2023年5第四节二次函数的图像与性质.docx

5.第四节,,二次函数的图像与性质 第三章 函数 第四节 二次函数的图像与性质 (建议时间：40分钟) 根底达标训练 1. (2023衢州)二次函数y＝(x－1)2＋3图象的顶点坐标是(　　) A. (1，3)　　　 　　　B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3) 2. (2023荆门)抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为(　　) A. 0　 　　B. 1　 　　C. 2　 　　D. 3 3. (2023兰州)点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，那么以下结论正确的选项是(　　) A. 2>y1>y2 B. 2>y2>y1 C. y1>y2>2 D. y2>y1>2 4. (2023重庆B卷)抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是(　　) A. 直线x＝2 B. 直线x＝－2 C. 直线x＝1 D. 直线x＝－1 5. (2023河南)抛物线y＝－x2＋bx＋4经过(－2，n)和(4，n)两点，那么n的值为(　　) A. －2 B. －4 C. 2 D. 4 6. (2023百色)抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平移得到的(　　) A. 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B. 先向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C. 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D. 先向右平移3个单位，再向上平移2个单位 7. (2023温州)二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，以下说法正确的选项是(　　) A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1 C. 有最大值7，有最小值－1 D. 有最大值7，有最小值－2 8. 抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标是(1，3)，点A(2，y1)，B(3，y2)在抛物线上，那么以下大小比较正确的选项是(　　) A. y1>y2 B. y1x －1 0 2 3 4 y 5 0 －4 －3 0 以下结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤假设A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，那么x1＜x2. 其中正确的个数是(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 12. (2023荆州)二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是________． 13. 将二次函数y＝(x＋1)2－1的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的二次函数的解析式为____________． 14. (2023泰安)假设二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴为直线x＝2，那么关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为________． 15. (2023凉山州)当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点，那么a的取值范围是________． 16. (2023杭州)设二次函数y＝(x－x1)(x－x2)(x1，x2是实数)． (1)甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝－，假设甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由； (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值(用含x1，x2的代数式表示)； (3)二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m，n是实数)，当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜. 17. (2023威海)在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下： x … －1 0 1 2 3 … y甲 … 6 3 2 3 6 … 乙写错了常数项，列表如下： x … －1 0 1 2 3 … y乙 … －2 －1 2 7 14 … 通过上述信息，解决以下问题： (1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式； (2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x____时，y的值随x的值增大而增大； (3)假设关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 能力提升拓展 1. (2023陕西)在同一平面直角坐标系中，假设抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，那么符合条件的m、n的值为(　　) A. m＝，n＝－ B. m＝5，n＝－6 C. m＝－1，n＝6 D. m＝1，n＝－2 2. (2023潍坊)抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1.假设关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，那么t的取值范围是(　　) A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 3. (2023福建)假设二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象过不同的五点A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(，y2)，E(2，y3)，那么y1，y2，y3的大小关系是(　　) A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y3＜y1 4. (2023杭州)在平面直角坐标系中，a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图象与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图象与x轴有N个交点，那么(　　) A. M＝N－1或M＝N＋1 B. M＝N－1或M＝N＋2 C. M＝N或M＝N＋1 D. M＝N或M＝N－1 5. (2023莱芜)将二次函数y＝x2－5x－6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余局部不变，得到一个新图象．假设直线y＝2x＋b与这个新图象有3个公共点，那么b的值为(　　) A. －或－12 B. －或2 C. －12或2 D. －或－12 6. (2023安徽)在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线l分别与函数y＝x－a＋1和y＝x2－2ax的图象相交于P，Q两点．假设平移直线l，可以使P，Q都在x轴的下方，那么实数a的取值范围是________． 7. (2023长春)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax＋(a>0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，假设直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，那么a的值为________． 第7题图 参考答案 第四节 二次函数的图像与性质 根底达标训练 1. A 2. C　【解析】∵y＝－x2＋4x－4＝－(x－2)2≤0，∴抛物线与x轴只有一个交点；当x＝0时，y＝－4，∴抛物线与y轴只有一个交点．∴抛物线与坐标轴的交点个数为2. 3. A　【解析】把x1＝1，x2＝2分别代入y＝－(x＋1)2＋2，求得y1＝－2，y2＝－7，∴y20时，二次函数图象开口向上，一次函数图象经过第一、二、三象限；当a0，∴ac∵抛物线的对称轴为x＝－1，∴b∵抛物线与x轴有两个交点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不同的实数根，即b2－4ac>0，∴③错误；∵由抛物线的图象可知，当x＝－1时，抛物线上的对应点(－1，a－b＋c)在第二象限，即a－b＋c>0，∴④错误．故正确的选项是①②. 11. B　【解析】将点(－1，5)，(0，0)，(2，－4)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x，∴抛物线开口向上．故①正确；抛物线的对称轴为直线x＝－＝2，故②正确；∵抛物线开口向上，与x轴交于(0，0)，(4，0)，∴当0∵抛物线与x轴交于(0，0)，(4，0)，∴抛物线与x轴的两个交点间的距离为4.故④正确；对于⑤，当B位于抛物线对称轴的左侧时，x1>x2，故⑤错误．综上所述，正确的个数有3个． 12. 7 13. y＝x2＋1　【解析】二次函数y＝(x＋1)2－1的顶点坐标为(－1，－1)，把点(－1，－1)先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点的坐标为(0，1)，所得的二次函数的解析式为y＝x2＋1. 14. x1＝2，x2＝4　【解析】∵二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴是x＝2，∴－＝2，即b＝－4.∴关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13为x2－4x－5＝2x－13，解得x1＝2，x2＝4. 15. －3≤a≤1　【解析】抛物线y＝(x－1)2－3的顶点坐标为(1，－3)，当x＝0时，y＝－2，当x＝3时，y＝1，∴当0≤x≤3时，－3≤y≤1，∴a的取值范围为－3≤a≤1. 16. (1)解：乙求得的结果不正确，理由如下： 根据题意知，函数图象经过点(0，0)，(1，0)． ∴y＝x(x－1)． 当x＝时，y＝×(－1)＝－≠－. ∴乙求得的结果不正确； (2)解：函数图象的对称轴为直线x＝， 当x＝时，函数有最小值M， M＝(－x1)(－x2)＝－； (3)证明：∵y＝(x－x1)(x－x2)， ∴m＝x1x2，n＝(1－x1)(1－x2)， ∴mn＝x1x2(1－x1)(1－x2) ＝(x1－x)(x2－x) ＝[－(x1－)2＋]·[－(x2－)2＋]， ∵0＜x1＜x2＜1，并结合函数y＝x(1－x)的图象， ∴0＜－(x1－)2＋≤，0＜－(x2－)＋≤， ∴0＜mn≤， ∵x1≠x2，∴0＜mn＜. 17. 解：(1)将甲表中的点(－1，6)、(0，3)、(1，2)分别代入二次函数y＝ax2＋bx＋c中， 得解得； 将乙表中的点(－1，－2)、(0，－1)、(1，2)分别代入二次函数y＝ax2＋bx＋c中， 得， 解得 ∵甲写错了一次项系数，乙写错了常数项， ∴a＝1，b＝2，c＝3， ∴原二次函数的表达式为y＝x2＋2x＋3； (2)＞－1； 【解法提示】抛物线的对称轴为直线x＝－＝－＝－1，∵a＞0，∴当x＞－1时，y的值随x的值的增大而增大． (3)关于x的方程为x2＋2x＋3＝k，整理得x2＋2x＋3－k＝0， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＝22－4(3－k)＞0，解得k＞2. 能力提升拓展 1. D　【解析】∵y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，∴ 解得 2. A　【解析】∵y＝x2＋bx＋3的对称轴为x＝－＝1，∴b＝－2.∴函数表达式为y＝x2－2x＋3.∴当x＝－1时，y＝(－1)2－2×(－1)＋3＝6；当x＝1时，y＝12－2×1＋3＝2；当x＝4时，y＝42－2×4＋3＝11；要使关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0在－1＜x＜4的范围内有实数根，那么t的取值范围是2≤t＜11. 3. D　【解析】∵抛物线y＝|a|x2＋bx＋c，|a|＞0，∴抛物线的开口向上，∵A(m，n)，C(3－m，n)，∴对称轴是直线x＝，∵0＜＜＜2，|－|＜|2－|＜|0－|，∴y2＜y3＜y1，应选D. 4. C　【解析】当a＝0时，∵a≠b，∴b≠0.∴y＝(x＋a)(x＋b)＝x(x＋b)．它与x轴的交点为(0，0)，(－b，0)有2个，即M＝2.y＝(ax＋1)(bx＋1)＝bx＋1.它与x轴的交点为(－，0)有1个交点，即N＝1.∴M＝N＋1；当a≠0，b＝0时，y＝(x＋a)(x＋b)＝x(x＋a)，它与x轴有两个交点，即M＝2，(ax＋1)(bx＋1)＝ax＋1，它与x轴有一个交点，即N＝1，∴M＝N＋1；当a≠0，b≠0时，∵a≠b，∴y＝(x＋a)(x＋b)与x轴有两个交点，即M＝2，y＝(ax＋b)(bx＋1)与x轴有两个交点，即N＝2，∴M＝N.综上所述M＝N或M＝N＋1. 5. A　【解析】如解图所示，过点B的直线y＝2x＋b与新抛物线有三个公共点，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时与新抛物线也有三个公共点． 第5题解图 令y＝x2－5x－6＝0，解得x＝－1或6，即点B坐标(6，0)，将一次函数与二次函数表达式联立得x2－5x－6＝2x＋b，整理得x2－7x－6－b＝0， Δ＝49＋4(6＋b)＝0，解得b＝－；当一次函数过点B点，将点B坐标代入y＝2x＋