基于二维降阶Hermite...动力响应2.5D有限元模拟_王瑞.pdf

第 44 卷第 3 期 岩 土 力 学 Vol.44 No.3 2023 年 3 月 Rock and Soil Mechanics Mar.2023 收稿日期：2022-04-19 录用日期：2022-08-08 基金项目：国家自然科学基金（No.42077248）；陕西省自然科学基础研究计划（No.2022JQ-435）；陕西省城市地质与地下空间工程技术研究中心开放课题（No.2022KT-02）。This work was supported by the National Natural Science Foundation of China(42077248),the Natural Science Foundation of Shaanxi Province(2022JQ-435)and the Open Research of Urban Geology and Underground Space Engineering Technology Research Center of Shaanxi Province(2022KT-02).第一作者简介：王瑞，男，1992 年生，博士，讲师，主要从事铁路路基动力响应、地下结构抗震减灾等方面的研究。E-mail: DOI：10.16285/j.rsm.2022.0545 基于二维降阶基于二维降阶 Hermite 插值的铁路路基动力插值的铁路路基动力 响应响应 2.5D 有限元模拟有限元模拟 王 瑞1,2，胡志平1,2，彭建兵3，王启耀1,2（1.长安大学 建筑工程学院，陕西 西安 710061；2.长安大学 地下结构与工程研究所，陕西 西安 710061；3.长安大学 地质工程与测绘学院，陕西 西安 710061）摘摘 要：要：2.5D 有限元方法在铁路路基动力响应研究领域中的应用渐趋广泛。针对其在求解随机不平顺条件下路基动力响应时计算效率显著下降的问题，构建了基于二维降阶 Hermite 插值的 2.5D 有限元路基动力响应快速计算框架。以路基在频率波数域动力响应的基本特征为依据确定了插值原则，讨论了插值点分布和数量对插值精度的影响。研究表明：采用二维降阶Hermite 插值方法可以实现随机不平顺条件下路基动力响应的快速计算。相比插值点非均匀分布，插值点均匀分布可以兼顾幅值和相位的插值精度，适应性更好。此外，该方法的计算效率仅与插值点数量相关，不受随机不平顺谐波数量的影响，在模拟随机不平顺条件下路基动力响应方面具备显著的优势。关关 键键 词：词：2.5D 有限元；铁路路基；响应函数；计算效率；二维插值 中图分类号：中图分类号：O242 文献标识码：文献标识码：A 文章编号：文章编号：10007598(2023)03090808 Simulation of dynamic response of railway subgrade using 2.5D finite element method based on reduced 2D hermite interpolation WANG Rui1,2,HU Zhi-ping1,2,PENG Jian-bing3,WANG Qi-yao1,2(1.School of Civil Engineering,Changan University,Xian,Shaanxi 710061,China;2.Institute of Underground Structure and Engineering,Changan University,Xian,Shaanxi 710061,China;3.School of Engineering and Geomatics,Changan University,Xian,Shaanxi 710061,China)Abstract:The application of 2.5D finite element method in the research on railway subgrade dynamic response is becoming more and more widespread.In order to solve the inefficient problem for calculating the dynamic response of subgrade under the random irregularity,a framework for fast calculation of dynamic response of subgrade based on reduced 2D Hermite interpolation is established.The interpolation principle is determined based on the characteristics of the dynamic response of subgrade in the frequency-wavenumber domain.Moreover,the influence of the distribution and number of interpolation points on the interpolation accuracy is discussed.The results indicates that the reduced 2D Hermite interpolation can greatly improve the computational efficiency in the calculation of subgrade dynamic response under the random irregularity.Compared with non-uniform distribution principle of interpolation points,uniform distribution principle can take into account both amplitude and phase interpolation accuracies and therefore is more suitable for 2.5D finite element method.Additionally,the computational efficiency of the present method is only related to the number of interpolation points,and is not affected by the number of random irregularity harmonics.It has obvious advantages in simulating the dynamic response of railway subgrade with random irregularity of track.Keywords:2.5D finite element method;railway subgrade;response function;computational efficiency;2D interpolation 1 引 言 移动列车荷载作用下铁路路基的动力响应规律是开展路基强度、变形及动力稳定性评价的主要依据。在进行路基结构设计时，轨道高低不平顺诱发的动应力放大效应是影响设计参数取值的重要因 素1-2。现场测试手段获取的样本量有限，模型试验则在模拟随机不平顺引发的动力效应方面存在短 板。随着计算机技术和数值计算理论的不断进步，数值模拟逐渐成为当前研究路基动力响应规律的主要手段。依托数值模拟手段，张东卿等2获得了高低不平顺导致的动应力放大系数随车速的变化规律。陈仁朋3、梅慧浩4等分析了轨道随机不平顺条件下路基动应力峰值的统计规律。Hu 等5讨论了轨道不平顺对路基动应力数值及土体应力路径的影响。上述研究表明，轨道随机不平顺引发的动力放大效应对路基动力响应的影响显著，会导致动应力沿线路纵向表现出明显的随机特征。由于简单的二维平面模型无法重现列车荷载的空间移动特征，通过数值手段获取路基动力响应时不得已采用三维精细化模型6-8。有限域沿列车运行方向的延伸使得模型自由度数量猛增，计算效率及对硬件性能的依赖成为了制约三维数值模拟手段广泛应用的重要因素。断面沿列车运行方向基本保持不变是线形交通线路的重要特征。基于此特征，研究人员提出了2.5D 有限元方法9-10，通过沿线路纵向的波数变换实现了采用二维模型计算三维动力问题的突破，显著提高了计算效率。经过 20 余年的发展，2.5D 有限元方法在路基工程领域中的应用渐趋广泛，计算精度持续提高11。近年来在饱和土地基12-13、非饱和土地基14、多孔介质地基15、弹塑性地基16、曲线轨道17和列车相向行驶18等工程场景及路基临界速度19等科学问题中的成功应用凸显了该方法的巨大潜力。然而，由于 2.5D 有限元方法在求解随机不平顺条件下路基动力响应时需要对不平顺谱中各谐波分量进行重复计算，其效率高的优点不再凸显。地震工程和风致结构振动领域的相关实践表明，当系统的响应随着某一参数连续变化时，通过插值方法缩减参数点是提高计算效率的有效手 段20-21。针对 2.5D 有限元求解随机不平顺条件下路基动力响应时效率显著下降的问题，Hung 等22指出，可以通过在响应较小的频率区间采用较大的频率间隔，通过插值获取其他频率点处的频域响应，以此提高计算效率。由于缺乏对传递函数频率波数二维特征的考量且没有兼顾相位，主观因素的代入导致其插值精度不得而知。二维插值框架的缺失则导致计算效率的优化无从下手。鉴于此，本文拟根据 2.5D 有限元和数值分析相关理论，以路基在频率波数域动力响应的基本特征为依据确定插值原则，讨论插值点分布和数量等因素对幅值和相位插值精度的影响，构建基于二维插值方法的 2.5D 有限元路基动力响应快速计算框架。2 2.5D 有限元理论基础及算法验证 2.1 基本假定及系统动力方程基本假定及系统动力方程 2.5D 有限元计算方法是基于路基断面（x-y）在列车运行方向保持不变的基本假定建立的。计算时首先采用双重傅里叶变换得到断面各节点在频率波数域内的响应，然后由傅里叶反变换获得系统的实际响应。响应 u 沿列车运行方向 z 和时间 t 的傅里叶变换可以表示为()()i-i,eed dzztzu x yu x y z tz t+=（1）式中：z和 分别为波数和圆频率；上标“”和“”分别代表波数变换和频率变换。系统在变换域中的动力方程可以写为 ()2=UFKM （2）式中：K、M和F分别为系统的刚度、质量和节点力矢量；U为节点位移矢量，具体表达式及物理意义详见文献23。将轨道系统模拟为弯曲刚度为 EI 的欧拉梁23，轮轴荷载作用下变换域内轨道的振动变形可以描述为 ()()()42rgn1,NzzznEImuFf =+（3）式中：m 为欧拉梁单位长度的质量；ru为欧拉梁竖向位移；gF为轨道地基相互作用力；nf为列车轴载。2.2 列车荷载列车荷载 不考虑荷载的时变特征时，沿 z 轴移动的单位荷载在三维空间及变换域中分别可以表示为 ()()(),f x y z tx yzvt=（4）()()2,zzf x yx yvv =（5）式中：函数(),x y为荷载在与 z 轴垂直断面上的分布特征；()为狄拉克函数；v 为荷载的移动速度。本文列车荷载在变换域中的表达式参照文献23。式（5）表明荷载的定速移动特征使得其在频 率波数域中的荷载遵循 =vz的关系，将关于频率和波数的二维傅里叶变换简化为一维。以 1/4 车体模型为例，当其运行在随机不平顺轨道上时，地基中某一点在时空域内的响应可以通 过傅里叶变换表示为22()()()i1,ed2ztz