基于波利亚解题观例析数学试...022年高考三角函数题为例_冯亚芳.pdf

1引言普通高中数学课程标准(2020版)（以下简称“课标”）中规定的课程目标之一是“提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”1。处于高中学段的学生，主要的数学活动就是解决问题，而解题能力的培养是提高学生数学学习质量的前提和保障。因此，本文对数学解题研究进行系统论述，以求得出解决此类问题的一般结论。关于数学解题研究，目前我国学者和研究人员主要集中在中学数学解题能力和教学的研究，其中研究主题主要体现为高中数学、函数、数学思想方法、应用题等，对于数学解题研究集中体现在结合相应的数学思想方法进行论述，其中较为突出的解题理论就是波利亚的解题思想。结合波利亚解题观进行数学解题，对教师而言，可以更有效地开展解题教学，从理论角度出发，上好每一节课，真正将课标的要求落到实处，促进学生的发展；对学生而言，可以更有效地掌握解题的一般思路，提高数学学习的质量，培养学生核心素养，使学生真正学会自己解决问题。三角函数作为每年高考的必考内容，在高中数学中占有重要地位。对培养学生的逻辑推理、数学运算、数学建模素养都起到重要作用。但在实际解题过程中，学生面对此类问题往往会陷入知道公式却不会用、看到问题解题思路不清晰等困境，而数学教育家波利亚在怎样解题中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律2。而当前，基于波利亚解题观求解函数问题且对三角函数解题的研究并不是很多。通过阅读相关文献，受学者李敏、姜文、骆万丽等人的研究启发，本文将根据波利亚解题观对高考中三角函数问题进行实例分析并就如何培养学生数学核心素养进行探索，以期帮助学生更好地掌握这一高效解题方法并深入了解相关问题3，4。2实例分析在历年的高考题中，三角函数题难度往往并不是很大，此题对学生来说，应该是必得分的题型。但是在实际情况中，部分学生并不能做到把这些题完全解决，面对简单的已知条件，学生并不能快速有效地提取相关公式，精准找到解题思路，从而浪费大量时间，增加考试负担，影响学生水平的正常发挥。波利亚“怎样解题”表，展示了解题的四个阶段:基于波利亚解题观例析数学试题及其核心素养探究2021-2022 年高考三角函数题为例冯亚芳1，李书海1,2（1.赤峰学院数学与计算机科学学院；2.赤峰学院民族数学教育研究所，内蒙古赤峰024000）收稿日期：2022-09-13通讯作者：李书海（1966-），男，内蒙古通辽人，教授，硕士生导师。研究方向：复分析及其应用，学科教学论。基金项目：赤峰学院教育硕士专项课题（cfxyjyss12003）摘要：三角函数是高中数学的重点知识和高考的热门考点。三角函数相关习题情境灵活多变，解题方法多种多样，基于波利亚解题观，结合“怎样解题表”的相关提示语，可以较高效率地进行解题。因此，本文根据波利亚解题观对高考中三角函数问题进行实例分析，就如何培养学生数学核心素养进行探索，以期帮助学生更好地掌握这一高效解题方法并深入了解相关问题，提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。关键词：波利亚解题观；核心素养；怎样解题表；三角函数；高考试题；解题研究中图分类号：G424.1文献标识码：A文章编号：1673-260X（2023）02-0079-05Vol.39 No.2Feb.2023赤 峰 学 院 学 报（自 然 科 学 版）Journal of Chifeng University(Natural Science Edition)第39卷第2期2023年2月79-DOI:10.13398/ki.issn1673-260 x.2023.02.020理解题目、拟定方案、执行方案、回顾，将复杂的问题简单化2。结合具体实例，基于波利亚“怎样解题”表的相关提示语，对近两年高考三角函数的题进行分析及其拓展。2.1题目1例1（2021全国甲卷 文15）已知函数f(x)=2cos(x+)的部分图像，如图1所示，则f(2)的值为多少?2.1.1理解题目理解题目是解题的第一步，审题具有重要的意义，通过审题，帮助学生学会挖掘题目中隐含的信息，建立联想，发现解题途径，从而提高学生的解题能力。具体需要考虑的内容：这是一个什么问题？已知数据是什么？条件是什么？求证什么？分析：首先，学生通过审题可以发现，这是一道涉及三角函数相关知识，求函数值的问题；其次，学生知道题目中自变量为x,因变量为f(x),未知数是、，函数最高点的值为2，函数f(3)=0、f(1312)=2。接着，条件是x=2；最后，需要求出未知数、，从而求证f(2)的值。2.1.2拟定方案拟定方案主要是通过转化和化归的方式寻找解题的思路，直接关系到能否顺利完成解题活动。因此在拟定方案的过程中要注意从条件与结论两个方面去进行思考，将分析法和解析法有机地结合起来，从而获取条件与结论之间的有效衔接。具体内容：以前见过它吗？知道什么有关的问题吗？能利用它的方法吗？用到全部的条件了吗？分析：首先，以前没见过这道题，但是与我们之前见过的有些题目是相关的，只是数据和形式稍微有些不同。其次，以前见过的相关问题，如2020年数学新高考卷（山东卷）第10题，如图2所示，是函数y=sin(x+)的部分图像，则y=sin(x+)的值为多少？A.sin(x+3)B.sin(3-2x)C.cos(2x+6)D.cos(56-2x)通过观察，这道题和我们要解决的问题几乎是一致的，山东卷第10题只是强调求出函数解析式，而我们要求的15题是求出某一确定的自变量所对应的函数值；对于山东卷第10题，它的解法主要利用数形结合的思想方法，利用这个解题的方法，可以将这种求函数解析式的题目进行初步的拟定解题方案：（1）求，确定函数周期T。（2）求，然后将函数解析式进行化简，结合诱导公式将其化为锐角即可。因此，例1的解题思路如图3所示。通过观察，已知条件和图像中隐含条件有效信息已经用到，这一步相当于对题目中的信息进行一个回顾，看看在解题过程中，是否用到所有信息，像这道题，如果学生只去用已给条件，是算不出来该题解析式的，必须通过观察图像去挖掘其中隐含的条件,比如半个周期、交点坐标、函数最低点的值等。如果学生在做题时想到这点，便会多加留意，更有利于学生解题。所以，这一步骤是十分有必要的。2.1.3执行方案执行方案是指将已经探索出来的解题方案按着规范呈现。首先，要求计算准确，推理严格、作图规范、详略得当；其次，书写要规范，书写规范是数学界长久以来形成的共识，它是数学交流的需要。具体内容：执行设定方案，检查每一个步骤，能清楚图1函数f(x)=2cos(x+)的曲线图图2函数y=sin(x+)的曲线图图3例1解题思路图教育教学改革论坛80-地看出这个步骤是正确的吗？能证明它是正确的吗？解析：由题意可知，3T4=1312-3=34，则T=,=2T=2，当x=1312时，x+=21312+=2k，则=2k-136,kZ，另k=1，可得=-6，即函数解析式为f(x)=2cos(2x-6)，即f(2)=2cos(22-6)=2cos(56)=-3。分析：首先，执行方案主要是按照解题思路，将“拟定方案”具体规范地呈现，在这一过程中，解题步骤尤为重要，尤其在证明题当中（见例2）；其次，对于解题步骤学生可以结合已有的数学知识进行观察和组织，有些漏步骤、多步骤的地方是明显可以观察到的；最后，对于证明解题步骤正确与否，可以与最后一部分的回顾相结合。2.1.4回顾回顾是解题的最后一步，也是不可忽视的一步，具有重要作用，一方面解题回顾可以提高解题的正确率以及解题的能力，另一方面还可以有效防止“题海”战术，完善学生的数学认知结构。具体内容包括：能检验这个结果、验证这个结论吗？能以不同的方式推导这个结果吗？解题的“关键”是什么？容易忽略什么？能对这个结果做进一步推广吗？分析：能，通过将x=3，代入函数解析式f(x)=2cos(2x-6)中验证，得到f(x)=2cos(2x-6)=2cos(23-6)=0，与已知条件相符合，发现结果无误。因此，我们的结论是正确的。此题还可以将3,()0的坐标代入函数解析式，从而求出的值。解析：由题意，观察图像可知，3T4=1312-3=34，则T=,=2T=2，当x=3时，y=0，根据“五点法”，可知x+=23+=2，则=-6，即函数解析式为f(x)=2cos(zx-6)，即f(2)=2cos(22-6)=2cos(56)=-3。综上所述，将坐标带入解析式再结合“五点法”最终求出函数解析式。这道题难度不高，主要考查学生直观想象、逻辑推理、运算能力等素养以及数学结合的思想，需要学生将形的问题和代数问题巧妙结合（几何问题转化为代数问题，即数学转化思想），为培养学生数学核心素养提供了有力支撑。牢牢记住解析式的求法是此题的关键,也就是需要学生观察图像发现是四分之三个周期（整体与局部的关系），然后结合余弦函数图像的“五点”之一进行求解即可。这道题我们还可以将结论进行推广（归纳推理：利用特殊到一般的规律），这个推广也就是发现新问题的过程。拓展：这道题首先考虑的就是“更为普遍的题目”，如，函数y=cos(x+)向上平移一个单位得到函数f(x)=Acos(x+)的部分，如图4所示，则f(2)的值为多少？将题目进行转化，把函数解析式变为一般式，解这道题仍然可以借助刚才求解的方法。2.2题目2例2（2022全国乙卷文17）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)（1）若A=2B，求C；（2）证明：2a2=b2+c22.2.1理解题目分析：考虑理解题目所需的内容。首先，学生通过审题发现，这是一道涉及三角函数相关知识的求解、证明题；其次，这道题并没有具体的已知数据，但存在一个隐含条件是A+B+C=180，另外，还有存在的已知条件。再次，学生知道题目中已知条件是角之间存在的关系sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)，第一问的已知数据是三角形两角之间存在着等量关系A=2B。最后，需要求解C的大小及证明图4函数f(x)=Acos(x+)的曲线图教育教学改革论坛81-2a2=b2+c2。2.2.2拟定方案分析：考虑拟定方案所需的内容。首先，以前没见过，但与我们之前见过的有些题目是类似的（类比思想），只是条件和形式稍微有些不同。其次，（2021新高考I卷19）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2=ac，点D在AC上，BDsinABC=asinC（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求ABC通过观察，这道题和我们要解决的问题非常相似，新高考I卷第19题，第一问是证明边长相等的问题，第二问是求解角的问题。解法主要是利用了正弦定理、余弦定理的相关知识，利用这个解题的方法，将这种题目拟定初步解题方案：利用正弦定理中的“角化边”，将未知转化为已知；利用余弦定理、整体思想和分类讨论思想，构造两边之间的关系，进而分类讨论进行求解。因此，例2的解题思路如图5所示。通过观察，已给条件和隐含条件，如三角形内角和定理等有效信息已经用到。2.2.3执行方案在解题过程中应当规范解题步骤，正确使用数学符号和数学语言。（1）解 析：由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)，又A=2B，sinCsinB=sinB=sinBsin(C-A)，sinB0，sinC=sin(C-A)，即C=C-A（舍去）或C+C-A=，联立A=2B2C-A=A+B+C=，解得C=58；（2）证明：由sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)，得sinCsinAcosB-sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB-bccosA=bccosA-ab-cosC，由余弦定理可得：aca2+c2-b22ac=2bcb2+c2-a22bc-aba2+b2-c22ab，整理可得：2a2=b2+c2。2.2.4回顾分析：通过将b=8，A=4，C=58，代入中sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A)验证，式子成立，结果无误。因此结论是正确的。此题第一问，还有其他解法。解