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第 36 卷第 2 期2023 年 4 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol.36 No.2Apr.2023非饱和土地基中 P1波通过复合多层波阻板的传播特性研究舒进辉1，马强1，2，张吾渝1，2（1.青海大学土木工程学院，青海 西宁 810016；2.青海省建筑节能材料与工程安全重点实验室，青海 西宁 810016）摘要:基于弹性波在非饱和多孔介质与单相弹性介质中的传播理论，考虑在非饱和土地基中设置一定厚度的复合多层波阻板（复合多层波阻板以 3层为例），利用 Helmholtz矢量分解定理，推导了非饱和土地基中 P1波通过复合多层波阻板的透射、反射振幅比的解析解。通过数值算例分析了层间波阻板剪切模量和密度等物理、力学参数对非饱和土地基中 P1波通过复合多层波阻板时传播特性的影响规律。结果表明：复合多层波阻板中层间波阻板材料的剪切模量对透、反射系数影响显著，层间波阻板材料的密度对透、反射系数影响较小。故严格控制层间波阻板的剪切模量可以获得很好的隔振效果，这为复合多层波阻板在地基振动控制领域中的应用提供理论指导。关键词:非饱和土；复合多层波阻板；波的传播；反射振幅比；透射振幅比中图分类号:TU435 文献标志码:A 文章编号:1004-4523（2023）02-0445-13 DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2023.02.016引 言随着城镇化建设的迅速发展，各种人工振动引起的振动污染问题日益突出，如交通荷载、工程施工、动力机器等引起的环境振动严重影响了精密仪器和设备的正常工作，同时给人们的工作环境和生活环境带来了不同程度的影响。因此，分析弹性波通过隔振屏障的传播过程和地基振动规律，从而找到能够有效降低振动危害的隔振措施，是研究各种环境振动控制的根本目的，对实际工程应用具有重要的实用价值和现实意义。目前，国内外学者关于连续屏障和非连续屏障等不同形式隔振屏障的减振隔振效果进行了大量研究16。除此之外，另一种可供选择的隔振措施是Chouw 等78提出的在地基中设置波阻板（Wave Impedance Block，WIB）进行减振隔振，其分析结果表明波阻板的被动隔振效果要优于填充沟。随后，Takemiya等9采用有限元法比较了波阻板和空沟的隔振效果，结果表明在低于截止频率的频率范围内，WIB 的隔振效果更好。文献 1012 对弹性地基中波阻板的隔振效果进行了研究，结果表明，增加WIB 的厚度和模量是最有效的两种隔振措施。李伟13采用半解析边界元法，详细分析了层状地基中波阻板的隔振效果，建立了基本的隔振设计准则。高广运等1417对二维和三维波阻板进行了隔振性能研究，发现波阻板在低频时具有较好的隔振效果。除了对均质波阻板的减振隔振研究，马强等1819还分析了移动荷载作用下弹性地基与饱和土地基中梯度非均匀波阻板的隔振效果。焦欧阳等20通过现场试验对公路交通荷载作用下复杂地基中 3种不同材料波阻板的实际隔振效果进行研究，得出了泡沫夹芯波阻板的隔振效果最好的结论。徐长节等21对饱和土中夹水混凝土复合式隔振屏障的隔振效果展开了分析，结果表明增加混凝土的弹性模量及泊松比可以增强隔振效果，且弹性模量对隔振效果的影响更为显著。需要指出的是，以往研究绝大多数都集中在弹性地基或饱和土地基中均质 WIB 隔振性能的情形，而对于自然界中更具普遍性的非饱和土地基中隔振性能的研究鲜有报道。此外，以往在地基振动控制研究中对均质波阻板的研究较多，而对复合多层非均匀材料作为隔振屏障的研究很少。根据文献 22可知，多层介质交界面差异性越大，弹性波透反射效应越显著。因此本文提出一种复合多层波阻板作为隔振屏障的地基隔振体系，针对更具有普遍性的非饱和土地基的振动控制问题，主要研究非饱和土地基中弹性波通过复合多层波阻板的传播特性。考虑收稿日期:2021-12-07；修订日期:2022-01-03基金项目:国家自然科学基金资助项目（52168053，51978320）；青海省自然科学基金青年基金（2021-ZJ-943Q）。振 动 工 程 学 报第 36 卷在非饱和土地基中设置复合多层波阻板，运用弹性波在非饱和多孔介质与单相弹性介质中的传播理论以及 Helmholtz 分解定理，推导了在非饱和土地基中 P1波通过复合多层波阻板后透、反射振幅比的解析解，利用数值算例分析了各层波阻板的剪切模量和密度对多层波阻板隔振性能的影响规律，旨在为复合多层波阻板隔振体系在地基振动控制领域中的应用提供设计准则。1非饱和土介质的波动方程考虑非饱和土是由固液气组成的多孔多相复杂结构，分别由上标“S”，“L”和“G”表示各相组分，在本文中用符号 分别定义各相组分，即=S，L，G。用 n表示 相介质的体积分数，可以由孔隙率 n和 饱 和 度 Sr表 示，即nS=1-n，nL=nSr，nG=n(1-Sr)。非 饱 和 地 基 土 层 用 非 饱 和 多 孔 介 质 模 拟。Chen等23基于多孔介质混合物理论，提出了如下非饱和孔隙介质的波动方程：nSSu?S=(SS+nSS+nSS)(uS)+nSS2uS+SL(uL)+SG(uG)+L(u?L-u?S)+G(u?G-u?S)（1a）nLLu?L=SL(uS)+LL(uL)+LG(uG)-L(u?L-u?S)（1b）nGGu?G=SG(uS)+LG(uL)+GG(uG)-G(u?G-u?S)（1c）式中 u表示相介质的位移矢量；u?和u?分别表示相介质的速度与加速度；表示相介质的密度；L和G分别表示固体骨架与液体和气体之间的黏 滞 力 参 数；S和S是 非 饱 和 多 孔 介 质 骨 架 的Lam 常数；2表示 Laplace 算子；系数SS，LL，GG，SL，SG，LG为孔隙介质参数23。考虑三相介质的位移矢量并引入势函数，采用Helmholtz矢量分解定理，将位移矢量做如下分解：uS=S+HS（2a）uL=L+HL（2b）uG=G+HG（2c）式中 和H（=S，L，G）分别为固、液、气相三相介质的标量势函数和矢量势函数。将 式（2）代 入 式（1a）（1c）中，则 波 动 方 程（1a）（1c）可改写为：nSS?S=(SS+nSS+2nSS)2S+SL2L+SG2G+L(?L-?S)+G(?G-?S)（3a）nLL?L=SL2S+LL2L+LG2G-L(?L-?S)（3b）nGG?G=SG2S+LG2L+GG2G-G(?G-?S)（3c）nSSH?S=nSS2HS+L(H?L-H?S)+G(H?G-H?S)（3d）nLLH?L=-L(H?L-H?S)+G(H?G-H?S)（3e）nGGH?G=-G(H?G-H?S)（3f）设式（3a）（3f）的一般解具有如下形式：=AexpikP(lx+nz-cPt)（4a）H=BexpikS(lx+nz-cSt)（4b）式中 i=-1；kP和 kS分别为 P 波和 S 波的波数；cP和cS分别为 P 波和 S 波的波速；l和 n 分别为对应波的方向矢量值；A和B分别表示 P 波和 S 波在相介质中的振幅。将式（4a）和（4b）代入式（3a）（3f）中，经过计算分别得到 P波和 S波的特征方程为：|a11a12a13a21a22a23a31a32a33=0（5a）|b11b12b12b21b22b23b31b32b33=0（5b）式中a11=i(L+G)+2SnS-k2P(SS+nSS+2nSS)，a22=iL+2LnL-k2PLL，a33=iG+2GnG-k2PGG，a12=a21=-iL-k2PSL，a13=a31=-iG-k2PSG，a23=a32=-k2PLG；b11=i(L+G)+2SnS-nSSk2S，b22=iL+2LnL，b33=iG+2GnG，b12=b21=-iL，b13=b31=-iG，b23=b32=0。根据公式（5a）和（5b）就可计算得到非饱和土介质中 P波和 S波的传播速度为：cP=Re(kP)，cS=Re(kS)（6）2数学模型考虑在非饱和土地基中设置一定厚度的复合多层波阻板，其中复合多层波阻板以 3层为例，P1波从非饱和土入射到复合多层波阻板后再透射到非饱和土的过程中，在各个交界面上的反射与透射模型如图 1所示。P1波在非饱和多孔介质中以 0的角度入446第 2 期舒进辉，等：非饱和土地基中 P1波通过复合多层波阻板的传播特性研究射后，会激励产生透射 P 波、透射 S 波、反射 S波和 3种反射 P 波。由于透射 P 波的能量至少是透射 S 波的 14 倍，因此本文忽略了能量较低的透射 S 波，只考虑能量较大的透射 P 波入射到非饱和土中，该理论依据在后文中详细给出。然后透射 P波穿过复合多层波阻板再透射到非饱和土介质后，同样会激励产生反射S波、反射P波、透射S波和3种透射P波。3P1波在分界面上的反射与透射3.1P1波从非饱和土介质入射到波阻板介质在非饱和土介质与波阻板介质的分界面处，入射、透射和反射波的位移势函数表示为如下形式：（1）非饱和土介质中入射、反射波的势函数为：u=AiPexpikiP(liPx-niPz-ciPt)+ArP1expikrP1(lrP1x+nrP1z-crP1t)+ArP2expikrP2(lrP2x+nrP2z-crP2t)+ArP3expikrP3(lrP3x+nrP3z-crP3t)（7a）Hu=BrSexpikrS(lrSx+nrSz-crSt)（7b）（2）波阻板介质中透射波的势函数为：e=AItPexpikItP(lItPx-nItPz-cItPt)（8a）He=BItSexpikItS(lItSx-nItSz-cItSt)（8b）式中 下标 i，r和 t分别表示入射、反射和透射波；ciP是入射 P1波的波速；crS和 crP分别为反射 S 波和三种反射 P 波的波速，其中 表示三种不同的 P 波（=1，2，3）；ctP和 ctS分别是透射 P 波和透射 S 波的波速；kiP是入射 P1波的波数；krS和 krP分别为反射 S 波和三种反射 P 波的波数；ktP和 ktS分别是透射 P 波和透射S 波的波数；ArP表示三种反射 P 波在 相介质中的振幅值；BrS表示反射 S 波在 相介质中的振幅值；AItP表示透射 P 波在波阻板介质中的振幅值；BItS表示透射 S 波在波阻板介质中的振幅值；liP，lItP，lrS，lrP，lItS和 niP，nItP，nrS，nrP，nItS分别为入射 P1波、透射P 波、反射 S 波、3 种反射 P 波和透射 S 波的方向矢量值。根据 Snell定律，透射角、反射角和入射角之间有如下关系：liPkiP=lrP1krP1=lrP2krP2=lrP3krP3=lrSkrS=lItPkItP=lItSkItS（9）从而由式（5）可得到不同振幅之间的关系如下：L=ALrPASrP=a11a23-a13a21a13a22-a12a23（10a）G=AGrPASrP=a32a21-a22a31a22a33-a23a32（10b）LS=BLrSBSrS=-b21b22（10c）GS=BGrSBSrS=-b31b33（10d）在非饱和土地基和波阻板的分界面处，其边界条件可表示为：应力连续：ezz=S+L+G，ezx=Szx（11a）位移连续：uez=uSz，uez=uLz，uez=uGz，uex=uSx（11b）在式（11）中，非饱和多孔介质和波阻板介质中的应力张量采用如下形式表示24：非饱和土介质中的应力张量为：Sij=(SS+nSS)2Su+SL2Lu+SG2Guij+2nSSij（12a）L=SL2Su+LL2Lu+LG2Gu（12b）G=SG2Su+LG2Lu+GG2Gu（12c）式中 ij表示克罗内克函数。弹性波阻板介质中的应力张量为：ij=eij+2eij（13）式中 e和e表示波阻板介质 的 Lam常数；表示不同的波阻板介质（=，）；为骨架颗粒的体积应变；ij为土体骨架的应变。将式（12）（13）代入式（