粗糙裂缝型多孔介质渗透率的分形模型_王世芳.pdf

第5 7卷第2期华中师范大学学报(自然科学版)V o l.5 7 N o.22 0 2 3年4月J OUR NA LO FC E N T R A LCH I NANO RMA LUN I V E R S I T Y(N a t.S c i.)A p r.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 2-0 1-1 2.基金项目:国家自然科学基金项目(1 1 9 7 2 2 6 6).*通信联系人.E-m a i l:w t l a s e r 1 2 6.c o m.D O I:1 0.1 9 6 0 3/j.c n k i.1 0 0 0-1 1 9 0.2 0 2 3.0 2.0 0 6文章编号:1 0 0 0-1 1 9 0(2 0 2 3)0 2-0 2 2 3-0 5粗糙裂缝型多孔介质渗透率的分形模型王世芳1,2,吴 涛3*(1.湖北第二师范学院物理与机电工程学院,武汉4 3 0 2 0 5;2.湖北第二师范学院理论物理研究所,武汉4 3 0 2 0 5;3.武汉工程大学光电信息与能源工程学院,武汉4 3 0 0 7 4)摘 要:多孔介质渗透率的研究在油气藏、地下水文学、燃料电池、纤维织物等诸多实际应用工程领域具有重要的应用价值.该文基于分形理论和达西定律,提出了牛顿流体在粗糙裂缝型多孔介质中渗透率的分形模型.研究结果表明粗糙裂缝型多孔介质的渗透率是正弦波动幅度因子、裂缝面积分形维数、孔隙率及最大裂缝宽度等多孔介质微结构参数的函数,每个参数都有明确的物理含义,能清楚揭示影响粗糙裂缝型多孔介质渗透率的物理机理.为了证实渗透率分形模型的有效性,将该模型与已有模型和数值模拟结果进行对比,整体结果吻合较好.关键词:分形理论;裂缝型多孔介质;渗透率;流量中图分类号:P 6 4 1 1 2文献标志码:A开放科学(资源服务)标志码(O S I D):流体在裂缝型多孔介质中的流动一直是石油、水力资源开发与应用、燃料电池、放射性废物处理、地热系统和生物工程、航空航天保温材料设计等实际应用工程领域的热门研究问题1-4.渗透率作为岩石物性的一个重要参数,反映了流体在多孔介质中的传输特性.自从法国工程师达西通过实验测量得到了著名的达西定律以来,科学家及学者对多孔介质的渗透率进行了大量的实验和数值模拟研究.譬如W e i t z e n b o c k在常压下测量了树脂转移模塑的二维径向流渗透率的大小5.苗同军等考虑了流体从基质到裂缝之间的窜流效应,提出了孔隙裂缝介质的等效渗透率模型6.考虑表面扩散效应、气体滑移效应及真实气体效应的影响,R e n等提出了页岩多孔介质渗透率的解析模型,该模型不含任何经验常数7.然而R e n等提出的渗透率模型没有考虑毛细管管壁粗糙度的影响.多孔介质渗透率传统的测量方法是用实验测量确定,但是由实验测量得到渗透率关系式往往含有一个或者多个经验常数,这些经验常数的物理意义往往不清楚,常常和被测量的样品有关,且实验测量耗时耗财力;用数值模拟的方法得到多孔介质的渗透率也存在类似的问题.人们对于具有简单规则结构的多孔介质渗透率可以通过求解S t o k e s方程和B r i n k m a n方程获得.但是对于实际结构非常复杂且无序的多孔介质来说,用传统的理论方法确定多孔介质的渗透率是不可行的.大量的文献研究表明自然界的多孔介质满足统计意义的自相似性.郁伯铭等基于分形理论提出了由一组平行弯曲毛细管组成的饱和或非饱和多孔介质的渗透率模型8.徐鹏等基于蒙特卡洛模拟法提出了分形多孔介质径向流的渗透率模型,并将得到的渗透率模型和已发表的渗透率解析模型进行比较,结果吻合较好9.然而,上面所提到的渗透率模型都是基于多孔介质由一簇弯曲圆形毛细管组成,并没有考虑毛细管管壁粗糙度对流体在多孔介质中传输特性的影响.近年来,有相当多的文献研究流体在裂缝型多孔介质中的输运特性1 0-1 2.苗同军等基于裂缝型多孔介质的裂缝长度满足分形分布的假设和立方定理,提出了裂缝型多孔介质渗透率分形模型1 0.D e n g和Z h u基于分形理论在考虑层流和非线性流情况下,提出了沿裂缝长度方向裂缝型多孔介质的等效渗透率1 2.然而,上面所提到的模型均认为裂缝管壁是平行、光滑的矩形管壁面,从而把裂缝型介质的微结构过于简单化.事实上,自然界的裂缝型多孔介质管壁都是粗糙的、且裂缝开度大小都是非均匀分布的.Z i mm e r m a n等根据润滑理论研究了牛顿流体在单根管壁呈正弦波动的裂缝中的渗透率1 3.然而,他们并没有考虑裂缝开度大小的分布情况.截至2 2 4 华中师范大学学报(自然科学版)第5 7卷目前为止,鲜少文献报道裂缝型多孔介质的渗透率既考虑裂缝管壁粗糙度又考虑裂缝开度大小的分布.本文的主要目的是考虑裂缝开度大小分布,提出了粗糙管壁裂缝型多孔介质的渗透率分形模型.1裂缝型多孔介质的渗透率模型已有文献表明,通过电镜观测多孔介质的横截面微结构并不是单一圆形截面,可能是矩形、三角形、椭圆形或者其他无规则截面,并且发现孔隙截面是非均匀分布的1 4-1 6.在本文中,作者把多孔介质孔隙看成一束平行的、大小分布不均匀、凸凹不平的矩形管道,并以此模拟粗糙裂缝,即把将凸凹不平的矩形管道粗糙表面描述为呈正弦变化的收缩毛细管道.图1显示了单根粗糙正弦收缩矩形裂缝,裂缝的开度为h(x),上下管壁是呈正弦波动,假设平均开度为h,则单根裂缝的开度可以写成:h(x)=h(1+s i n2 x),(1)其中,为正弦波动幅度因子,为正弦波的波长,h为单根裂缝的平均开度.当=0,此时裂缝为理想状态下的光滑裂缝;当=0.5,此时矩形管道为死孔穴,不在本文考虑范围内.图1 单根粗糙矩形裂缝示意图F i g.1 S c h e m a t i co f as i n g l e f r a c t u r ew i t hs i n u s o i d a l s u r f a c e s根据润滑理论1 3,等效开度可以表示成:1h3e=10dxh(1+s i n2 x)3,(2)从而可以求出等效开度he的大小:h3e=h3(1-2)5/21+22.(3)根据立方定律,牛顿流体在单根光滑矩形管道中的流量为:q(h)=h3w1 2pL0,(4)将(3)式代入(4)式中,得q(h)=h3(1-2)5/2w1 2(1+22)pL0,(5)(5)式说明了牛顿流体通过单根粗糙矩形裂缝的流量与裂缝平均开度、正弦波动幅度、宽度和压力梯度有关.对于裂缝来说,裂缝开度和宽度一般满足如下关系式1 0:h=w,(6)其中,为比例系数.自然界中大部分多孔介质的孔隙/裂缝分布满足统计意义上的自相似性1 7-1 9:N(Ww)=(wm a xw)df,(7)df为裂缝宽度的分形维数,w与wm a x分别代表裂缝宽度和最大裂缝宽度,对上式(7)两边微分,得到在w和w+dw之间的裂缝数目:dN=-dfwdfm a xw-(df+1)dw,(8)于是,通过粗糙裂缝多孔介质的总流量可以通过下面积分求出:Q=-wm a xwm i nqdN=wm a xwm i nh3(1-2)5/2w1 2(1+22)pL0dfwdfm a xw-(df+1)dw=(1-2)5/23dfw4m a xp1 2(1+2/2)(4-df)L01-(wm i nwm a x)4-df,(9)式(9)表明了牛顿流体通过粗糙裂缝型多孔介质的流量与多孔介质的微结构参数及压力梯度有关.当=0,上式可化简为:Q=3dfw4m a xp1 2(4-df)L01-(wm i nwm a x)2-df,(1 0)(1 0)式代表牛顿流体在由一束平行光滑矩形毛细管组成的多孔介质中的流量.对于单根粗糙矩形毛细管的体积可以通过下式计算得到:Vp=L00h(x)wdx,(1 1)假设单根粗糙毛细管的长度满足L0,则单根粗糙矩形裂缝的体积可以表示成:Vp=w2L0.(1 2)对于多孔介质一个代表性单元,所有裂缝的体积可以通过下式积分得到:Vp t=-wm i nwm i nVpdN=dfL0w2m a x2-df1-wm i nwm a x2-df,(1 3)第2期王世芳等:粗糙裂缝型多孔介质渗透率的分形模型2 2 5 根据孔隙率的定义,裂缝型多孔介质的体积与孔隙率满足如下关系式:V=Vp t.(1 4)把裂缝型多孔介质看成一个长方体,则其体积又可以表示成V=A L0,(1 5)其中,A为裂缝型多孔介质的横截面积,则其大小可由下式确定:A=dfw2m a x(2-df)1-wm i nwm a x2-df,(1 6)而孔隙率的大小可以写成:=wm i nwm a x2-df.(1 7)根据达西定律和式(9),渗透率可以写成:K=L0QAp=(1-2)5/23dfw4m a x1 21+22(4-df)A1-wm i nwm a x4-df,(1 8)式(1 8)表示牛顿流体在粗糙裂缝型多孔介质中的渗透率,它是最大孔隙宽度、孔隙面积分形维数、正弦波动幅度因子、面积分形维数等多孔介质微结构参数的函数,不含任何经验常数,每个参数都有明确的物理含义.当=0,上式可以化简为:K=3dfw4m a x1 2A(4-df)1-wm i nwm a x4-df,(1 9)式(1 9)是牛顿流体在一簇光滑矩形裂缝且满足分形分布的多孔介质的渗透率解析模型.2分析与讨论下面将本文提出的粗糙裂缝型多孔介质的渗透率分形模型与现有模型及数值模拟实验结果进行对比,以验证本文提出的渗透率分形模型的正确性.L i u等1 8通过有限元数值模拟的方法拟合得出了多孔介质的渗透率与孔隙面积分形维数满足如下二次函数关系:k=7.41 0-1 6d2f-8.5 51 0-1 6df-9.6 01 0-1 7.(2 0)图2显示了裂缝面积分形维数对渗透率的影响,这里选取的参数wm a x=7 0m,=0.0 0 6,裂缝型多孔介质的横截面积和孔隙率分别由式(1 6)和(1 7)确定.从图2可以看出面积分形维数越大,渗透率越大,其原因可以解释为面积分形维数越大表明孔隙率越大,流体受到的流动阻力越小,因此渗透率越大.为了验证本文渗透率模型(式(1 8)的合理性,将本模型与现有的理论模型进行比较.从图2可以看出,本文提出的渗透率模型随面积分形维数的变化趋势,与L i u等1 8提出的模型吻合较好,从而说明了本文提出的渗透率分形模型的合理性.本文提出的粗糙裂缝型多孔介质渗透率模型不含任何经验常数,每个物理量都有明确的物理意义,能 有 效 揭 示 影 响 渗 透 率 的 物 理 机理;然而,L i u等拟合得到的渗透率模型含有多个拟合常数,这些拟合常数的物理意义并不清楚,它们不能有效地揭示影响多孔介质渗透率的物理机制.图2 在不同正弦波动幅度因子下渗透率随裂缝面积分形维数的变化关系F i g.2 T h ep e r m e a b i l i t yo f f r a c t u r e d-p o r o u sm e d i av e r s u sp o r o u sa r e a f r a c t a l d i m e n s i o na td i f f e r e n t s i n ew a v e f l u c t u a t i o na m p l i t u d e f a c t o r s图3为本文所提出的裂缝型多孔介质渗透率模型预测值与已出版文献中的裂缝型多孔介质渗透率模拟值2 0之比较.对于裂缝型多孔介质渗透率模型(公式(1 8),正弦波动幅度因子分别取0,0.1,0.2,最大、最小裂缝宽度及比例系数分别取wm a x=2c m,wm i n=0.0 2c m和=0.0 9.从图3中可以看出随着孔隙率的增加,渗透率也逐渐增大;正弦波动幅度因子对渗透率也有一定的影响,即正弦波动幅度因子越大,渗透率越低.这可以解释为正弦波动幅度因子越大,裂缝壁面越粗糙,流体受到的阻力也大,因此渗透率越低.从图3可以看出,本模型预测结果与已出版文献的数值模拟结果吻合比较好,从而说明了本模型的合理