高中数学三角函数诱导公式记忆方法_陈利群.pdf

522023 年 第 3 期整理后还是cos，这是最为简单的一类诱导公式，学生也是不高中数学中三角函数诱导公式比较多，学生很容易混容易遗忘的。淆。如果单靠死记硬背是不能够获得好的学习效果，也极容2 反相类诱导公式易造成遗忘及错记的。本文在原有教参的基础上归纳总结出反相类诱导公式是根据其公式特征命名的，可以配合图示一种诱导公式的记忆方法，兼顾学习如何推导出公式，也可帮助理解。这类公式也是非常好记忆的。直接运用结论公式的方法。一旦遗忘公式，依照此法可以立 sin()=-sin；cos()=-cos马推出所需结论。根据三角函数的定义，我们知道在第一、二象限时，其正弦函数值为正，在第三、四象限为负。如图1所示，当+在整个高中数学课程中三角函数作为不可或缺的重要内容时向量从第一象限逆时针转到了第三象限，它的反方向上；而之一，总共包含三个章节。其一，必修四第一章“三角函-时向量从第一象限顺时针转到了第三象限，也在它的反方数”，涵盖任意角和弧度制、任意角的三角函数、诱导公式、向上，可见无论是+还是-，其正弦函数值都因位于第图像及性质等内容；其二，必修四第三章“三角恒等变换”，三象限而取负。涵盖两角和与差的三角函数及其常见的三角恒等变换公式等内同理，根据三角函数的定义，在第一、四象限余弦函数值容；其三，必修五第一章“正弦定理和余弦定理”。在学习了为正，在第二、三象限为负。如图2所示，当+时向量从第弧度制及任意角三角函数后，有一节“诱导公式”非常的重一象限逆时针转到了第三象限，它的反方向上；而-时向量要，只有熟练掌握了它才能更好地进一步地学习其他三角函数从第一象限顺时针转到了第三象限，也在它的反方向上，可见的内容。无论是+还是-，其余弦函数值都因位于第三象限而取在一些数学教参上将诱导公式分为：同名三角函数的诱负。导公式；异名三角函数的诱导公式。公式变化种类众多，记忆方法是提倡熟知三角函数表示方法的前提下，记住口诀“奇变偶不变，符号看象限”，旨在忘记公式的时候能自己推导出诱导公式。基于同样的目的，本文从另一个角度出发，根据所有的诱导公式的特征归纳总结出它们能够分为三大类别，使得三角函数的诱导公式化简问题变得更加简单，也更容易记忆。1 周期类诱导公式首先，最为基础的知识需要学生熟悉，比如正弦sin、余3 正交类诱导公式弦cos的最小周期均为2；正弦sin是奇函数，根据其定义区别于前面两类公式，这类公式的特点就是sin变换成cos，sin=y/r，当位于、象限时，正弦函数值为正，当位于而cos也需要变换成sin。公式中/2，即向量逆时针（或顺时、象限时，正弦函数值为负；而余弦函数cos是偶函数，针）旋转90，公式中的三角函数发生了改变，体现了发生根据其定义式cos=x/r，当位于、象限时，余弦函数值90旋转的正交性。公式总共四个：sin(+/2)=cos；sin(为正，当位于、象限时，余弦函数值为负。其次，诱导-/2)=-cos；cos(+/2)=-sin；cos(-/2)=sin。公式一般只掌握正弦和余弦的即可，因为tan=sin/cos、cot=cos/sin，所以其余的公式可以由sin、cos推导得出。不过，对于正切、余切的有关知识，包括周期为、关于其奇偶性、图像等等可以单独掌握。周期类的诱导公式有两个，是基于正弦sin、余弦cos的最小周期均为2得出的：sin(+2k)=sin；cos(+2k)=cos（其中k为整数）在周期公式中可见，正弦周期整理后还是sin，余弦周期 图1 sin()图2 cos()图3 sin(+/2)图4 sin(-/2)高中数学三角函数诱导公式记忆方法乐山师范学院电子信息与人工智能学院 陈利群53 技术创新在图3中+/2逆时针转过90后，位于正弦函数值为正的式，舍去“8”；然后运用反相类公式简化掉“+”；再利第二象限，故有sin(+/2)=cos；在图4中-/2顺时针转过用正交类公式型式，去除“+/2”；最后根据余弦偶函数特性90后，位于正弦函数值为负的第四象限，故有sin(-/2)=得出答案。其实，只要掌握了三角函数的基本性质和诱导公式-cos。的灵活组合使用，将三角函数化繁为简就是很简单的。通过上面的两个运用举例，可见本文所归纳的有关正弦函数、余弦函数的三类诱导公式是完全涵盖了最为基础的公式类别，而由它们可以灵活地变化出各种各样的化简三角函数的有效途径。如果解题寻思中发现三角函数内弧度数较大，一般涉及到周期类公式的使用，可以从大弧度数中整理出周期（2）的整数倍+2k；若能分离出单独的，自然用得上反相类诱导公式；化简到后面发现有/2，那么就要使用正交类诱导公式了。在图5中+/2逆时针转过90后，位于余弦函数值为负的5 如何熟练掌握利用诱导公式化简三角函数第二象限，故有cos(+/2)=-sin；在图6中-/2顺时针转学生只要理解地记忆三类诱导公式的特性及符号的推导方过90后，位于余弦函数值为正的第四象限，故有cos(-/2)法即可，完全无需死记硬背。它们的特点就是：周期类公式中=sin。+2k，正弦还是正弦（sinsin）、余弦还是余弦（cos4 运用举例cos），去除最小周期2的整数倍即可；反相类公式中，前面所归纳的三类诱导公式虽然只涉及到正弦函数和余弦与周期类公式类似，依然三角函数种类不变（sinsin、cos函数，不过根据正切、余切函数跟正弦、余弦函数之间的关cos），只是需要添加一个负号而已，可以用反向或反相帮助记系，我们可以将其转化成已经熟知的正、余弦诱导公式再进行忆需要加一个负号，这也是反相类公式命名根据；而正交类公相应的化简。式中/2，则正弦、余弦都要交叉变函数种类（sincos，例如：化简tan(-+3/2)这样的式子，可以将其变化sin(-cossin，故得名正交性），符号就要根据原三角函数旋转后所+3/2)与cos(-+3/2)相除，分别利用正弦和余弦的诱导公处象限的函数值正负来确定。式，易得sin(-+3/2)=sin(-+/2+)，根据反相类诱导公想要熟练地化简多变的各种类三角函数，除了诱导公式能式“sin()=-sin”，可以继续化简得sin(-+/2+)=理解性地记忆并在有所遗忘时进行灵活推导之外，学生要对三-sin(-+/2)，再根据正交类诱导公式“sin(+/2)=cos”，角函数的其他特性也要掌握到位，比如正弦函数是奇函数，满进一步化简得-sin(-+/2)=-cos(-)=-cos，这里最后一步足f(-x)=-f(x)，所以有sin(-)=-sin，余弦函数是偶函数，满利用了余弦函数为偶函数的特性。同理，易得cos(-+3/2)=足f(-x)=f(x)，所以有cos(-x)=cosx。cos(-+/2+)，根据反相类诱导公式“cos()=-cos”，另外，学生也应该掌握与此有关联的其他三角函数基础知可以继续化简得cos(-+/2+)=-cos(-+/2)，再根据正交识点。比如大脑中形象记忆正切函数的图像，知道其最小周期类诱导公式“cos(+/2)=-sin”，进一步化简得-cos(-是，那么化简tan(-+3/2)时是可以先去除周期的整数倍+/2)=+sin(-)=-sin，这里最后一步利用了正弦函数为奇函的，即tan(-+3/2)=tan(-+/2)。由于正切函数在、象限函数值为正，、象限函数值为负，在推导所有诱导公式数的特性。综上所述，时，须假定角位于第一象限，当角+/2即逆时针旋转90时，角转到了第二象限正切函数值为负的区域，符号要变号；再 。有，根据之前得出的答案可见正切、余切函数之间也是具有正该题的化简依次用到了基础公式tan=sin/cos，cot交性规律的，所以继续化简，正切要变换函数形式为余切且符=cos/sin；反相类诱导公式、正交类诱导公式以及正弦、余号要取负，即tan(-+/2)=-cot(-)=cot，最后一步骤还利弦函数的奇偶性。用了余切函数是奇函数的特性。如果化简sin(19/2-)，观察思考不难想到首先要运用周如果能做到使用此法学习三角函数，便不会觉得公式众多期类诱导公式“sin(+2k)=sin”，易得sin(19/2-)=sin容易记混淆了。在日常的作业、测验中不断练习，最终是可以(8+/2-)=sin(+/2-)，接着考虑可以使用反相类达到熟练掌握使用诱导公式要领的。唯有正确的学习方法才能诱导公式“sin()=-sin”，继续化简可得sin(+/2-)让学习变得轻松，深谙各部分知识的内在联系，触类旁通。=-sin(/2-)，再考虑使用正交类诱导公式“sin(+/2)=cos”，仔细对照公式形式知-sin(/2-)=-cos(-)=-cos，最后得出答案的一步也利用了余弦函数是偶函数的特性。综上1 荣德基.新点拨高中数学必修四M.长春:吉林教育出版社,所述，2019.。该题的化简过程中，首先分离出4倍周期，使用周期类公 图5 cos(+/2)图6 cos(-/2)【参考文献】