肺部感染初始先天系统反应的动态模型的稳定性_代梦雅.pdf

2 0 2 3年4月第3 8卷第4期内江师范学院学报J o u r n a l o fN e i j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t yA p r.2 0 2 3V o l.3 8N o.4肺部感染初始先天系统反应的动态模型的稳定性代梦雅,张存华*(兰州交通大学 数学系,甘肃 兰州 7 3 0 0 7 0)摘 要:考虑肺部感染初始先天系统反应的动态模型,获得了模型没有正平衡点的条件以及在该条件下模型边界平衡点的稳定性,最后利用M a t l a b软件包对所获得的理论结果进行了数值验证.关键词:肺部感染;稳定性;平衡解D O I:1 0.1 3 6 0 3/j.c n k i.5 1-1 6 2 1/z.2 0 2 3.0 4.0 0 6中图分类号:O 1 7 5.2 6文献标志码:A文章编号:1 6 7 1-1 7 8 5(2 0 2 3)0 4-0 0 2 9-0 50引言 肺炎是一种常见的呼吸系统疾病,对人体的健康有害.呼吸机相关性肺炎的重症患者,在治疗过程中以机械通气为主.文献1 研究表明,其发病率和死亡率较高,显著增加了呼吸机、重症监护室等医疗资源的使用.因此尽早诊断和控制呼吸机相关性肺炎是有重要意义的.肺部的保护系统主要是先天性免疫系统和适应性免疫系统,当有病原体入侵时,先天性免疫系统会立即做出反应.文献2 表明巨噬细胞、中性粒细胞、树突状细胞和上皮细胞对先天免疫有帮助.巨噬细胞杀死病原体,并发出先天性和适应性免疫反应的信号,当肺泡巨噬细胞检测到他们自己无法遏制威胁时,可以招募免疫系统的其他组成部分.文献3-5 表示多形核白细胞,也被称为中性粒细胞.是体内已知最大的血管内吞噬细胞,其杀伤能力比巨噬细胞更有效.然而,先天系统的作用并非立竿见影.而且随着病原体负荷的增加而减少,事实上,作为肺部先天系统最有效的组成部分,多形核白细胞在正常水平下活性较低,但在病原体入侵后会迅速被激活,因此Y o u n g等6构建了以下模型dxdt=x-m x1+b x-x z,dzdt=x-x z+-z,(1)其中xt()是病原体负荷的密度,zt()表示肺部活跃的多形核白细胞和其他快速反应的先天免疫系统元素的水平,是病原体的复制率,m x1+b x是先天免疫反应对病原体的消除,-x z表示多形核白细胞的吞噬作用,-x z表示单个吞噬细胞对破坏入侵者细胞的能力有限,和-z分别代表多形核白细胞的小基线涌入和自然死亡,x代表多形核白细胞涌入肺泡囊仅取决于小z的病原体负荷x,参数,m,b,和都是正数.一般来说,人们认为大的病原体负荷将克服先天免疫系统,所以他们预计将大于z,当z不是特别大而x大的情况下,z的有效承载能力为,所以文献6 在条件(2)下对系统的动力学行为进行了研究.但是对于不同*收稿日期:2 0 2 2-0 6-2 7 基金项目:国家自然科学基金资助项目(6 1 7 6 3 0 2 4)作者简介:代梦雅(1 9 9 8-),女,河南南阳人,兰州交通大学硕士研究生,研究方向:微分方程与动力系统内江师范学院学报第3 8卷种类的病原体会有一定的差异,也许差异很大,巨大的病原体负荷可能无法克服先天免疫系统,所以S h i等7在条件(3)下对系统的动力学行为进行了研究.考虑到当病原体入侵数量增加时,先天免疫系统细胞的数量可能会迅速扩大规模来保护肺部.而系统(1)则表示当病原体入侵数量增加时,先天免疫系统细胞的数量会随之增加来保护肺部.所以本文将系统(1)修改为:dxdt=x-m x21+b x2-x z,dzdt=x-x z+-z,(4)并在(3)的条件下考虑系统(4)边界平衡点的稳定性.作变量代换x=2x1,z=z1,t=1t1,并用x,t,z代替x1,t1,z1,则系统(4)可变为dxdt=x-p1x21+p2x2-x z,dzdt=x-p3x z+p4-p5z,(5)其中p1=m,p2=2b22,p3=,p4=2,p5=.由(3)知p31,且p1,p2,p3,p4,p5都是正的.所以我们在下面的条件下研究系统(5)0p30.(6)易知=x,z()x0,z0 是系统(5)的正不变区域,且系统(5)始终有一个边界平衡点E00,P4P5.1 边界平衡点的稳定性这一节我们考虑系统(5)无正平衡点的条件,以及在该条件下证明系统(5)边界平衡点E00,P4P5的稳定性.引理1 系统(5)在满足(6)的条件下,当且仅当p4p5时,系统(5)不存在正平衡点.证明 为了讨论系统(5)没有正平衡点的条件,我们采用以下方程x-p1x21+p2x2-x z=0,x-p3x z+p4-p5z=0.(7)从而有p2p3-1()x3+-p1p3-p2p4+p2p5()x2+p3-1-p1p5()x+p5-p4=0,z=x+p4p3x+p5.(8)令fx()=a x3+b x2+c x+e,(9)则f x()=3a x2+2b x+c,(1 0)其中a=p2p3-1(),b=p2p5-p4()-p1p3,c=p3-1-p1p5,e=p5-p4.由(6)我们得到a0,c0.下面我们讨论fx()=0不存在正根的条件,相应地就是讨论系统(5)不存在正平衡点的条件.因为a0,c0,所以当且仅当b0和e0时,f x()=0不存在正根,又因为b0等价于e0,所以当且仅当e0即p4p5时,f x()=0不存在正根,所以系统(5)在满足(6)的条件下,当且仅当p4p5时,系统(5)不存在正平衡点.证毕.下面讨论系统(5)边界平衡点E00,P4P5的稳定性.首先讨论系统(5)边界平衡点E00,P4P5的局部稳 定 性,由 文 献 8中 的 方 法 得 系 统(5)在E00,P4P5处的雅可比矩阵为J E0()=1-p4p501-p3p4p5-p5,该矩阵有两个特征值1=1-p4p5,2=-p5,当p4p5时,1p5时,系统(5)边界03第4期代梦雅,等:肺部感染初始先天系统反应的动态模型的稳定性平衡点E00,P4P5是一个稳定的双曲结点.其次讨论系统(5)边界平衡点E00,P4P5的全局稳定性.定理1 假设引理1成立,则系统(5)的边界平衡点E00,P4P5是全局渐进稳定的.证明 为了研究系统(5)轨迹的全局结构,我们要去研究系统(5)在无穷远附近的轨迹是怎样的.由文献9 知,最经典的方法是P o i n c a r 球,它的优点是无穷远附近的点通过P o i n c a r 变换沿着赤道分布.因此我们仅在R+2上考虑系统(5)的动力学行为.首先将t作变换d=dt1+p2x2,仍用t代替,则(5)转化为dxdt=x1+p2x2()1-z()-p1x2,dzdt=1+p2x2()x-p3x z+p4-p5z(),(1 1)作P o i n c a r 变换x=1w,z=uw.则(1 1)转化为dudt=p2+w2()-p3u+w+u2-p5u w-u w+p4w2()+p1u w2w3,dwdt=p2u-p2w+u w2+p1w2-w3w2.(1 2)令d=dtw3,仍用t代替,则(1 2)转化为dudt=p2+w2()-p3u+w+u2-p5u w-u w+p4w2()+p1u w2,dwdt=w p2u-p2w+u w2+p1w2-w3().(1 3)当w=0时系统(1 3)有两个临界点A0,0(),B P3,0().临界点B p3,0()对应的特征根1,2=p2p30,因 此B 是 一 个 不 稳 定 的 结 点.而 临 界 点A0,0()对应的特征根一个为零,另一个非零.我们令u=p2u1-p2p3w1,w=p2p3u1,d=-p2p3dt,系统(1 3)变为du1d=p2p3-1()p3u21+p2u1w1+u1,w13(),dw1d=w1+M u21+N u1w1+p2w21+u1,w13().(1 4)其中M=1-p3+p2p31+p23p4-p3p5-p3()p33,N=p2p3p5+p3-2()-1p23.由文献1 0 的中心流形方法,我们可以得到限制在中心流形上的方程du1d=p2p3-1()p3u21+u13().(1 5)由(6)得p31,因此p2p3-1()p30.所以 由 文 献 1 1中 定 理7.1可 得 临 界 点A0,0()是一个具有稳定的抛物扇形的鞍结点,因为作了一个负的关于时间的变换d=-p2p3dt.并且A的足够小的邻域被两个趋近于A并位于w轴上的稳定双曲流形分成两部分,w0的部分由两个双曲扇形区组成,被一个进入第一象限的孤立中心流形分割(见图1).图1 系统(1 3)靠近A和B 的相位图再次作P o i n c a r 变换x=1w,z=uw.则(1 1)转化为dudt=p2v2+w2()v w+v-v2w+p3v2-p4v w2+p5v w()-p1v2w2w3,dwdt=p2v2+w2()-u w+p3v-p4w2+p5w()w2.(1 6)13内江师范学院学报第3 8卷令d=dtw3,仍用t代替,则(1 6)转化为dudt=p2v2+w2()(v w+v-v2w+p3v2-p4v w2+p5v w)-p1v2w2,dwdt=w p2v2+w2()-u w+p3v-p4w2+p5w().(1 7)系统(1 7)有一个临界点C 0,0(),且C 对应的两个特征根都是零,系统(1 7)在C 处的雅克比矩阵是零 矩 阵.利 用 极 坐 标 变 换v=rc o s(),w=rs i n().系统(1 7)转化为drdt=R1()r3+R2()r4+O r5(),ddt=U()r2+O r3().(1 8)其中R1()=-c o s2()s i n2()+p2c o s2()(),R2()=c o s2()s i n2()1+p5+p2p5()s i n()+-p1+p3+p2p3()c o s()+p2+p2p5()c o s4()s i n()+p2p3c o s5()+p5s i n5(),U()=c o s()s i n()s i n2()+p2c o s2()().令d=-r2dt,系统(1 8)变为drdt=R1()r+R2()r2+O r3(),ddt=U()+O r().(1 9)系统(1 9)在0 0,2上 有 两 个 临 界 点D 0,0(),f 0,2,因为R10()0,所以drd=00,所以drd=00;且如果 0,2,则U()0.再由文献9 中的b l o w-u p技巧,得 0,2的单位圆外的轨迹结构图(见图2).系统(1 7)在封闭的第一象限内C 处的相位图如图3所示.综上所述,在引理1条件成立的前提下,系统(5)的全局结构图如图4所示.因此系统(1 5)边界平衡点E00,p4p5是全局渐进稳定的.所以定理结论成立.图2 0,2()的单位圆外的轨迹图3 系统(1 7)在第一象限内C 处的相位图图4 系统(5)的全局结构图2 数值模拟这一节利用M a t l a b软件包对理论分析进行相对应的数值模拟.在系统(5)中,取p1=32或1 71 0或95或2,p2=1 5 0,p3=12,p4=1 1 36 0 0,p5=1 11 0 0,则引理1中的条件成立.由 定 理1知,系 统(5)的 边 界 平 衡 点E00,p4p5是全局渐进稳定的(见图5).因此当p4p5时,系统(5)有唯一的边界平衡点,且当免疫系统细胞的数量超过一定的值时,细胞免疫系统会杀死全部的病原体.23第4期代梦雅,等:肺部感染初始先天系统反应的动态模型的稳定性(a)p1=32,p2=1 5 0,p3=12,p4=1 1 36 0 0,p5=1 11 0 0(b)p1=1 71 0,p2=1 5 0,p3=12,p4=1 1 36 0 0,p5=1 11 0 0(c)p1=95,p2=1 5 0,p3=12,p4=1 1 36 0 0,p5=1 11 0 0(d)p1=2,p2=1 5 0,p3=12,p4=1 1 36 0 0,p5=1 11 0 0图5 系统(5)的相图 参考文献:1YOUNGT