超曲面Calabi几何的体积变分及稳定性_李明.pdf

（）年 第 卷 第 期 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金面上项目（）；重庆市自然科学基金面上项目（-）作者简介：李明，男，博士，副教授，主要从事微分几何学研究，-：；通信作者 杨红，女，硕士研究生，-：。本文引用格式：李明，杨红 超曲面 几何的体积变分及稳定性 重庆理工大学学报（自然科学），（）：，（），（）：（）超曲面 几何的体积变分及稳定性李明，杨红（重庆理工大学 数学科学研究中心，重庆 ）摘要：首先给出了参数化超曲面在 法化下的几何结构。证明了一般参数化超曲面的 几何均可局部描述为凸函数的图的典型 几何，并证明 流形可局部表示为凸函数的图的典型 几何。对于参数化超曲面，建立了 几何的体积第一变分公式和第二变分公式。作为推论，证明了 维 曲率非正的极值 曲面是稳定的，并且仿射面积泛函在这类曲面取得极大值。关键词：超曲面的 几何；流形；体积变分公式；稳定极值曲面中图分类号：文献标识码：文章编号：（）引言超曲面的仿射微分几何是子流形理论的重要分支，是 关于几何学的 纲领应用在微分几何领域的成果。学派对幺模仿射几何进行了系统研究，最先研究了中心仿射几何。和陈省身在幺模仿射几何中的极大超曲面的整体问题方面作出了主要贡献。他们提出的仿射极大超曲面的 问题激发了 、郑绍远、丘成桐、李安民和汪徐家等在非线性偏微分方程，特别是 -方程方面的研究。关于仿射微分几何可参考文献 。受到 的影响，经过 和 等的研究，相对几何理论作为一种更加结构化的仿射微分几何理论被建立起来 ，并将幺模仿射几何、中心仿射几何及 关于凸函数的图超曲面的仿射几何作为特例，这三者分别对应于仿射群的幺模仿射子群、一般线性群以及平移群。关于幺模仿射几何和中心仿射几何的体积变分公式已被系统研究 ，。对于严格凸函数的图的 几何的体积第一变分公式见文献 。对于严格凸函数的图的 几何的体积第二变分公式见文献 。运用不同的方法给出具有 法化的一般超曲面的体积第一和第二变分公式。对照文献 关于凸函数图的变分计算与本文证明，可以看出推导过程中清晰地给出了重要的几何对象，如度量、仿射联络、-联络及-形式的变分公式。定理 设 为非退化嵌入超曲面，其中 是 中的连通开域。设 具有由常向量 诱导的 几何结构，其 -度量为 。在度量 下的体积为：（）（）假设 是超曲面的正则变分向量场，那么 的体积第一变分公式为：（）（）其中 为平均曲率，为超曲面的 -向量场。满足 的超曲面称为极值 -超曲面。极值 超曲面的体积第二变分公式为：（）（）（，）（），）（）其中是 关于度量 的梯度，是度量 的 算子。黎曼流形中的浸入极小子流形的稳定性一直以来是微分几何的重要研究课题。等 利用具有非负曲率流形中的极小曲面的稳定性，证明了 维流形上的正数量曲率度量的拓扑障碍的存在性（也可参考文献 ）。另外文献 给出了极小超曲面的稳定性与经典 问题的密切联系。等仿射几何中的 问题在文献 中已有系统的研究。文献 列出了曲面稳定性研究的 个基本问题：第一个问题是在什么样的简明的几何条件下，极值曲面是稳定的；第二个问题是寻找所有的完备稳定极值曲面。第二个问题显然与 问题相关。在 几何情形，文献 首先得到了满足一类微分方程的函数的稳定图。关于稳定性研究的第一个基本问题，得到了如下结果。定理 若极值 曲面在仿射度量下的 曲率是非正的，那么该曲面是稳定的，并且面积泛函在该曲面处取得局部极大值。非退化超曲面关于 相对法化几何结构对于仿射空间中的非退化超曲面在相对法化下的几何理论可参考文献 。主要考虑法向为常向量场的 相对法化，并从参数化超曲面的角度对于相应的几何结构进行描述。设 为嵌入映射，其中 是 中的连通开域。那么 （）称为 中的参数化超曲面。假设 非退化，并且向量 与 处处横截相交。因为 ，故向量场 给出 的一个相对法化，称为 相对法化（简称 法化）。超曲面 在 法化下的几何称为 几何。对任意 ，点 （）处的切空间 （）由自然标架 ，张成。因此对任意 ，（）构成 的一组基。根据相对几何的一般理论，由式（）可知 的 方程为：（）设 ，则在 上定义一个无挠的仿射联络 。另外 在 上定义了一个半黎曼度量，称为 -度量。仅考虑 正定的情形。李明，等：超曲面 几何的体积变分及稳定性对方程（）两边再求一次导数可得 ()()（）根据 以及的曲率定义 ()从式（）得到 （）因此为无挠的平坦联络。令 ，那么在局部坐标系下 的系数为：()（）容易证明 是全对称的（，）-形张量 。令 ，其中是 的 -联络。用 表示在自然标架下的联络系数，因此 的系数为：（）因为 ，由式（）可知 根据式（）可得 ()（）因此，得到 。由式（），容易得到联络和 的曲率之间的关系：，（）此处 表示的曲率张量，表示的系数，“，”表示张量关于 -联络的协变导数。从式（）和（），可以得到 ，（）根据张量的对称性，式（）等价于下面 个方程：，（）和 （）这里的式（）和（）即为具有 法化的超曲面的结构方程。此外，-形式 定义为 -形式的迹：（）关于度量 的对偶向量场 称为 -向量场。下面的性质说明上述仿射超曲面的 几何结构与 在凸函数图像引入的几何结构 ，是等价的，并且也给出 流形 的局部嵌入定理。性质 对于非退化超曲面 ，设 具有 法化，其法向为常向量 。存在 的重新参数化 ，以及 中的非退化线性变换 （，），使得 具有如下形式：（，）（，（，）（）其中 （，）为 上的光滑函数，并且具有非退化的 矩阵。另一方面，流形均可局部嵌入为 中的超曲面，使得 的平坦联络及 度量由嵌入超曲面的 法化所诱导。证明由于 的 法化诱导的联络无挠且曲率为零，因此存在重新参数化 ，使得在新的坐标系下，即的联络形式为零 ，此时式（）简化为：（）（）进一步，存在 中的非退化线性变换 ，使得?（，）。记 。的坐标表示为：（，）根据式（），的前 个分量的 都为零，因此这些分量都是关于坐标（，）的线性函数。由于 ，?线性无关，故可通过仿射坐标变换使得 的前 个分量恰为：，的第 个分量满足 这一性质独立于坐标系的仿射变换。从上述证明知，超曲面 的 法化诱导的仿射联络和仿射度量 为 结构 。反之，假设 是 维仿射流形，上具有 度量 ，在局部仿射坐标系下 ，其中是无挠的平坦联络，是局部势函数。该仿射坐标系上由函数 的图给出的超曲面与 局部微分同胚，向量（，）所确定的 相对法化诱导的仿射联络为平坦联络，而诱导度量恰是 。将具有 相对法化的非退化超曲面的表示式（），称为典型表示，这种表示在相差坐标系的位似变换和平移变换下是唯一的，而势函数 可相差线性函数。下面，具体计算具有 法化的非退化超曲面在典型表示式（）时，几何量的具体表达式。首先 -度量具有局部表达式：（）并且诱导的平坦联络的 系数 。由式（）和（），可知 （）根据式（）、（）和（），-形式 由下式给出 ()李明，等：超曲面 几何的体积变分及稳定性其中（）是（）的逆矩阵。因此 ()（）进而 -向量场 的散度为：*()（）其中*为外微分算子关于度量 的伴随算子。超曲面 几何的体积变分公式首先考虑嵌入超曲面 的正则变分。在不引起混淆的情况下，仍然用 （，）（）表示超曲面 的变分。若引入记号 （，），（，），则 为初始超曲面。不失一般性，假设 均为非退化超曲面，的 法向 也与 横截相交，的相对法化也默认为由 给出的 相对法化。因此该变分的变分向量场可以表示为：（）其中 ，（）是 上具有紧支集的光滑函数。首先计算 -度量 以及平坦联络的变分公式。引理 对于超曲面的正则变分 （，），-度量 以及联络的变分公式为：，（）以及 ，（）证明由于式（）对于变分（）仍然成立，对于式（）关于 求导可得 （）将变分向量场式（）代入式（），再次使用式（），可知 ()()()()（）另一方面，对变分向量场式（）关于，求导，整理可得 ()()()（）将式（）代入式（），可知 ()()()()()()（）比较式（）和（），并利用可积性条件（），可得 ()（）()（）由式（）可得 ，()()，因此式（）成立。另一方面，由式（）和（），可得 ()()()()()()()，（），（），（）（）（）（），（），（），由此可知式（）成立。引理 对于超曲面的正则变分 （，），-度量 的 -联络 以及 -形式 的变分公式为：（，），（，），（，），（）李明，等：超曲面 几何的体积变分及稳定性以及 ，（，），（，），（，），（）证明黎曼度量 的 -联络的一般变分公式为：()，()，()，（）将式（）代入式（），整理可知式（）成立。（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），根据式（）、（）以及（），可知式（）成立。引理 对于超曲面的正则变分 （，），若变分向量场的切向分量为零，那么 -形式 的变分公式为：（，），（）证明假设变分向量场（）的切向分量为零，式（）简化为：（，），（，），（，），（）对式（）取迹可得式（）。下面证明给出具有超曲面的 几何的变分公式，即定理 的证明。定理 的证明根据超曲面在 -度量下的体积定义式（），可知 （）（）（）（）将式（）代入式（），并利用散度定理，可得 （）（，）（，），其中定义平均曲率 ，。这就给出了第一变分公式（）的证明。对于极值 超曲面，计算体积的第二变分公式。由于变分向量场（）中的切向分量 对第一变分公式没有贡献，为了简单起见，假设 。根据第一变分公式（），以及 的假设，只需计算 ，即，其中，。根据 -度量 的变分公式（）以及 -形式 的变分公式（），可知 （，）（，），（）由式（）可以得到()，（，），（，），（）根据（），并对式（）和（）取迹，可知，()，（，），（，）（，），（）根据第一变分公式（）和式（），运用散度定理，得到极值 超曲面的体积第二变分公式：（），（，），（，）（，），（，），（，），（，），（）（，）（）（），）（）（，）（）（，）（），）因此可得第二变分公式（）。推论 对于严格凸函数 的图给出的超曲面，那么该超曲面为极值 曲面当且仅当 满足 阶方程 ()其中 是度量 的 算子。推论 若 是 -方程 ()的凸解，那么由 的图给出的超曲面为稳定的极值 超曲面，并且体积泛函在该超曲面处取得局部极大值。推论是定理中的第一变分公式（）和式（）的直接应用。根据定理中的第二变分公式（），推论 是显然的。下面证明定理 。首先叙述在仿射微分几何中经常用到的关于 形式 的一个引理。李明，等：超曲面 几何的体积变分及稳定性引理 ，给定具有 法化的曲面 。对于任意点 （），考虑 点切空间在仿射度量 下的单位圆。定义函数 为：（）（，）（），），那么存在 的一个单位正交标架，使得）是 在 上的极大值点；），是算子 （）的特征向量，即 （），（）；）是 在 上的最大值，并且满足不等式 。如果 ，那么 （）。并且上述选择的标架可延拓为局部单位正交标架场。定理 的证明对于 曲面情形，在引理 所确定的标架场，下，形式 的系数满足 ，因此（）（）（）（）以及（）（）对于要考虑的问题而言，的情形由推论 可知结论正确。不失一般性可以假设 ，即 。根据结构方程（），以及式（）和（），曲面的 曲率为：（）（）（）若曲率 为零，那么 或者 。但 与假设 以及引理 中的不等式 矛盾。所以 当且仅当 。当 时，由于关于 的二次方程 有实根，所以 。解方程得 。根据引理得知 当且仅当 。在 的情形，进一步可以得到 的符号与 的关系：当 时，可知 ；当 时，。第二变分公式（）中的二次型 （），）在标架场，下的矩阵表示为：（）（，）（，）（，）（，()）（）（）（）（）（）()（）（）（）()（）（）（）当 时，（），又因为 时 ，所以（）是半正定的，即（，）（，）（），）由此可知 （）（）（，）（，）（）参考文献：，：，：，-，：，：，-：，王艳 中心仿射超曲面的若干变分公式 理论数学，（）：，（）：，：，（），（）：，-：，：，-：，：，：，李明，龚妍廿 具有平行 -形式的局部强凸相对球 西南师范大学学报（自然科学版），（）：，（，）：，-，：；