带有p-Laplacian...分方程边值问题正解的存在性_张晴.pdf

第4 7卷/第3期/2 0 2 3年5月河北师范大学学报/自然科学版/J O U R N A LO FH E B E IN O R M A LU N I V E R S I T Y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l.4 7N o.3M a y.2 0 2 3文章编号:1 0 0 0-5 8 5 4(2 0 2 3)0 3-0 2 2 3-0 9收稿日期:2 0 2 2-0 5-2 5;修回日期:2 0 2 2-0 9-1 2基金项目:河北师范大学数学科学学院创新资助项目(x y c x z z s s 0 0 2)作者简介:张 晴(1 9 9 8),女,河北廊坊人,硕士研究生,研究方向为微分方程稳定性.通信作者:李巧銮(1 9 7 1),女,教授,研究方向为微分方程稳定性.E-m a i l:q l l 7 1 1 2 51 6 3.c o m带有p-L a p l a c i a n算子的分数阶积分 微分方程边值问题正解的存在性张 晴,李纯硕,李巧銮(河北师范大学,数学科学学院,河北 石家庄 0 5 0 0 2 4)摘要:研究了带有p-L a p l a c i a n算子以及变R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的分数阶积分-微分方程的边值问题,利用锥上的不动点定理,得到了该边值问题正解的存在性结果.关键词:分数阶积分-微分方程;变R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分;p-L a p l a c i a n算子;锥上的不动点定理中图分类号:O1 7 5 文献标志码:A d o i:1 0.1 3 7 6 3/j.c n k i.j h e b n u.n s e.2 0 2 3 0 1 0 0 8E x i s t e n c eo fP o s i t i v eS o l u t i o n s f o rB o u n d a r yV a l u eP r o b l e m so fF r a c t i o n a l I n t e g r o-d i f f e r e n t i a lE q u a t i o n sw i t hp-L a p l a c i a nO p e r a t o rZ HANGQ i n g,L IC h u n s h u o,L IQ i a o l u a n(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s,H e b e iN o r m a lU n i v e r s i t y,H e b e i S h i j i a z h u a n g 0 5 0 0 2 4,C h i n a)A b s t r a c t:I nt h i s p a p e r,w es t u d yt h e b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m o ff r a c t i o n a li n t e g r o-d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hR i e m a n n-L i o u v i l l ef r a c t i o n a l i n t e g r a lo fv a r i a b l eo r d e ra n dp-L a p l a c i a no p e r a t o r.B yu s i n gt h e f i x e dp o i n tt h e o r e mo nc o n e,t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi so b-t a i n e d.K e yw o r d s:f r a c t i o n a l i n t e g r o-d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;R i e m a n n-L i o u v i l l e f r a c t i o n a l i n t e g r a l o f v a r i a b l eo r-d e r;p-L a p l a c i a no p e r a t o r;f i x e dp o i n t t h e o r e m so nc o n e0 引言近些年来,带有p-L a p l a c i a n算子的分数阶微分方程引起了人们的极大关注,分数阶p-L a p l a c i a n方程边值问题解的存在性已经有了很多研究成果1-3,但是,含有变分数阶积分的p-L a p l a c i a n方程边值问题的研究相对较少.T i a n等4考虑了带有p-L a p l a c i a n算子的分数阶微分方程边值问题 D(p(Du(t)=f(t,u(t),0t1,u(0)=Du(0)=0,Du(1)=aDu(),Du(1)=bDu()正解的存在性,其中,RR;10并且1+;,(0,1);a,b0,+);1-a-10;1-bp-1-10并且p(s)=sp-2s,p1,D是R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶导数算子,应用单调迭代法,得到正解的存在性结果.考虑以下含有变R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分的p-L a p l a c i a n方程:(p(cDx(t)+a(t)f(t,x(t),Ip(t)0+x(t)=0,0t1,x(0)=x(0)=0,(p(cDx(t)t=0=0,p(cDx(t)t=1=p(cDx(t)t=,(1)其中12,1p(t)2,01,01,1p+1q=1,运用锥上的不动点定理,得到了该边值问题正解的存在性结果.1 预备知识假设下列条件成立.A1)fC(0,10,+)0,+),(0,+),a(t)是区间 0,1上的非负连续函数.首先给出本文用到的定义及相关引理.定义15 令0是一个实数,函数u的阶C a p u t o分数阶导数定义为 cDu()=1(n-)0(-s)n-1u(n)(s)ds,n=+1.定义25 令0是一个实数,函数u的阶R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分定义为 Iu()=0(-s)-1()u(s)ds.定义36 函数u的p()0阶R i e m a n n-L i o u v i l l e分数阶积分定义为 Ip()0+u()=0(-s)p(s)-1(p(s)u(s)ds.引理15 若0,n=+1,函数uL0,1C0,1,则有 I(cD(u()=u()-a1-a2-ann-1,ai RR,i=1,2,n.引理27 设1,h是0,1上的连续函数,那么边值问题 u(t)+h(t)=0,t(0,1)u(1)=u(),u(0)=0,(2)有唯一解u(t)=10G(t,s)h(s)ds,其中 G(t,s)=1-1-t,0s m i nt,1-1-s,0ts1,1-s1-(t-s),0st1,1-s1-,m a xt,s1.(3)注1 显然,G(t,s)是 0,10,1上的连续函数,并且G(t,s)0.引理38 令U是B a n a c h空间,雉PU,设G1,G2是U中的有界开集,G1,G-1G2.假设T:P(G-2G1)P为全连续算子,满足i)T x x,xPG1,并且T x x,xPG2,或者i i)T x x,xPG1,并且T x x,xPG2,那么T在P(G-2G1)上有一个不动点.引理49 令P是实B a n a c h空间U上的一个锥,Pd=xPx d,是P上的一个非负连续凹函数,使得(x)x对于所有xP-d成立,P(,b,c)=xPb(x),x c.假设T:P-dP-d全连续,且存在常数0abb,且对于xP(,b,c),(T x)b;422C2)对于xP-a,T x c,有(T x)b:那么T至少有3个不动点x1,x2,x3,满足x1 a,b(x2),a x3,(x3)b.注2 如果c=d,则由引理4中的条件(C1)可以直接得到引理4的条件(C3).2 主要结果引入记号 p*:=m a xt0,1|p(t)|,p*:=m i nt0,1|p(t)|,p0:=m i nt0,1|1(p(t)|,p1:=m a xt0,1|1(p(t)|,p-*:=m a xt0,|p(t)|,p-*:=m i nt0,|p(t)|,p-0:=m i nt0,|1(p(t)|,p-1:=m a xt0,|1(p(t)|.引理5 若01,01,则对于hC0,1,边值问题:(p(cDx(t)+h(t)=0,0t1,x(0)=x(0)=0,(p(cDx(t)t=0=0,p(cDx(t)t=1=p(cDx(t)t=,(3)有唯一解x(t)=1()t0(t-s)-1-1p(10G(s,r)(r)dr)ds,其中G(s,r)由(3)给出.证 令p(cDx(t)=u(t),则边值问题(4)可简化为 u(t)+h(t)=0,u(1)=u(),u(0)=0,由引理2得此边值问题有唯一解u(t)=10G(t,s)h(s)ds.由p(cDx(t)=u(t)得 cDx(t)=-1pu(t),上式两边同时求阶R i e m a n n-L i o u v i l l e积分,利用引理1得 x(t)-a1-a2t=1()t0(t-s)-1-1pu(s)ds.由x(0)=x(0)=0得到a1=a2=0,所以 x(t)=1()t0(t-s)-1-1pu(s)ds=1()t0(t-s)-1-1p(10G(s,r)h(r)dr)ds.利用注1容易得到下面结论.引理6 若01,00,使得对所有的xH,有x M.令 =s u ps0,1,xM,|10G(s,r)a(r)f(r,x(r),Ip(r)0+x(r)dr|,xH,T x(t)=1()t0(t-s)-1-1p(10G(s,r)a(r)f(r,x(r),Ip(r)0+x(r)dr)ds1()t0(t-s)-1-1p()dsq-1()10(1-s)-1ds=q-1(+1),并且 Ip(t)0+T x(t)t0(t-s)p(s)-1(p(s)T x(s)dsp1q-1(+1)t0(t-s)p*-1dsp1q-1(+1)10(1-s)p*-1ds=q-1p1(+1)p*.故T(H)是一致有界的.xH,0t1t21有 T x(t2)-T x(t1)=1()t20(t2-s)-1-1p(10G(s,r)a(r)f(r,x(r),Ip(r)0+x(r)dr)ds-622 t10(t1-s)-1-1p(10G(s,r)a(r)f(r,x(r),Ip(r)0+x(r)dr)ds=1()t10(t2-s)-1-(t1-s)-1)-1p(10G(s,r)a(r)f(r,x(r),Ip(r)0+x(r)dr)ds+1()t2t1(t2-s)-1-1p(10G(s,r)a(r)f(r,x(r),Ip(r)0+x(r)dr)ds q-1()t10(t2-s)-1-(t1-s)-1)ds+q-1()t2t1(t2-s)-1ds=q-1(+1)(t2-t1).并且由p(s)-1(0,1)有|Ip(t)0+T x(t2)-Ip(t)0+T x(t1)|t20(t2-s)p(s)-1(p(s)T x(s)d s-t10(t1-s)p(s)-1(p(s)T x(s)ds=t10(t2-s)p(s)-1-(t1-s)p(s)-1(p(s)T x(s)ds+t2t1(t2-s)p(s)-1(p(s)T x(s)dsp1q-1(+1)(t10(t2-t1)p(s)-1ds+t2t1(t2-s)p*-1ds)p1q-1(+1)(t1(t2-t1)p*