基于数学建模思想的工程数学教学案例研究_陈焱.pdf

1042023 年 第 3 期针对工程数学教学过程中应用实践教学不足的问题，将数学建模思想融入课程教学实施过程，在线性代数知识模块和概率统计知识模块设计应用教学案例，对营养成分配比、动物种群生态、抽签问题，及蒙特卡罗随机模拟法的实现等实际问题建立数学模型，借助R语言，实现案例的可视化，直观地验证了工程数学知识在解决实际问题中的可行性及有效性，同时模型结果可为决策者提供参考依据。1 引言工程数学是工科类专业的重要基础课程，由于授课对象大多为工科专业学生，本课程在教授数学理论的同时，还体现着较强的工程特色，更侧重于后者。随着教育部“新工科”建设的积极推进，高等教育的培养目标从培养具有掌握扎实理论知识的专一1型人才，发展为培养创新能力和实践能力更强的具有国际竞争力的复合型人才。在此背景下，工程数学的教学目标应更多地着眼于应用。既能让学生学好理论知识，为其后继专业课程的学习提供有力的支撑；既能改变学生感觉数学理论抽象、计算繁琐，不知如何学，学了不知如何用的印象，又能够调动学生的学习积极性，将有关的数学知识应用到实践中，真正贯彻学以致用的教育思想理念。工程数学课程主要包括线性代数、概率论与数理统计、复变函数与积分变换等知识模块。对于非数学类专业的学生来说，学习这样一门综合了多个数学知识模块的课程是具有一定困难的，如何能让学生更加生动形象地理解各个知识点，这就要求教师引导学生运用数学思维去思考问题，发掘规律，构建合适的数学模型，将数学建模的理念贯穿于教学的整个过程，在复杂的数学知识与丰富的现实之间搭建起一座桥梁，既可以展示知识的原理，又可以提高学习的兴趣，激发学生的主动性，培养他们的动手能力。本文借助R语言，以线性代数和概率统计的一些典型数学模型为例，对此做一些有益的探讨。2 基于数学建模思想的工程数学教学案例2.1 营养成分配比问题案例1 食物的外包装袋上通常会列出每份食用量包含的卡路里、蛋白质、碳水化合2物与脂肪的量。牛奶和大豆粉的营养素含量如表1所示，设定这两种食物的混合物需要包含295卡路里，9克蛋白质，48克碳水化合物，8克脂肪。试问符合该要求的混合物能否制作出来。表1 每100克成分的营养素含量解：设 分别表示牛奶和大豆粉的数量，设向量 分别表示牛奶和大豆粉所含营养素的对应向量，向量 表示所需要的营养素总量的向量。则：可建立如下方程：（1）即：为求解该方程，提取增广矩阵并化简得：解得 。基于数学建模思想的工程数学教学案例研究基于数学建模思想的工程数学教学案例研究西南林业大学数理学院 陈 焱 王 辉 谢 爽西南林业大学数理学院 陈 焱 王 辉 谢 爽105 学术研讨因此，符合要求的牛奶和大豆粉的混合物可以制作出来，需要1.5份（150克）牛奶和1份（100克）大豆粉。按营养要求设计人类或牲畜的食谱问题是经常会遇到的，当 时，故对于足够大的 ，通过上述构造向量方程的方法往往可以简化此类问题的求解。（4）2.2 动物种群问题案例2 考虑猫头鹰和老鼠的生态模型。用 表示在式（4）表明，只要 ，猫头鹰和老鼠群体将保持稳时间 （单位：月）的猫头鹰和老鼠的数量，其中 表示猫头定。的2个分量之比大约为0.6246950:0.7808688，近似于4:5，鹰的数量（单位：只），表示老鼠的数量（单位：千只）。即最终对应每4只猫头鹰，大约有5千只老鼠。如果模型的某个猫头鹰与老鼠的生态变化为：方面稍微改变，特征方程会略微改变，矩阵 可能不是有1作为（1）在没有老鼠作为食物的情况下，每月仅有一半的猫头特征值。如果特征值略大于1，则猫头鹰和老鼠的数量都将增鹰存活（0.5 ）；长；如果特征值略低于1，则二者的数量都将下降。（2）如果没有猫头鹰捕食老鼠，老鼠的数量每月将增长矩阵的特征值和特征向量在微分方程、差分方程等数学分310%（1.1 ）；支中具有重要作用。在工程技术的许多动态模型及控制问题（3）如果老鼠数量充足，猫头鹰每月的增长量是老鼠的0.4中，它们也是重要的分析工具。倍（0.4 ），而由于猫头鹰捕食引起的老鼠的死亡数量为猫头2.3 彩票中奖问题鹰（存活）数量的0.125倍（-0.125 ）。案例3 设在 张彩票中有 张中奖彩票，求第二人由此建立生态模型如下：抽到中奖彩票的概率。解：设 表示事件“第 人抽到中奖彩票”，。（2）第一人抽到中奖彩票和没抽到中奖彩票的概率分别为：试预测该系统的发展趋势。解：令矩阵 ，则（2）式转化为以方程组显然，事件 伴随着事件 和 的发生而发生，表示的生态增长模型为：（3）而事件 和 构成样本空间 的一个划分。根据全概率首先计算系数矩阵 的特征根和特征向量。利用R语言可快公式得：速求出特征根和特征向量。代码及运行结果如下：#创建矩阵 a a用类似的方法可得：,1,21,0.500 0.4这说明，购买彩票时，无论先买后买，中奖机会是均等2,-0.125 1.1#对矩阵求特征值和特征向量的，这与日常生活经验是一致的。例如在抽签的活动中，各参 ev ev$values蒙特卡罗（Monte Carlo）法也称为计算机随机模拟方法，1 1.0 0.6它是一种通过构造符合一定规则的随机数，去模拟系统，进而#求特征向量得到所要计算的值的有效的计算方法。其基本思想是：当某事 ev$vec件发生的概率与我们感兴趣的一个量有关时，设计一个适当的 ,1 ,2随机试验，然后通过重复该试验，以频率估计概率，从而近似1,-0.6246950-0.97014252,-0.7808688-0.2425356计算出问题的解。可见，蒙特卡罗法是一种基于对大量事件的由运算结果可知，系数矩阵 的特征值为 和 。统计结果来实现一些确定性问题的计算，计算过程可归结为三设向量 和 为对应的特征向量，当 时，对应的特征个主要步骤：构造描述概率过程，实现从已知概率分布抽样，4建立各种估计量。向量 ；当 时，对应的特征向量案例4 用蒙特卡罗模拟计算圆周率 。解：正方形的边长设为 ，其内部有一个相切的圆，圆半 。径为 。则有：正方形的面积Square ，圆的面积Circle初始向量 可表示为：，那么对 ，有：，1062023 年 第 3 期在正方形内部，随机产生10000个点（即10000个坐标对 拟所设计的随机试验，从而很多在实际中难以完成的试验都可 ），计算它们与中心点的距离，从而判断是否落在圆的通过计算机模拟来实现，这不仅可以迅速得到模拟结果，也为内部。如果这些点服从均匀分布，那么圆内的点应占所有点的 决策者提供了及时的参考依据。目前，蒙特卡罗这一随机模拟5方法在物理、化学、生物、工程技术以及经济等诸多领域中得，将这个比值乘以4，就是 的值。到了广泛的应用。利用R语言实现上述模拟过程，代码及运行结果如下：3 结束语#产生10000个随机数本文通过对线性代数知识在营养成分配比、动物种群生态 runs xs ys in.circle-xs2+ys2 mc.pi mc.pi软件解决问题这一教学过程的实施，不仅激发了学生的学习兴1 3.1292趣，显著提高了学生对数学软件的应用能力，而且有助于新工#绘制图形科背景下工程数学课程教学改革的推进和完善，从而培养具备Plot(xs,ys,pch=.,col=ifelse(in.circle,black,grey),xlab=n=10000,扎实理论知识和具有创新实践精神的新时代的高素质人才。ylab=,asp=1,main=paste(MC Approximotion of Pi=,mc.pi)通过调节随机数个数的大小，可得到不同条件下 的模拟值。图1中的左图和右图分别为在随机数个数 和【参考文献】情况下 的值。1 嵇绍春,许三长.新工科背景下大学数学课程教学改革探索J.高师理科学刊,2019,39(05):68-71.2 庄科俊.线性方程组的几个教学案例分析J.白城师范学院学报,2018,32(Z1):75-78.3 花小琴.浅谈特征值的重数与特征向量个数之间的关系J.江苏教育学院学报(自然科学版),2010,26(01):50-51.4 陈秋杰.可靠性逼近中次线性方程的计算方法D.合肥工业大学,2010.5 许正男.基于光子映射的立体元图像阵列快速生成方法D.吉林大学,2021.基金项目：西南林业大学2020年度教育科学研究课题“新图1 蒙特卡罗模拟 的结果工科背景下工程数学课程教学改革与实践”（项目编号：图1直观地展示了模拟的结果，显然，当模拟的随机数的个YB202003）。数越大时，模拟的结果误差越小。作者简介：陈焱（1980），女，云南人，硕士，讲师，利用R语言，MATLAB等软件，可在计算机上大量重复地模研究方向：应用数学，概率统计。（上接131页）态化推进。贫困随时代革会科学版),2021,18(05):13-15.8 习近平.在解决“两不愁三保障”突出问题座谈会上的讲话J.求是,2019(16):新显示出新的特点新的形式，扶贫工作不3 龚晓宽.中国农村扶贫模式创新研4-12.能“以不变应万变”，也需要随时代变化究DB/OL.CNKI中国知网全国博士论文9 王习明,高邓.党的领导:新中国消而进行改革。乡村振兴背景下，更重要的全文选数据库,2006.除绝对贫困彰显出的制度优势J.武汉科4 程承坪,邹迪.新中国70年扶贫历任务是社会公平，这样的公平体现在社会技大学学报(社会科学版),2021,23(03):246-程、特色、意义与挑战J.当代经济管理,教育、社会医疗、社会服务、基础设施等252.2019,41(09):1-9.诸多方面。这需要有更全面，更高层次的基金项目：四川轻化工大学2021年研5 曹立.中国共产党扶贫历程、伟大领导机构来统筹实现，需要变更原有的体究生思政建设项目：农村社会学（SZ2021成就及宝贵经验J.当代中国与世界,2021,制机制，需要更能得到人民群众理解支持11）。4(02):42-49+127.的贫困治理方式。作者简介：王雄（1998），男，四6 汪三贵,曾小溪,从区域扶贫开发到川泸州市人，四川轻化工大学2020级硕士精准扶贫改革开放40年中国扶贫政策的【参考文献】研究生。演进及脱贫攻坚的难点和对策J.农业经1 段洪波,张洪硕.改革开放40年扶贫通信作者：王艳红（1978），女，开发历程与经验J.河北大学学报(哲学社济问题,2018(8):40-50.内蒙古人，副研究员，硕士生导师，主要会科学版),2019,44(02):118-122.7 赵华伟.改革开放40年我国扶贫开研究方向为资源与环境管理。2 曾胜,张滔.小农视角下的家庭联产发历程、基本经验及未来展望J.老区建承包责任制J.湖北经济学院学报(人文社设,2018,4(24):8-12.