第32卷第1期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.12023年3月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScienceEdition)Mar.2023收稿日期:2022-01-24基金项目:2019年教育部“双万计划”省级一流本科专业“数学与应用数学”专业建设项目;凯里学院教授专项基金(JS201602)作者简介:张洪(1966—),男,贵州凯里人,凯里学院理学院教授,主要研究方向为代数与数论教学。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.01.002Euler函数方程φ(xy)=28(φ(x)+φ(y))的正整数解张洪(凯里学院理学院,贵州凯里556011)摘要:利用初等方法研究了不定方程φ(xy)=28(φ(x)+φ(y))的可解性问题,并给出了该方程的全部正整数解,其中φ(n)是Euler函数。关键词:Euler函数方程;初等方法;可解性;正整数解中图分类号:O156文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)01-0007-050引言不定方程整数解的研究是数论研究的重要课题之一。对任意的正整数n,Euler函数φ(n)定义为序列1,2,…,n中与n互素的整数个数。它是数论研究中的一个重要函数,有着广泛的应用。关于包含Euler函数φ(n)的方程整数解的研究,已经有丰富的成果。在文献[1-12]中研究了不定方程φ(xy)=m(φ(x)+φ(y)),当m=1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,15,20以及2k和3k等的正整数解。本文在此基础上,利用初等方法给出不定方程φ(xy)=28(φ(x)+φ(y))的所有正整数解。1引理引理1[9]对任意的正整数m与n,若mn,则φ(m)φ(n)。引理2[9]设n=p1α1p2α2…prαr∈Z+,其中pi为互不相同的素数,则φ(n)=p1α1-1p2α2-1…prαr-1(p1-1)(p2-1)…(pr-1)。引理3[9]对任意的正整数m与n,有φ(mn)=(m,n)φ(m)φ(n)φ(m,n),其中(m,n)是m与n的最大公因数。引理4[9]当n≥3为整数时,φ(n)为偶数。引理5[10]方程φ(x)=2p(p为素数)的解x为1)当p=2时,解为x=5,8,10,12。2)当p=3时,解为x=7,9,14,18。3)当p≥5时,若g=2p+1为素数,则方程φ(x)=2p有两个解:x=g,2g;若g=2p+1不是素数,则方程φ(x)=2p无解。4)方程φ(x)=2的解为x=3,4,6;方程φ(x)=8的解为x=15,16,20,24,30;方程φ(x)=16的解为x=17,32,34,40,48,60;方程φ(x)=32的解为x=51,64,68,80,96,102,120。引理61)方程φ(x)=14无解;2)方程φ(x)=10的解为x=11,22;3)方程φ(x)=12的解为x=13,21,26,28,36,42;4)方程φ(x)=18的解为x=19,27,38,54;5)方程φ(x)=20的解为x=25,33,44,50,66;6)方程φ(x)=24的解为x=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90;8河南教育学院学报(自然科学版)2023年7)方程φ(x)=28的解为x=29,58;8)方程φ(x)=30的解...
