基于应力-强度理论的角接触球轴承可靠性分析_王延忠.pdf

115工 艺 与 装 备基于应力-强度理论的角接触球轴承可靠性分析王延忠1,2 谢 斌1*鄂世元1（1.北京航空航天大学 机械工程及自动化学院，北京 100191；2.北京航空航天大学宁波创新研究院，宁波 315800）摘要：角接触球轴承广泛应用于航空、航天和精密机床等转子系统，其可靠性对整个机械系统十分重要。文章通过对随机变量进行抽样，将抽取样本带入轴承力学模型以获得相应的最大接触应力，基于应力-强度理论建立了轴承可靠性分析的极限状态方程，使用主动学习 Kriging 模型(Active learning Kriging，AK)结合蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Simulation，MCS）的 AK-MCS 方法对角接触球轴承进行可靠性分析。关键词：角接触球轴承；可靠性分析；应力-强度理论Reliability Analysis of Angular Contact Ball Bearings Based on Stress-Strength TheoryWANG Yanzhong1,2,XIE Bin1*,E Shiyuan1（1.School of Mechanical Engineering and Automation,Beihang University,Beijing 100191;2.Ningbo Institute of Innovation,Beihang University,Ningbo 315800）Abstract:Angular contact ball bearings are widely used in rotor systems of aviation,aerospace and precision machine tools,and their reliability is very important to the whole mechanical system.In this paper,random variables were sampled,samples were taken into the bearing mechanics model to obtain the corresponding maximum contact stress.The limit state equation of bearing reliability analysis was established based on the stress-strength theory,and the Active learning Kriging(AK)model and AK-MCS method of Monte Carlo Simulation(MCS)were used to analyze the reliability of diagonal contact ball bearings.Keywords:angular contact ball bearing;reliability analysis;stress-strength theory角接触球轴承作为机械的关键支撑部件，应用范围日趋广泛。随着现代装备高精度、长寿命以及高可靠性的要求，对轴承的可靠性要求日益提高，因此研究角接触球轴承的可靠性意义重大。轴承在工作时，滚动体与内外滚道之间会发生接触变形，属于点或线接触。冯剑军等人首次系统分析了点接触和线接触的弹性变形和应力分布，形成赫兹接触理论1。可靠性指产品在规定条件下和时间内完成规定功能的能力。BLOCKLEY 提出了应力-强度模型，主要用于部件的可靠性分析，为机械部件的可靠性研究奠定基础2。蒙特卡洛模拟法（Monte Carlo Simulation，MCS）是研究可靠性问题最直观、最准确的方法，通常用于验证其他方法获得可靠性的准确性和效率3。ECHARD 等人提出经典的主动学习 Kriging 模型（Active learning Kriging，AK）-MCS 方法。Kriging 模型通过少量样本近似极限状态方程，减少对真实状态函数的调用，提高可靠性求解的计算效率4。本次基于赫兹接触理论与 3 自由度滚动轴承拟静力学模型，获取不同样本对应的最大接触应力。基于应力-强度理论，建立可靠性分析的极限状态方程。使用高效的 AK-MCS 方法对轴承可靠性进行分析求解。1角接触球轴承力学模型在轴承工作过程中，滚动体不仅受到内外滚道接触力的作用，还受到离心力和陀螺力矩的作用。以滚动体为研究对象，滚动体的受力分析示意图如图 1 所示。Qij和Qoj分别表示滚动体与内外圈滚道的接触载荷；ij和oj分别表示滚道的控制参数，本次采用外滚道控制，计算时取ij=oj=1；Fcj和Mgj分别表示滚动体所受的离心力和陀螺力矩5。图 1滚动体的受力示意图轴承的内圈在轴向力Fa、径向力Fr以及力矩M的共同作用下处于平衡状态，轴承内圈的平衡方程可以表示为基金项目：国家重点研发计划项目“高性能滚动轴承动态和渐变可靠性设计理论与方法”（2019YFB2004400）。*通信作者：谢斌。DOI:10.16107/ki.mmte.2023.0150现代制造技术与装备1162023 年第 3 期总第 316 期 1sincosZijgjaijijijjMFQD=|（1）1cossincosZijgjrijijijjjMFQD=+|（2）1sincoscosZijgjijijjiijjMMQDR=|（3）式中：Z为滚动体的总个数；j为第j个滚珠的方位角。采用牛顿拉夫逊迭代方法对方程进行求解，可获得每个滚动体与内外滚的接触载荷与接触角。滚动体与内外圈滚道之间的接触属于点接触。根据赫兹接触理论，在点接触的情况下，两个弹性体的接触面近似为一个椭圆。在赫兹接触区域内，最大接触应力主要集中在椭圆的几何中心，其值可以计算为max32Qab=（4）式中：Q为法向载荷；a为半长轴；b为半短轴。2轴承可靠性分析根据应力-强度理论，当轴承所承受的最大接触应力超过材料的接触强度时，则为失效。本研究取轴承材料的屈服强度H为 4 200 MPa，轴承的极限状态方程可表示为G(X)=H-max(X)（5）式中：X为与最大接触应力相关的一系列随机变量。由于极限状态方程G(X)是高度非线性与隐式的，如果对每个样本进行求解十分耗时。为提高计算效率，采用 Kriging 模型近似G(X)。使用 Kriging 模型对样本Xg进行预测，其值遵循正态分布，即()()()2,gGgGgG XNXX（6）基于 Kriging 模型对样本预测的均值与方差，采用U函数搜索最佳样本更新 Kriging 模型，以提高预测精度。其中，U函数定义为()()()GggGgXU XX=（7）拥有最小U值的样本被挑选为更新样本，添加到实验设计中以提高 Kriging 模型的精度。当所有样本的U值大于 2 时，学习过程停止，使用构建的Kriging 模型进行可靠性分析。可靠性灵敏度分析能够充分反映随机变量对可靠性的影响。随机变量均值的失效概率灵敏度计算公式可表示为()1ln()1MCjNfijjjMCjXXPf XI g XN=（8）量纲灵敏度指标可量化随机变量均值对失效概率的影响，计算公式可表示为()1ln()MCjjNjijjfMCjXXf XSI g XP N=（9）3算例分析本次以角接触球轴承 7016A5 为研究对象，分析轴承在不同转速下的可靠性。轴承的初始接触角为0=25，滚动体为 20 个，轴承外径与内径分别为125 mm 与 80 mm。输入变量的统计特性如表 1 所示。表 1轴承输入变量的统计特性变量名称均值方差分布类型滚动体直径D/mm13.4940.10正态分布弹性模量E/GPa2072正态分布轴向力Fa/N7 000200正态分布内圈沟曲率半径Ri/mm7.1010.07正态分布外圈沟曲率半径R0/mm6.9660.05正态分布根 据 角 接 触 球 轴 承 的 力 学 模 型 求 取 所 需 样本对应的最大接触应力。各变量取均值时在转速 n=4 000 r min-1与径向力Fr=1 000 N 下所获得的滚动体与内外圈滚道的接触应力如图 2 所示。由图 2 可知，每一个滚动体均与内外圈滚道发生接触而产生接触载荷。滚动体与内外滚道的接触应力近似呈正弦规律变化，最大接触应力发生在轴承的内圈上。14710131619滚动体编号1 0001 1001 2001 3001 4001 5001 600接触应力/MPa滚动体与外圈滚道的接触应力滚动体与内圈滚道的接触应力图 2滚动体与滚道的接触应力117工 艺 与 装 备根据应力-强度理论建立轴承极限状态方程，采用 AK-MCS 方法计算轴承的可靠度。不同转速下得到的轴承可靠度如图 3 所示，可以看出当转速低于 1 000 r min-1时，轴承的可靠度接近 1，此时轴承所承受的最大接触应力无法满足材料的失效强度要求。随着轴承转速的逐渐增大，轴承的可靠度逐渐下降。当转速达到 8 500 r min-1时，轴承的可靠度降至 0.5 左右。AK-MCS 方法获得的可靠度与 MCS 之间的误差很小，验证了 AK-MCS 方法可以高效准确地评估轴承的可靠性。1 0002 5004 0005 5007 0008 500转速/（rmin-1）0.40.50.60.70.80.91.0可靠度AK-MCSMCS图 3不同转速下的轴承可靠度在转速n=4 000 r min-1下输入设计变量均值对轴承可靠性的影响，如图 4 所示。结果显示，滚动体直径与外圈沟曲率半径的灵敏度指标为正，而内圈沟曲率半径和弹性模量的灵敏度指标为负。这表明滚动体直径与外圈沟曲率半径的增加可以提高轴承的可靠性，内圈沟曲率半径和弹性模量的增加会降低轴承的可靠性。从指标数值可以看出，外圈沟曲率半径的变化对可靠性的影响有限。4结语文章基于赫兹接触理论与 3 自由度轴承拟静力学模型求解轴承受载时的接触应力，基于应力-强度理论建立轴承可靠性分析的极限状态方程。使用 AK-MCS 方法对轴承可靠性进行求解，得到了不同转速下的轴承可靠度。最后，分析了输入设计变量对轴承可靠性的影响。在轴承的设计过程中，可以适当增大滚珠直径和减小内圈沟曲率半径与材料的弹性模量，提高轴承服役期间的可靠性。参考文献1 冯剑军，谭援强.基于 Hertz 理论圆柱和平面之间的滑动接触分析 J.摩擦学学报，2009（4）：346-350.2BLOCKLEY D I.The safety of structuresC/The Michael R Horne Conference on Instability and Plastic Collapse of Steel Structures，1983.3METROPOLIS N.The beginning of the Monte-Carlo methodJ.Los Alamos Science，1987（15）：125-130.4ECHARD B，GAYTON N，LEMAIRE M.AK-MCS：an active learning reliability method combining Kriging and Monte Carlo simulationJ.Structural Safety，2011（2）：145-154.5 李震，关先磊，钟锐，等.联合载荷下角接触球轴承的动态特性分析 J.机械工程学报，2020（23）：104-112.1234设计变量-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.0灵敏度指标 DRoRiE图 4设计变量的灵敏度指标