所示。表 实验参数 （）（）（）（）（）将油从油滴盒的喷雾口喷入，推上油雾挡板，以免空气流动使油滴漂移。微调显微镜的调焦手轮，使监视器的视场出现大量清晰可见的油滴。将功能开关置于“平衡”，调节平衡电压调节旋钮，给平行极板加上 电压，喷入油雾后，观察几颗缓慢运动的油滴，选择其中最明亮的一颗，微调电压旋钮，使这颗油滴静止不动，记录电压值。然后将功能开关置于“提升”，使油滴上升至显示器顶部。随后将功能开关置于“下落”，待油滴下落一小段距离接近匀速时，测量油滴匀速下落 距离内的时间。随后将功能开关置于“提升”，使油滴上升，然后再置于“下落”，重复 次测量同一个油滴的下降时间，最后取平均值记录在表 中。第 期吴致浩，等：关于密立根油滴实验中的几个问题探究表 种计算方法的结果分析标准电荷量直接代入法修正 公式法迭代运算法法三的平均速度（）法三的平均半径 均值绝对误差 标准差 实验数据及处理实验中一共测量了 组数据，测量值为电压以及对应的时间均值。采用 种处理方法计算电荷量并进行比较。实验数据处理方法第 种采用直接代入法，将实验数据和相关参数直接代入（）求得油滴所带电荷量，记为。其中（）式中的油滴半径记为。（）（）第 种方法采用修正 公式法。用（）中的 代替（）中的，即（）（）应用求根公式计算正值的，记该 为 即（）（）将（）代入（）中即可求油滴带电量，记为（）（）第 种方法为迭代运算法。其操作步骤为：先将（）式所得油滴半径记为，将其代入（）式求出，随后将 取代（）式中的 求油滴半径记为，再将 代入（）求。如此循环操作，可用数学递推公式描述（）（）由数学知识可知，。即在不断迭代运算后，存在一个油滴半径的极限值，其来源于黏滞系数和半径二者间的相互调和修正，所以更加接近真实值。记最终迭代得到的油滴半径为，将其代入（）中计算得到油滴的带电量，记为。我们认为当 时，达到半径极限值，随后方可终止迭代。实验数据处理结果将实验中 组数据分别采用以上 种方法计算得到油滴所带电荷量，同时对、取整后反演出对应单位电荷数值记为、，如表 所示。为了更好地区分 种方法的优劣，将每组数据计算结果的单位电荷量与元电荷量 的差值绘制作在图 中，并用横线条、黑条和白条进行区分。当残差结果为正值时，迭代运算法（法）的处理结果优于其他两种方法；当残差结果为负值时，修正 公式法（法）的处理结果优于其他两种方法。综合来看，由于残差普遍出现在正值部分，所以迭代运算法（法）是优于其他两种方法的。因此采用迭代运算的方法可以使半径产生的误差减小到一定程度，使处理结果更加符合真实情况。（）号数据点（）号数据点图 种方法计算的单位电荷量残差图为了进一步具体展现迭代运算法，图 给出了 关系图，其中纵坐标数值为元电荷量的整数倍电量，横坐标为测量数据的序号。大 学 物 理 实 验 年图 关系图由图 可得，迭代运算法处理得到的电荷基本上符合标准电荷数值。同时，通过 种不同计算方法求解的油滴半径可知，直接使用斯托克斯公式求解会在一定程度高估油滴的半径，而迭代运算法估算出的油滴半径应更符合真实情况。结 语（）通过对实验原理系统性的分析，得出修正系数 所表征的物理含义，即周围空气分子对油滴的作用量使宏观滑移项产生的修正。（）结合 软件绘图得到油滴在作变加速运动时的时间十分短暂，约 数量级。（）采用 种方法对密立根油滴实验的作数据处理，得出迭代运算的方法优于其他两种，其更能减小误差。同时也反映了直接使用斯托克斯公式求解会在一定程度上高估油滴的实际半径。参考文献：李书光，张亚萍，朱海丰大学物理实验北京：科学出版社，：宋元军密立根油滴实验数据处理的多重差值法物理实验，（）：李潮锐电子荷电量实验数据统计拟合分析实验技术与管理，（）：亓东林，鲍祎楠，张师平，等基于大数据分析思路的油滴实验数据处理方法物理与工程，（）：陈浩民，陈周滨，贾志清，等密立根油滴实验中一些问题 的 分 析 探 讨 大 学 物 理 实 验，（）：，（），（）：，（）：，（）：，（）：秦允豪热学 版北京：高等教育出版社，曹正东密立根油滴实验中某些问题的探讨上海建材学院学报，（）：，（，）：，：；第 期吴致浩，等：关于密立根油滴实验中的几个问题探究