一种对称损失函数下反向帕累托分布形状参数的估计_徐宝.pdf

南 开 大 学 学 报（自然科学版）Acta Scientiarum Naturalium Universitatis NankaiensisVol.561Feb.2023第56卷第1期2023年2月文章编号:0465-7942(2023)01-0076-06一种对称损失函数下反向帕累托分布形状参数的估计徐宝,蓝海,赵仲达(吉林师范大学 数学与计算机学院,吉林 四平 136000)摘要：使用加权p,q对称损失函数研究了反向帕累托分布的形状参数在刻度参数给定条件下Bayes估计的形式与性质.得到了形状参数的Bayes估计的一般形式以及在给定共轭先验下的精确形式,证明了所得Bayes估计具有可容许性以及最小最大性.最后通过模拟研究了所得估计的返真性,结果表明,基于适当的p,q对称损失函数得出Bayes估计返真性较高.关键词：反向帕累托分布;损失函数;Bayes估计;可容许性;最小最大性中图分类号：O212.8文献标识码：A0引言众所周知,Parteo分布是一种在理论研究和实际应用中都很重要的连续型分布,自问世以来就吸引了大量学者的关注.但由于Parteo分布定义域的要求使得它仅能够刻画上尾部分,因此有学者提出将帕累托分布取相反数就可以得到仅刻画下尾部分的分布,即反向帕累托分布1.反向帕累托分布的密度函数为f(x;,)=-x-1;0 0,分布函数为F(x;,)=-x;0 0,其中为形状参数,为刻度参数,简记RP(,).经典统计文献中关于反向帕累托分布的理论研究相对较少,实际应用的研究较多.文献2在研究帕累托种群时使用了反向帕累托分布,文献3首次提出将反向帕累托分布应用于城市人口分布的研究中,文献4在我国居民收入分布拟合的研究中使用了反向帕累托分布,文献5将反向帕累托分布与其他分布进行组合得到了形式更为灵活的组合分布模型,文献6研究了反向帕累托分布参数估计及应用.这些成果都没有使用统计判决理论中的损失函数,而使用损失函数对常见分布中的参数进行估计是非常普遍的一种研究方法.如文献7使用q-对称熵损失函数对Parteo分布参数进行估计,文献8在加权平方损失函数下研究了幂函数分布参数的Bayes估计与性质,文献9在一种加权对称损失函数下研究了一类指数分布模型参数的估计,文献10在加权p,q对称损失函数下研究了一类指数分布模型参数的估计.鉴于此,本文将在Bayes理论框架下,使用加权p,q对称损失函数10L(,)=ppp+qqq-2,p,q 0,(1)在位置参数给定时,研究反向帕累托分布RP(,)形状参数的Bayes估计的一般形式与性质.式(1)中的是参数的估计.1形状参数的Bayes估计这一节在Bayes理论框架下,使用加权p,q对称熵损失函数研究反向帕累托分布在位置参数给定时形状参数的Bayes估计的一般形式与精确形式.徐 宝等:一种对称损失函数下反向帕累托分布形状参数的估计收稿日期：2021-10-25基金项目：国家自然科学基金(11571138)作者简介：徐 宝(1977-),男,吉林四平人,副教授,研究方向:数理统计、Bayes统计.E-mail:第1期徐 宝等:一种对称损失函数下反向帕累托分布形状参数的估计 77 定理1设X1,X2,Xn为来自反向帕累托分布RP(,)的一组样本,记X=(X1,X2,Xn),在损失函数(1)下,对于任意的先验分布,形状参数的Bayes估计为B(x)=E(p|X)E(-q|X)1/(p+q)证明任意选取参数的一个估计量(X),在损失函数(1)下,(X)的Bayes风险为E ppp(x)+q(x)qq-2 =E E ppp(x)+q(x)qq-2|X ,其中等号左端E表示参数与样本X=(X1,X2,Xn)的联合分布取数学期望,为了使估计量(X)的Bayes风险最小,将E ppp(x)+q(x)qq-2|X 极小化即可.由于E ppp(x)+q(x)qq-2|X =1pp(x)E(p|X)+q(x)qE(-q|X)-2,对上式进行求微分,并令其为零可得极值点(X)=E()p|XE()-q|X1/p+q,又因为该极值点是其唯一的极小值点,因此形状参数的Bayes估计为B(X)=E()p|XE()-q|X1/p+q.下面定理在给定先验分布下,给出了参数的Bayes估计的精确形式.定理2假设向帕累托分布RP(,)的形状参数的先验分布为(,),其中参数,均已知,则在损失函数(1)下,形状参数的Bayes估计为B(X)=(n+p)(n+-q)1/p+q(+i=1n(ln -ln xi)-1.证明由于形状参数的先验分布为(,),从而有()=()-1e-,又因为RP(,)分布的密度函数为f(x;,)=-x-1;0 0,所以X1,X2,Xn的联合密度函数为f(|X1,X2,Xn)=n-ninxi-1,于是形状参数的后验密度为(|X)=f(|X1,X2,Xn)()0f(|X1,X2,Xn)()d=n+-1exp(-1)i=1nln xi)-nln 0n+-1exp(-1)i=1nln xi)-nln d=(+i=1n(ln -ln xi)n+(n+)n+-1exp -(+i=1n(ln -ln xi),78 南 开 大 学 学 报（自然科学版）第56卷易知形状参数的后验分布服从伽马分布(n+,+i=1n(ln -ln xi).从而有E(p|X)=0p(|X)d=(+i=1n(ln -ln xi)n+(n+)0n+p-1exp -(+i=1n(ln -ln xi)d=(+i=1n(ln -ln xi)n+(n+p)(n+)(+i=1n(ln -ln xi)n+p=(n+p)(n+)(+i=1n(ln -ln xi)-p,同理可得E(-q|X)=(+i=1n(ln -lnxi)n+(n+)0n+-q-1exp -(+i=1n(ln -lnxi)d=(+i=1n(ln -lnxi)n+(n+-q)(n+)(+i=1n(ln -lnxi)n+-q=(n+-q)(n+)(+i=1n(ln -lnxi)q,由定理1易知,的Bayes估计为B(X)=E(p|X)E(-q|X)1/p+q=(n+p)(n+-q)1/p+q(+i=1n(ln -ln xi)-1.(2)2形状参数的Bayes估计的性质可容许性与最小最大性12是参数的估计的两个较好的性质,下面定理给出上一节所得的Bayes估计具有这两个性质.定理3反向帕累托分布RP(,)的形状参数在损失函数(1)下的Bayes估计具有唯一性,并且是可容许的.证明要证明估计B(X)具有唯一性,只需要证明B(X)具有有限的Bayes风险.行文需要,记T=i=1n(ln-lnxi),b=(n+p)(n+-q)1/p+q,则反向帕累托分布RP(,)中的形状参数在损失函数(1)下的Bayes估计(2)为B(X)=b+T.因此B(X)的风险函数为R(,B(X)=ppbpE(+T)p)-bqqqE()+T-q)-2,由上式可见,欲进一步求出B(X)的Bayes风险,需要求出风险函数中的统计量T的密度函数,因此接下第1期徐 宝等:一种对称损失函数下反向帕累托分布形状参数的估计 79 来讨论统计量T的密度函数.因为随机变量X的密度函数为f(x)=-x-1,若记Y=(ln -ln X),则Y的密度函数为f(y)=-e-y,即Y服从Exp(),于是统计量T服从Ga(n,),所以B(X)的Bayes风险为R(B(X)=(n+p)pbp(n)()0tn-1(+T)n+dt+bq(n+-q)q(n)()0tn-1(+T)n+dt-2=(n+p)pbp(n)()+bq(n+-q)q(n)()0tn-1(+T)n+dt-2(令t+t=z)=(n+p)pbp(n)()+bq(n+-q)q(n)()01zn-1(1-z)-1dz-2=(n+p)pbp(n+)+bq(n+-q)q(n+)-2.因此可得B(X)的Bayes风险是有限的,所以RP(,)分布中的形状参数在损失函数(1)下的Bayes估计具有唯一性.再根据可容许的定义,可知B(X)是可容许的,否则假设存在一估计(x)优于B(X),则有R(,(x)R(,B(X),即(x)也是形状参数的Bayes估计,这与Bayes估计的唯一性相矛盾.下面讨论形状参数的Bayes估计的最小最大性.为此先介绍一个引理.引理112在一个统计决策问题中,若0(X)是参数的容许估计,且在参数空间上有常数风险,则0(X)也是的最小最大估计.定理4RP(,)分布的形状参数在损失函数(1)下的Bayes估计B(X)是参数的最小最大估计.证明由定理3可知估计量B(X)是参数的容许估计,并根据定理3的证明过程可知估计量B(X)的Bayes风险为R(B(X)=(n+p)pbp(n+)+bq(n+-q)q(n+)-2,因此易知R(B(X)是一个只与n,p,q,b有关的常数,即估计量B(X)的Bayes风险为常数风险,由引理3,可得证形状参数在损失函数下(1)的Bayes估计B(X)是参数的最小最大估计.3随机模拟为了研究本文所得估计对参数的返真性以及参数p,q,分别对形状参数的影响,这一节通过在不同设定形式下进行模拟研究.首先设定=80000,=1.2,p=1,q=1,然后设定先验分布中的参数分别为=20,=1.模拟结果列于下表,表中Bayes表示形状参数的贝叶斯估计,MSE表示估计的均方误差,Abs表示估计的偏差的绝对值.表中结果除了参数的设定值以外,其余都是模拟结果的平均值.由表1可知形状参数的Bayes估计和均方误差以及偏差的绝对值都随着样本容量的增大而显著减少,说明估计量具有大样本性质,而且其中形状参数的Bayes估计随着样本容量的增大逐渐靠近真值,并发现当样本容量为n=100时效果最好.因此接下来考虑在样本容量固定为100时改变,p,q的值进行模拟计算.模拟结果见表2至表5,表中结果除了给定参数的真值以外其余都是运行100次的平均值.由表2至表5的模拟结果可以得出以下结论:随着参数的变化,形状参数的Bayes估计均方误差和偏差的绝对值都比较小,表明参数对参数的Bayes估n5205080100Bayes4.130 21.799 81.429 31.226 71.194 6MSE9.198 90.579 90.081 30.016 80.012 9Abs2.930 20.599 80.229.30.026 70.005 4表 1 反向帕累托分布形状参数贝叶斯估计的模拟结果（=80 000，=1.2，p=1，q=1）Table 1 The simulation result of the Bayes estimation of the shape parameter in the Reverse Paretodistribution when=80 000，=1.2，p=1，q=1 80 南 开 大 学 学 报（自然科学版）第56卷计影响较小,这说明本文得出的Bayes估计的精度较高,使用的损失函数较合理.当参数p小于q或p大于q时形状参数的Bayes估计和均方误差以及偏差的绝对值都较小,但随着p,q之间的值相差越来越大时,均方误差以及偏差的绝对值都有递增的趋势.当参数p,q相等时,形状参数的Bayes估计的均方误差和偏差的绝对值都是比较小,说明Bayes估计与参数真值非常接近,鉴于此,可以使用加权p,q对称损失函数对反向帕累托分布形状参数进行更深入的研究.4结束语由于统计判决理论中的损失函数在分布的参数估计问题中广泛使用,考虑到反向帕累托分布的参数估计体系还不够完善,本文在Bayes统计框架下,运用参数估计方法,探讨了反向帕累托分布的形状参数在加权p,q对称损失函数下的Bayes估计的一般形式与精确形式,并证明了参数的Bayes估计具有唯一性与可容许性,以及该估计也是参数的最大最小估计,模拟结果表明本文所使用的研究方法和得到的Bayes估计的精度较高,在一定程度上丰富了反向帕累托分布参数估计的内容.参考文献1Lwin T.Estimation of the tail of the par