Hilbert空间上的近似斜对偶g-框架_贾璐.pdf

第 2 期收稿日期：2022-06-10通讯作者：杨守志（1963），男，教授，研究方向：小波分析与框架理论.E-mail：2023 年 05 月汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷 第 2 期May2023Journal of Shantou University(Natural Science)Vol.38 No.2文章编号：1001-4217（2023）02-0031-09Hilbert 空间上的近似斜对偶 g-框架贾璐，杨守志（汕头大学数学系，广东汕头515063）摘要本文在可分的 Hilbert 空间 H 中提出了近似斜对偶 g-框架的定义，得到了 Hilbert空间上近似斜对偶 g-框架的一些性质和若干等价条件，并对近似斜对偶 g-框架进行了一些刻画，且得到了近似斜对偶 g-框架在构造过程中的一般形式.关键词框架；g-框架；斜对偶 g-框架；近似斜对偶 g-框架中图分类号O174.4文献标识码A0引言Duffin 和 Schaeffer1在 1952 年研究非调和傅里叶级数时提出了 Hilbert 空间中框架的概念，随着小波分析理论的出现，在 1986 年，Daubechies，Grossmann 和 Meyer2三位小波先驱对框架进行了推广和应用.框架已经在不同领域被众多学者进行研究.现在框架无论是在理论上，还是在应用上都取得了丰硕成果，在信号处理3、图像处理3、编码和传输4、滤波器理论5、地震勘测、地球物理、雷达及通讯等方面均具有突出的作用，且应用前景十分广阔.2006 年，孙文昌教授提出了 g-框架6的概念，它是框架的推广.S.Li 在文献7中引入了伪框架来进行类框架分解.而 Y.Eldar 在文献8中使用斜对偶框架来处理样本重构.文献7，9-11对斜框架作了进一步研究.斜对偶框架与经典对偶框架12相比的一个优点是，在重构信号时可以提供更多的灵活性.例如，文献13中使用了斜对偶框架分解的思想构造了双对称小波和线性对称滤波器.随后肖祥春和朱玉灿12又将 Hilbert 空间上斜对偶框架的概念推广到斜对偶 g-框架中.无论是在框架还是在 g-框架中，其斜对偶的显式表达式不容易获得的.为了解决这些问题，一些学者又引入了近似斜对偶框架14的概念.基于这种思想，本文首先在可分的 Hilbert 空间中引入近似斜对偶 g-框架的概念，其目的在于方便人们在进行信号处理的过程中进行样本重构，有利于减少误差.随后又讨论了近似斜对偶 g-框架的一些性质，并对近似斜对偶 g-框架进行一些刻画.汕头大学学报（自然科学版）第 38 卷参考文献1 DUFFIN R J，SCHAEFFER A C.A class of nonharmonic Fourier seriesJ.Trans Amer MathSoc，1952，72：341-366.2 DAUBECHIES I，GROSSMANN A，MEYER Y.Painless nonorthogonal expansionsJ.J Math Phys，1986，27（5）：1271-1283.3 CANDS E J，DONOHO D L.New tight frames of curvelets and optimal representations of objects withpiecewise C2 singularitiesJ.Comm Pure Appl Math，2004，57（2）：219-266.4 HOLMES R B，PAULSEN V I.Optimal frames for erasuresJ.Linear Algebra Appl，2004，377：31-51.5 BOLCSKEI H，HLAWATSCH F，FEICHTINGER H G.Frame-theoretic analysis of oversampled filterbanksJ.IEEE Trans Signal Process，1998，46（12）：3256-3268.6 SUN W.G-frames and g-Riesz basesJ.J Math Anal Appl，2006，322（1）：437-452.7 LI S，OGAWA H.Pseudo-duals of frames with applicationsJ.Appl Comput Harmon Anal，2001，11（2）：289-304.8ELDAR Y C.Sampling with arbitrary sampling and reconstruction spaces and oblique dual frame vectorsJ.J Fourier Anal and Appl，2003，9（1）：77-96.9 CHRISTENSEN O，ELDAR Y C.Oblique dual frames and shift-invariant spacesJ.Appl ComputHarmon Anal，2004，17（1）：48-68.38第 2 期10 ELDAR Y C，WERTHER T.General framework for consistent sampling in Hilbert spacesJ.Int JWavelets Multi Inf Pro，2005，3（4）：497-509.11 TANG W S.Oblique projections，biorthogonal Riesz bases and multiwavelets in Hilbert spacesJ.ProcAmer Math Soc，2000，128（2）：463-473.12 肖祥春，朱玉灿.Hilbert 空间中的斜对偶 g-框架J.数学学报，2013，56（1）：41-52.13COHEN A，DAUBECHIES I，FEAUVEAU J C.Biorthogonal bases of compactly supported waveletsJ.Comm Pure Appl Math，1992，45（5）：485-560.14 DAZ J P，HEINEKEN S B，MORILLAS P M.Approximate oblique dual framesJ/OL.2022-05-15.https:/doi.org/10.48550/arXiv.2012.1145215 AREFIJAMAAL A A，GHASEMI S.On characterization and stability of alternate dual of g-framesJ.Turkish J Math，2013，37（1）：71-79.16 KHOSRAVI A，AZANDARYANI M M.Approximate duality of g-frames in Hilbert spacesJ.ActaMath Sci，2014，34（3）：639-652.Approximate Oblique Dual G-frames on Hilbert SpaceJIA Lu,YANG Shouzhi（Department of Mathematics,Shantou University,Shantou 515063,Guangdong,China）Abstract In this paper,the definition of the approximate oblique dual g-frame in separableHilbert space H is proposed.Some properties and some equivalent conditions of the approximateoblique dual g-frame on Hilbert space are obtained.Some characterizations of the approximateoblique dual g-frame are given.The general form of g-frame of approximate oblique dual isobtained.Keywords frames;G-frames;oblique dual g-frame;approximate oblique dual g-frame贾璐等：Hilbert 空间上的近似斜对偶 g-框架39