调和整映射的级和型_乔金静.pdf

2 0 2 3年河北大学学报(自然科学版)2 0 2 3第4 3卷 第2期J o u r n a l o f H e b e i U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 3 N o.2D O I:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 0 1 5 6 5.2 0 2 3.0 2.0 0 3调和整映射的级和型乔金静1,田悦1,郑莉芳2(1.河北大学 数学与信息科学学院,河北省机器学习与计算智能重点实验室,河北 保定 0 7 1 0 0 2;2.石家庄铁道大学四方学院,河北 石家庄 0 5 1 1 3 2)摘 要:为讨论调和整映射的增长估计,研究其级和型,而级和型可以由其解析部分以及反解析部分的系数刻画.对于严格递增的正整数数列nkk=1,利用调和整映射的解析部分和反解析部分的nk阶导数在某一点的值,定义了2个量,且证明了这2个量分别与调和整映射的级和型几乎处处相等.关键词:整函数;调和整映射;级;型中图分类号:O 1 7 4 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 0 1 5 6 5(2 0 2 3)0 2 0 1 2 7 0 6O r d e r s a n d t y p e s o f h a r m o n i c e n t i r e m a p p i n g sQ I A O J i n j i n g1,T I A N Y u e1,Z H E N G L i f a n g2(1.H e b e i K e y L a b o r a t o r y o f M a c h i n e L e a r n i n g a n d C o m p u t a t i o n a l I n t e l l i g e n c e,C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n d I n f o r m a t i o n S c i e n c e,H e b e i U n i v e r s i t y,B a o d i n g 0 7 1 0 0 2,C h i n a;2.S h i j i a z h u a n g T i e d a o U n i v e r s i t y S i f a n g C o l l e g e,S h i j i a z h u a n g 0 5 1 1 3 2,C h i n a)A b s t r a c t:I n o r d e r t o d i s c u s s t h e g r o w t h e s t i m a t e s o f h a r m o n i c e n t i r e m a p p i n g s,t h e o r d e r a n d t h e t y p e o f h a r m o n i c e n t i r e m a p p i n g s a r e s t u d i e d,a n d t h e y c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y t h e c o e f f i c i e n t s o f t h e a n a l y t i c p a r t s a n d a n t i-a n a l y t i c p a r t s.F o r a s t r i c t l y i n c r e a s i n g s e q u e n c e o f p o s i t i v e i n t e g e r snkk=1,t w o q u a n t i t i e s a r e d e f i n e d b y u s i n g t h e v a l u e s o f nk o r d e r d e r i v a t i v e o f t h e a n a l y t i c p a r t a n d a n t i-a n a l y t i c p a r t o f a h a r m o n i c e n t i r e m a p p i n g a t a c e r t a i n p o i n t,a n d i t i s p r o v e d t h a t t h e s e t w o q u a n t i t i e s a r e e q u a l t o t h e o r d e r a n d t h e t y p e o f t h e h a r m o n i c e n t i r e m a p p i n g,r e s p e c t i v e l y,a l m o s t e v e r y w h e r e.K e y w o r d s:e n t i r e f u n c t i o n;h a r m o n i c e n t i r e m a p p i n g;o r d e r;t y p e复平面C上的解析函数称为整函数.整函数的相关结果参见文献1.设f是单连通区域D上的2次连续可微的复值函数,如果f满足f=4fz z=0,那么称f是调和映射.圆盘D r=z:|z|r上的调和映射f有标准分解f=h+g,这里h(z)=0anzn和g(z)=0bnzn均为解析函数2.单位圆盘上的调和映射的性质参见文献3-6.复平面C上的调和映射称为调和整映射.如果单连通区域D上的复值调和映射f满足B e l t r a m i方程fz=fz,其中是D上的解析函数,且|(z)|1,zD,那么称f是保向的,且称 收稿日期:2 0 2 2 0 2 1 3 基金项目:河北省自然科学基金资助项目(A 2 0 2 1 2 0 1 0 0 6)第一作者:乔金静(1 9 8 0),女,河北保定人,河北大学教授,博士,主要从事单复变函数论方向研究.E-m a i l:m a t h q i a o 1 2 6.c o m 通信作者:郑莉芳(1 9 8 2),女,河北石家庄人,石家庄铁道大学四方学院讲师,主要从事不确定性信息处理方向研究.E-m a i l:z h e n g l i f a n g 8 21 6 3.c o m为f的伸缩商.如果调和整映射f=h+g在C上保向,那么伸缩商|(z)|0.根据文献7,f的级定义为=f:=l i m s u prl n l n M(r)/(l n r).级是满足如下条件的最小的0:对于任意给定的0,存在r0=r0()0,满足|f(z)|e x p(|z|+),|z|r0.(1)显然,0.如果00,存在r0=r0()0,满足|f(z)|e x p(+)|z|,|z|r0.(2)显然,0.=0和=分别称为f的最小型和最大型.而在=0和=的情况下,没有定义.如果调和整映射f的级不超过,或者f是级的,型不超过,就称f是(,)增长的.利用整函数的泰勒系数有如下的级和型的特征:定理11整函数f(z)=0anzn是有限级的当且仅当=l i m s u pn nl n n/l n(1/|an|)是有限的,并且f的级=.定理21设整函数f(z)=0anzn是级的,=l i m s u pn n|an|/n.如果0,f是级型的当且仅当=e.如果=0,f是(,0)增长的,如果=,f的增长速度超过(,),反之也成立.2 0 2 1年,邓华等7把整函数级和型的概念及相关性质推广到调和映射的情形,得到了调和整映射级和型的特征.定理37设f=h+g是调和整映射,其中h(z)=0anzn,g(z)=0bnzn.如果f是级的,那么=l i m s u pn-nl n n/l n(|an|+|bn|).(3)定理47设f=h+g是调和整映射,其中h(z)=0anzn,g(z)=0bnzn.如果f是(0)级有限型的,那么=(e)-1l i m s u pn n(|an|+|bn|)/n.(4)定理57设f=h+g是调和整映射.如果f、h、g的级分别是、h、g,那么=m a xh,g.如果f、h、g的型分别是、h、g,那么=h,如果gh,m a xh,g,如果g=h.|最近,文献8 利用整函数f的任意阶导数在点z的值,得到序列f(n)(z),由此序列及其子列,刻画了f的级和型.本文的目的是把这些结果推广到调和整映射的情形,研究调和整映射级和型的性质,且讨论级821河北大学学报(自然科学版)第4 3卷第2期乔金静等:调和整映射的级和型和型的特征.2 调和整映射级和型的性质定理6是定理5的推广,利用调和整映射的解析部分和反解析部分的级,给出调和整映射的级.定理6设f=h+g是调和整映射,则对于任意的00,2 ,f=m a x0,2 h+ei g=m a xh+ei 0g,h-ei 0g.证明:首先证明m a xh+g,h-g=m a xh,g.显然有M(r,h+g)m a x0,2|h(r ei)|+|g(r ei)|2m a x0,2|h(r ei)|,|g(r ei)|.由此可得h+g m a xh,g.类似地,h-g m a xh,g,故m a xh+g,h-g m a xh,g.另一方面,由于h+g+(h-g)=2h,可知h=2hm a xh+g,h-g.而由h+g-(h-g)=2g,可得g=2gm a xh+g,h-g.故m a xh+g,h-g m a xh,g,因此,m a xh+g,h-g=m a xh,g.类似地,可以 证明对于任 意的00,2 ,m a xh+ei 0g,h-ei 0g=m a xh,g.由定理5,f=m a xh,g.从而f=m a x0,2 h+ei g=m a xh+ei 0g,h-ei 0g.证毕.由定理4,调和整映射f=h+g=0anzn+0bnzn的级和型之间的关系是=(e)-1l i m s u pn n(|an|+|bn|)/n.一个有趣的问题是,上述等式右端,级换为其他的非负实数,又会得到什么样的结果?下面的定理给出了这个问题的答案.定理7设调和整映射f的级为,则当(,)时,l i m s u pn n(|an|+|bn|)/n=0;当(0,)时,l i m s u pn n(|an|+|bn|)/n=.证明:假设0,有l nn(|an|+|bn|)/n-/(+n)-1()l n n.又因为对于所有充分大的n,+n,因此l i m s u pn n(|an|+|bn|)/n=0,.(6)假设0.由定理3存在子列ank,bnk,使得l i mk-nkl n nk/l n(|ank|+|bnk|)=,即l n(|ank|+|bnk|)/(nkl n nk)=-1/+o(1).上式等价于l n(|ank|+|bnk|)1/nk=-1/l n nk+o(l n nk).对于0,可得l nnk(|ank|+|bnk|)/nk=1-/()l n nk+o(l n nk).对上式两端求极限可得l i mknk(|ank|+|bnk|)/nk=,从而l i m s u pn n(|an|+|bn|)/n=,(0,).(7)证毕.由式(4)、(6)和(7)可以看出,如果=(e)-1l i m s u pn n(|an|+|bn|)/n,当=时,是一个有限数,当大于或者小于时,分别取到0和.定理8设f是级的调和整映射,(0,),f的型为=(e)-1l i m s u pn n(|an|+|bn|)/n,0.如果子列ank,bnk满足=(e)-1 l i mk nk(|ank|+|bnk|)/nk,那么l i mknkl n nk-l n(|ank|+|bnk|)=.921证明:假设00以及足够大的k,有(|ank|+|bnk|)/nkM/nk,即l n(|ank|+|bnk|)/(nkl n nk)-1+l n M/l n nk.也就是说,对于子