《线性代数》教学改革探索与实践_宋玉梅.pdf

第 39 卷 第 4 期吉 林工程技术师 范 学 院 学 报Vol.39 No.42023 年 4 月Journal of Jilin Engineering Normal UniversityApr2023收稿日期:2022-10-20作者简介:宋玉梅(1966-)，女，副教授，主要从事线性代数与数学实验的教学研究。线性代数 教学改革探索与实践宋玉梅(吉林大学，吉林 长春 130012)摘要 如果把线性代数比喻成一个人，线性代数的知识体系就是骨架，基本概念和基本理论就是肌肉，背后的思想才是灵魂。如何探索线性代数背后的思想和灵魂呢?我在教学中经常采用以下的三种教学方法:强化几何背景;以问题为导向，以学生为主体;弱化演算过程，增强应用性问题。关键词 线性代数;几何背景;应用;思想和灵魂 中图分类号 O1512 文献标识码 A 文章编号 1009-9042(2023)04-0081-04线性代数是高等学校许多专业的必修课之一，其内容丰富，应用广泛。因此，探讨线性代数的教学方法，挖掘其背后的思想和灵魂很有意义。为了达到以上的教学目的，在教学中应适当采用以下教学手段:强化几何背景;以问题为导向、以学生为主体;弱化演算过程，增加应用型问题。一、强化几何背景许多学生认为线性代数难学，原因之一是线性代数具有高度的抽象形，如何解决这一问题呢?我认为最好的解决办法是把高维空间的基本概念和基本理论问题，用更直观的几何背景去解释。这种教学方法有以下优点:高中数学已经讲解了有关二维向量、三维向量的基本概念，向量的坐标表示，向量的运算，数形结合及转化思想等，这些有关向量的基本知识为线性代数的理论向更高维空间推广提供了必要的基础。点、向径、有序数组的一一对应，决定了代数和几何的密切联系，线性代数的教学应充分利用这个优势，而不是排斥这个优势。比如为什么平面直角标系叫 2 维空间?空间直角坐标系 3维空间?平面上的每个向量都可由不共线的两个向量线性表示?空间中每个向量可由不共面的三个向量线性表示?这些是理解向量组线性相关、线性无关、极大无关组，秩等重要概念的基石。行列式是线性代数的主要内容之一，也是常用的数学工具，我认为深刻理解行列式是一个度量的概念非常重要。比如:二阶行列式是 2 个 2维向量构成的平行四边形的有向面积，三阶行列式是 3 个 3 维向量构成的平行六面体的的有向体积，高阶行列式就是高维空间中的“广义体积”等。只有深刻理解了行列式的度量性质，才能非常直观地解释行列式的性质。二阶行列式|r1，r2|=Sr1，r2，其中 Sr1，r2表示以 r1，r2为邻边构成的平行四边形面积;在平行四边形里面看，若从 r1到 r2是逆时针方向则Sr1，r2前面取正，否则取负;三阶行列式|r1，r2，r3|=Vr1，r2，其中 Vr1，r2，r3表示以 r1，r2，r3为邻边构成的平行六面体的体积，在平行六面体里面有，若 r1r2r3是逆时针方向则 Vr1，r2，r3前面取正，否则取负;行列式也可看作线性变换的变化率，对于线性变换 y=Ax，一般来说 x 在 A 的作用既有拉伸又有旋转，乘积 C33=A33B33表示以 B33的 3 个列向量为邻边构成的平行六面体在 A33的作用下变吉 林 工 程 技 术 师 范 学 院 学 报2023 年 4 月成了平行六面体 C33，且|C33|=|A33|B33，C33的体积比 B33的体积伸缩了|A33|倍;强调几何背景，既符合从具体到抽象的认知规律，也有利于揭示理论背后的思想和灵魂。比如定理:当 mn 时，m 个 n 维向量必线性相关，即其中至少有一个向量是其余向量的线性组合。这个定理的证明很简单，但多数同学记不住也不能灵活运用，如何解决这个问题呢?其实任意 3 个(或更多个)2 维向量放到二维直角坐标系下画图解释就非常好。，是平面上任意 3 个向量，显然=k+l，k，l 是确定的实数如图 1 所示。图 1平面上任意三个向量线性相关二、以问题为导向，以学生为主体教师提出有价值的问题让学生思考，往往比灌输给学生过多的知识更重要。长期只灌输知识的结果是学生懒于思考，教师的作用因该是在传授知识的同时，引导学生深入挖掘隐藏在知识背后的思想和灵魂。例如，以矩阵乘法和幂运算的教学为例，强调矩阵不单是数表，更是信息存储的方式。矩阵的运算不是单纯的计算法则，更是处理信息的手段。在教学中引入交通网路的例子，使学生理解矩阵及矩阵的运算在处理信息和解决实际问题上的应用。图 2a1，a2 分别经 b1，b2，b3 到 c1，c2 的交通网络图图 2 中表明了从 a1 到 b1，b2，b3 的道路条数分别是 3，1，2，从 a2 到 b1，b2，b3 的道路条数分别 1，0，3;从 b1 到 c1，c2 的道路条数分别是 2，1;从 b2 到 c1，c2 的道路条数分别是 3，4，从 b3 到c1，c2 的道路条数是 1，2，从而从 a1，a2 到 b1，b2，b3 的道路信息，从 b1，b2，b3 到 c1，c2 的道路信息分别可用下边的矩阵 A 及矩阵 B 表示，在此基础上提出问题:从 a1，a2 到 c1，c2 的道路信息怎样?定义什么样的运算才能得到这些信息呢?经过探讨自然引出了 AB 的定义及每个元素涵盖的信息。A=312103()，B=213412 ，AB=312103()213412 =111157()以上面的例子为契机，进一步给出矩阵在图论方面的重要应用，如何求可达性矩阵?在万物互联的信息时代，图论的研究越来越有魅力。如用 n 个结点:a1，a2，an 构成的邻接矩阵，求结点的可达矩阵。对于有 n 个结点 v1，v2，vn，的简单图，其邻接矩阵为:A=(aij)=1，vi与 vj邻接0，否则其中 A 涵盖了从 vi到 vj的 1 步到达信息;A2涵装置 了从 vi到 vj的 2 步到达信息;An涵盖的从 vi到 yi的 n 步到达信息。因为有些问题只关心结点间的是否有路，并不关心路的条数，所以将 B=A+A2+A3+An的非零整数都变成 1，就是结点间的可达性信息。例如讲到矩阵的幂运算时，有这样的一个例子证明:cossinsincos()n=cosnsinnsinncosn()。用数学归纳法很容易证明，但这个例子的关键是如何更直观地解释矩阵对向量的作用，从而强调矩阵在图像处理中的应用。因此，我在教学中借助本题引导学生思考以下问题:cossinsincos()xy()的结果怎样?cossinsincos()nxy()的结果怎样?28第 39 卷第 4 期吉 林 工 程 技 术 师 范 学 院 学 报cossinsincos()nxy()与cosnsinnsinncosn()xy()是否相等?我们不需把重点放在证明的过程上，而是通过对这些问题的思考自然地得出结论，并通过此例重视矩阵在图像处理上的应用。三、弱化演算过程，增加应用性题目线性代数的计算量很大，应用广泛，因此在保证知识结构的系统性和完整性的同时，弱化演算过程，增加应用性问题，才能充分发挥这门课的优势。例如，特征值及特征向量是非常重要的概念，并有广泛的应用。多年来，学生更多的精力是求特征值和特征向量，却忽视了特征值、特征向量的本质及广泛应用。给定方阵 A 就会定义一个线性变换，在线性变换的意义下向量一般既有伸缩又有旋转，但特征向量是只有伸缩的向量，即线性变换下的不变量，而特征值就是伸缩系数，根据特征向量是不变量的特点，可以通过反复迭代研究具有线性关系的向量的变化趋势。为了强调线性代数应用的广泛性，在特征值及特征向量这章的教学中我增加了如下应用性问题:经过若干年的监测及统计结果发现，某地区下一年的环境污染及经济发展与上一年的环境污染及经济发展有以下线性关系，xk=3xk1+yk1yk=2xk1+2yk1(xkyk()=3122()xk1yk1()，其中xkyk()=第 k 年的环境污染情况第 k 年的经济发展情况()，反复迭代得xkyk()=3122()xk1yk1()=3122()3122()xk2yk2()=3122()k1x1y1()令 A=3122()，A 的特征值为4，1，相应的特征向量分别为11()，12()给定任意的初值向量x1y1()，总可以被特征向量11()，12()线性表示x1y1()=2x1+y1311()+x1y1312()，由迭代公式得:xkyk()=Ak117()=Ak1(2x1+y1311()+x1y1312()=2x1+y3Ak111()+x1y13Ak112()=2x1+y134k1+x1y132x1+y134k12x1y13当 k 越来越大，即年份越来越久时，无论初值怎样，xk与 yk都越来越接近，即环境污染的水平越来越接近经济发展水平，即使对于非常好的初值17()，随着时间的推移也是一样的结果。这说明经济发展和环境污染的线性结构3122()需要调整，即不以环境污染为代价发展经济，否则若干年后，修复环境的代价更大。比如山区砍伐树木建房修路，暂时发展了经济改善了生活，好象利大于弊，但多年后生态调节能力降低，生物多样性遭到破坏，空气污染，水土流失，山洪暴发等一系列问题将层出不穷，危害四方。增加这个例子的初衷有几点:弱化特征值的及特征向量的计算，重视其应用;深刻理解 An对特征向量的迭代作用;如果xy()是特征向量的线性组合，则 Axy()也是特征向量的线性组合;从思政育人的角度，告诉学生无论将来从事什么行业，都不能只顾眼前利益，而忽视了绿色健康且可持续发展的长远目标。参考文献 1 生云鹤，李方，侯秉喆 空间解析几何 M 北京:科学出版社，2022 2 唐玲，潘俊，李淑花，等运筹学M 北京:北京大学出版社，2006 3 郝志峰，谢国瑞，方文波线性代数 M 北京:高等教育出版社，2008(下转第 87 页)38第 39 卷第 4 期吉 林 工 程 技 术 师 范 学 院 学 报滨:哈尔滨师范大学，2022 2 易鹏，杨薇基于慕课平台的大学生太极拳系列课程混合式教学研究与实践J 湖北体育科技，2020，39(10):924-926 3 陈翀，王启荣足球运动员体能测评理论与实证M 北京:人民体育出版社，2021 4 李锐，张丽，刘俊混合式学习模式在五年制高职体育教学中的应用研究 以 24 式太极拳为例J 体育科技文献通报，2021，29(5):90-92 5 郭献敏，郭华东，刘春宇，等混合式教学模式在高师物理化学课程中的实践应用研究J 长春师范大学学报，2022，41(4):165-168 6 刁喆线上线下混合式教学模式在羽毛球教学中的应用研究 D 大连:辽宁师范大学，2022A Study of Online and Offline Teaching Mode ofTai Ji Chuan Course in Higher Vocational Colleges in Jilin Province with Changchun Guanghua University as an ExampleXU Lan-dong(Changchun Guanghua University，Changchun Jilin 130033，China)Abstract:In the information society，online teaching is a supplement to offline teaching By relyingon the online teaching platform of Chaoxing，using the methods of literature review andinvestigation，combined with relevant theoretical knowledge，this paper studies the construction ofonline and offline teaching model of Tai Ji Chuan，which provides reference for