高中数学新人教A版“函数的...方程的解”的变化与教学建议_韩龙淑.pdf

2023 年 5 月 20 日投稿网址：*该文为山西省哲学社会科学规划课题“山西省新入职特岗教师专业发展路径研究”（2021YY066）、山西省教学改革创新重点项目“PCK 视角下职前教师专业能力提升的实践研究”（J2020267）、校研究生教育教学改革课题“数学课例分析 的案例库建设研究”（SYYJSJG-2174）的研究成果选取人教 A 版高中数学新旧教材中“函数的零点与方程的解”课题，采用内容分析法和比较研究法，从课题的呈现位置和名称、内容编排、旁白设置、例习题类型和难度方面进行比较，旨在发现新教材的变化特点。并据此提出课题导入突出数学新知识产生的必要性、内容生成遵循数学知识内在的逻辑体系、课堂提问彰显数学教材旁白的思维导向功能和巩固检测突出数学例习题的拓展性等教学建议。人教 A 版高中数学新旧教材 函数的零点与方程的解 数学思维韩龙淑，柳璎乃，李露.高中数学新人教 A 版“函数的零点与方程的解”的变化与教学建议J.教学与管理，2023（15）：66-69.摘要关 键 词引用格式数学教材是教师进行课堂教学与学生学习的重要载体，是极其重要的数学教学资源。教师对数学教材的理解及合理运用是课程实施的基础和关键1。函数作为高中数学的核心概念和大观点，是学习高等数学的重要基础。“函数的零点与方程的解”属于函数应用的内容，是高中数学的核心知识和教学难点，有利于发展学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象等核心素养。随着 普通高中数学课程标准（2017 年版 2020年修订）的颁布，高中数学教材也随之进行了修订，2019 年高中数学人教 A 版教材（以下简称新教材）与 2004 年高中数学人教 A 版教材（以下简称旧教材）相比，“函数的零点与方程的解”的内容发生了较大的变化。数学教师需要及时把握新旧教材的异同，从而读懂新教材的变化特点并创造性地运用。然而，通过多次观摩“函数的零点与方程的解”的课堂教学发现：多数教师对函数的零点产生的必要性和优越性认识不足，一些教师在课堂中未体现用函数零点求相应方程的解的思想，而是又用方程的解返回去求相应函数的零点，从而引起学生思维的无序和混乱。在中国知网以“函数的零点与方程的解比较研究”为主题进行检索，发现模糊匹配的文章仅有 2 篇，且都是对旧版教材相关内容的比较2，3。因此，研究高中数学人教 A 版新教材中“函数的零点与方程的解”的内容变化具有重要意义。一、高中数学新人教 A 版中“函数的零点与方程的解”内容的变化以人教 A 版高中数学新旧教材中“函数的零点与方程的解”为研究对象，采取内容分析法和比较研究法，发现新教材中课题的呈现位置和名称、内容编排、旁白设置、例习题类型和难度方面发生的变化。1.新教材中课题的呈现位置和名称发生变化（1）新教材中课题的呈现位置发生变化新旧教材中“函数的零点与方程的解”虽然都编排在必修一，但从表 1 可看出，旧教材中该内容位于第三章“函数的应用”的第一节“函数与方程”，新教材中函数的应用分为（一）、（二）两部分，该内容属于函数的应用（二）。高中数学新人教 A 版“函数的零点与方程的解”的变化与教学建议*韩龙淑柳璎乃李 露（太原师范学院数学与统计学院，山西晋中，030619）人教 A 版新教材人教 A 版旧教材第四章 指数函数与对数函数4.1 指数4.2 指数函数4.3 对数4.4 对数函数4.5 函数的应用（二）4.5.1 函数的零点与方程的解第三章 函数的应用3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点3.2 函数模型及其应用表 1 新旧教材中“函数的零点与方程的解”所在章节的位置和名称比较66（2）新教材中课题的名称表述调换顺序且把“根”变为“解”从表 1 可看出，新旧教材中该课题的名称表述发生了变化：旧教材为“方程的根与函数的零点”，新教材为“函数的零点与方程的解”。新教材将“函数的零点”前移，突出用函数的观点研究方程的解，表明利用函数零点求方程的解属于函数的应用。课题名称中用“解”代替“根”，对于一元方程来说根和解是两种不同的表述方式，但在多元方程中用方程的解来表述，体现了数学概念表述的严谨性。2.新教材中知识的编排方式发生变化（1）新教材的课题导入突出学习内容产生的必要性从表 2 可看出，在创设情境导入课题方面，旧教材以思考一元二次方程的根与二次函数图象的关系导入，通过探究和归纳获得函数零点的概念。而新教材用问号框图提出问题：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道“一元二次方程的实数根是相应二次函数的零点”，“像lnx+2x-6=0 这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢”？为学生创设了疑难的问题情境，提供了类比推理的探究思路。（2）新教材的内容生成注重类比特殊函数的零点并调整等价顺序旧教材将方程存在实数根转化为对应函数图象与 x 轴有交点，再等价于对应函数有零点。而新教材将原先位于旧版必修五教材中的“二次函数与一元二次方程、不等式”一节设置在必修一的第二章第三节，梳理了初中数学相关知识并定义了二次函数的零点，以此引导学生用类比的方法定义一般函数的零点概念。方程f（x）=0 有实数解，即存在实数x使方程f（x）=0 成立，直接求方程的实数解不易时，从函数的观点看即是求函数y=f（x）当函数值f（x）=0 时的x值，因此把使f（x）=0 的实数 x 称为函数的零点。从而将不易直接求方程解的问题，化归为求对应函数的零点问题。函数y=f（x）有零点，则函数的图象与x轴有交点，因此函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标，进而获得函数零点的几何意义，如图 1 所示。图 1 新旧教材中函数零点与方程解之间等价关系的呈现（3）新教材中“函数零点的存在性”呈现了定理名称并突出零点个数旧教材以“一般地，我们有：”为开头表述函数零点存在的判定，未呈现函数零点存在定理的名称，而新教材用蓝色字呈现函数零点存在定理。同时，新教材将旧教材内容中“函数y=f（x）在区间（a，b）有零点”改为“函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”，此变化有助于学生产生“具体有几个零点”的疑问，凸显用函数单调性进行证明的必要性。新教材还将“方程f（x）=0 的根”变为“方程f（x）=0的解”，从而呼应课题名称的变化，如图 2 所示。图 2 新旧教材中“函数零点存在定理”的名称与内容3.新教材中的旁白设置发生变化旁白是指教材正文旁边的小字或图片，有助于启发和促进师生对教学内容的深入理解。旁白按其功能主要有探究类旁白和注释类旁白。探究类旁白通过创设问题情境为师生引导思考方向，注释类旁白为教材正文内容做出解释4。图 3 新旧教材中“函数的零点与方程的解”的旁白编排方式人教A版旧教材人教A版新教材导入1 小节标题：方程的根与函数的零点2“思考”部分提出“一元二次方程的根与二次函数图象有什么关系”的问题，对其进行探究，并通过由特殊到一般抽象出函数零点概念（第二章用一节的篇幅介绍二次函数与一元二次方程的关系并定义二次函数的零点）1 小节标题：函数的零点与方程的解2“思考”部分回顾旧知，并提出“不能用公式求解的方程应如何研究其解”的问题知识探索3 将求方程f（x）=0 的实数根等价于函数y=f（x）的图象与x轴有交点，等价为函数有零点4 探究活动利用二次函数零点附近的取值规律归纳得出函数零点存在定理，但没有明确写出定理名称3 类比二次函数的零点定义一般函数的零点4 将求方程f（x）=0的实数解化归为求相应函数f（x）=0的零点，而函数零点是其图象与x轴交点的横坐标，进而获得函数零点的几何意义5 根据二次函数零点附近函数值的变化规律，探究函数零点存在定理表 2 新旧教材中“函数的零点与方程的解”内容编排方式的比较韩龙淑柳璎乃李露：高中数学新人教 A 版“函数的零点与方程的解”的变化与教学建议你能给出这个函数是增函数的证明吗？为什么由图 4.5-2和 f（2）f（3）0 还不能说明函数 f（x）只有一个零点？你能证明函数 y=f（x）是增函数吗？旧新方程f（x）=0 有实数根函数y=f（x）的图象与 x 轴有交点函数y=f（x）有零点旧方程f（x）=0 有实数根函数y=f（x）有零点函数y=f（x）的图象与 x 轴有公共点新函数零点存在定理 如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c（a，b）,使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0 的解如果函数y=f（x）在区间a，b上的图象是连续不断一条曲线，并且有f（a）f（b）0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c（a，b）,使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0 的根新旧67新旧教材中“函数的零点与方程的解”的旁白如图 3 所示，都属于探究类旁白。其中对函数f（x）=lnx+2x-6，新旧教材都提示要对该函数的单调性进行证明。但新教材的旁白增加了反问：为什么由图象和f（2）f（3）0 还不能说明函数只有一个零点？以此引导学生思考和感悟函数单调性对于确定其零点个数的必要性。4.新教材中例习题的类型、难度及要求发生变化（1）新教材中例习题的类型更加丰富旧教材的例习题主要分为例题、练习、习题 A组、习题 B 组四种，其中例题出现在正文部分，练习出现在小节知识点之后。而新教材中的例习题分为例题、练习、复习巩固、综合运用和拓广探索五种，后三种属于习题。新旧教材中的练习题大都是数值运算或通过简单推理便可得出。但新教材中还设置有证明题和改错题，不仅丰富了习题的类型，还提高了对学生数学思维批判性品质的要求。（2）新教材中例习题的难度有所变化研究者提出了例习题综合难度因素的水平划分表5，之后优化为五因素、四水平综合难度模型6，此模型的计算公式为：di=（nijdij）n（i=1，2，3，4，5；j=1，2，3，4）其中di表示第i个难度要素的权重，代表五个难度要素的值。dij为第i个难度要素的第j程度的权重，nij表示第i个难度要素在第j程度上的问题的数量。借助此模型对新旧教材中“函数的零点与方程的解”部分的例习题进行难度分析，见表 3。表 3 人教 A 版新旧教材中“函数的零点与方程的解”例习题难度分析从表 3 中可以看出，新旧教材“函数的零点与方程的解”的例习题注重考察学生的数学认知能力。新教材的例习题明显加大了知识背景和推理能力两方面的难度要求，但在知识综合方面难度有所降低。（3）新教材的例题突出用函数观点研究方程的解新教材的例题设置首先回到课题导入中的问题，即求方程 lnx+2x-6=0 的实数解数学情 境中，提出求此方程 实 数 解 的个数问题。旧教材中则求函数y=lnx+2x-6 的零点个数，如图 4 所示。由此可见，新教材的例题不仅注重与课题导入的数学情境建立联系，而且“求方程的实数解的个数”，突出直接求方程 lnx+2x-6=0 的解不容易时，需要化归为用函数的零点研究方程的实数解。图 4 新旧教材中“函数的零点与方程的解”的例题二、高中数学新人教 A 版中“函数的零点与方程的解”的教学建议1.课题导入突出数学新知识产生的必要性数学是以思维为主的科学，思维在个体头脑中进行且别人无法替代，需要学生经历数学新知识的自然生成过程。数学新学习内容是由于已有知识或方法不够用，为了研究问题的需要自然而然产生的。像 lnx+2x-6=0 的方程不能直接用公式求解，需要寻找新知识和探求新方法，从而突出函数零点产生的必要性。另外，教师在设计导入环节时还需关注新教材中“二次函数与一元二次方程、不等式”的呈现位置与旧教材的变化。在教学时善于运用方法论提示语启发学生的思维自然地迁移到新知上，从而得到一般函数的零点以及方程的实数解与对应函数零点的关系。2.内容生成遵循数学知识内在的逻辑体系与其他学科相比，数学知识的衔接性和连贯性较强，其内在的逻辑体系是课堂的核心教学内容。整体来看，无论是一般函数零点的定义还是一般函数零点与对应方程的解之间的关系，均通过类比二次函数进行抽象概括。此