对合环上核EP逆的广义Ja...n引理和广义Cline公式_霍慧敏.pdf

山东大学学报（理学版）年 月 第 卷 第 期：（），：山东大学科技期刊社版权所有：收稿日期：；网络出版时间：网络出版地址：基金项目：安徽省自然科学基金资助项目（）；安徽省教育厅重点研究项目（）第一作者简介：霍慧敏（），女，硕士研究生，研究方向为代数学：通信作者简介：宋贤梅（），女，副教授，研究方向为代数学、代数编码：文章编号：（）：对合环上核 逆的广义 引理和广义 公式霍慧敏，宋贤梅，李明珠（安徽师范大学数学与统计学院，安徽 芜湖）摘要：研究了核 逆的 引理及 公式，给出了核 可逆元在条件，下的广义 引理及广义 公式成立的等价条件。丰富了核 可逆元的部分结果。关键词：核 逆；广义 逆；引理；公式中图分类号：文献标志码：引用格式：霍慧敏，宋贤梅，李明珠对合环上核 逆的广义 引理和广义 公式 山东大学学报（理学版），（）：，（，）：，：；引言与预备本文中的 均指含有单位元的对合环。对合是指环 上的一个自同构且满足对任意，（），（），（），此时亦称 为环。由于核逆与矩阵之间的密切关系，近些年来在广义逆理论研究中，学者们对核逆的研究兴趣渐深。年，等引入了复矩阵上核逆和对偶核逆的概念。年，等引入复方阵上核 逆的概念并证明了核逆是核 逆的一种特殊情况。同年，等把核逆和对偶核逆的概念推广到环上，给出了群逆、逆、核逆和对偶核逆的等价定义和一些性质。年，等定义的伪核逆将文献中的核 逆推广到环。年，和 将矩阵上核 逆的概念推广到 空间上的广义 可逆算子上。同年，等提出了核 逆的三种极限表示。年，利用广义 逆将核 逆的概念引入到环中，并给出了核 逆的一些等价刻画及核 逆关于广义 逆和，逆的表达式。年，又将矩阵的核 逆和对偶核 逆推广到 核 逆和对偶 核 逆并研究了相关性质。另一方面，优美的 公式和 引理及其相关推广也引起众多代数工作者的兴趣。山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷公式是指若 是 可逆的，则 也是 可逆的，且（）（）。而 引理是指若 可逆，则 可逆，且 。年，等和 等分别证明了若 是 可逆的，是 可逆的。年，等研究了环上 条件下的广义 引理和广义 公式。年，等给出了条件 ，下广义 逆的广义 公式。年，等给出了条件，下 逆，广义 逆和伪 逆的广义 引理。但是不是所有的广义逆都有 公式或引理。年，等在文献 中举例说明环上 逆的 引理是不成立的。年，等定义了广义半环，给出了当 是 可逆，则 是 可逆的充分必要条件。年 等给出了伪核逆没有 公式和 引理的反例并研究当（或）有伪核逆时，（或）有伪核逆的充分必要条件。本文受文献和的启发，主要讨论了在条件，下当（或）有核 逆时，（或）有核 逆的充分必要条件及其对偶情况。下面给出一些本文中需要的记号与基本概念。，分别表示 中所有可逆元，正整数之集。设 是环，（）：，（）：，（），：，：。对任意的（），有，则称 是拟幂零的。中所有拟幂零元素之集记为。定义 设，若存在 使得（）；（）；（）（）；（）（），则称 是 可逆的。此时，称满足上述四个方程的 为 的 逆。的 逆若存在则唯一，记。其中，若存在 满足上述方程中的（），（）（或（），（），则称 为 的，逆（或，逆），记为（，）（或（，）。的所有，逆（或，逆）之集记为，（或，）。，分别表示 中所有 可逆元、，可逆元、，可逆元之集。定义 设，若存在 使得（）（）；（）；（）（），则称 是广义 可逆的。此时，称满足上述三个方程的 为 的广义 逆。的广义 逆若存在则唯一，记。表示 中所有广义 可逆元之集。当 时，称幂等元 为 的谱幂等，记为。定义 设。（）若存在 使得（）；（），则称 是核 可逆的。称满足上述方程的 为 的核 逆。的核 逆若存在则唯一，记 。中所有核 可逆元之集记作 。（）若存在 使得（）；（）（），则称 是对偶核 可逆的。称满足上述三个方程的 为 的对偶核 逆。的对偶核 逆若存在则唯一，记 。中所有对偶核 可逆元之集记作 。核 逆的 引理引理 设 ，则：（）（），（），；（）对任意，（）；第 期霍慧敏，等：对合环上核 逆的广义 引理和广义 公式 （）且，此时，对任意（）（，）（），（）（，）。证明（）和（）见文献的定理。（）对任意，由（）可得（）（）（）。引理 设，则下列条件等价：（）；（），；（），。此时，（），（），且对任意（）（，）（），和（）（，）（），（）（，）（）（，）。证明（）（）。见文献定理（）（）。（）（）。由文献引理 直接可得。引理 设，若存在，满足，则下列条件等价：（），；（）（，）（，）。此时，（，）（），。引理 设，满足，那么。此时，（）（），（）（）。定理 设，满足，若 ，则下列条件等价：（）；（），；（）（），其中（）。此时，（）（）。证明 由假设 ，以及引理 知，且，。由引理 可知，且（），。（）（）。由于，因此根据引理 知，且（）（）。令（），注意到 与（）可交换，那么（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷成立，于是。根据引理 可知 当且仅当，。（）（）。由于（）（）因此（）（），注意到 与（）可交换，从而有（）（）（）（），同理可得。由于，因此根据引理 可知，当且仅当（）（，）（）（，）。注意到（），根据引理 有（）（，），故（）。下求 。若（）成立，对任意（）（，）（），由引理 知（）（，）。另外，利用 与，根据引理 可知（）（）（）（）。于是有（）（，）（）（）（）（，）（）（）（，）。若（）成立，由引理 得（）（，）（），。由于（），因此（）（），。利用引理，（），故（）（）（，）（）（）（）（）（）（）。由定理，可得如下推论。推论 设，满足，若 ，则下列条件等价：（）；（），；（）（），其中（）。此时，（）（）。推论 设，若 ，则下列条件等价：（）；（），；（）（），其中（）。此时，（）（）。定理 设，满足，对任意，若（），则下列条件等价：第 期霍慧敏，等：对合环上核 逆的广义 引理和广义 公式 （）（）；（），；（）（），其中（）（），（）（）。此时，（）（）（）。证明 由已知，对任意，（）（）（）（）（）以及（）（）（）（）（），令，（）（），（）（），则（），（），且，成立。由于（），因此根据定理 可知（），（），其中（）（）。注意到（）（）（）（）（）（），其中（）（），故定理结论成立。此时，（）（）（）。类似于核 逆的研究，对于对偶核 逆，由文献定理 和文献引理 可得引理。引理 若，则下列条件等价：（）；（），；（），。此时，（），（），且对任意的（）（，）（），和（）（，）（），（）（，）（）（，）。引理 设，若存在，满足，则下列条件等价：山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷（），；（）（）（，）。此时，（，）（）（），。与定理、定理 的证明方法类似，由引理 和引理 可得如下关系。定理 设，满足，若 ，则下列条件等价：（）；（），；（）（），其中（）。此时，（）（）。定理 设，满足，。对任意，若（），则下列条件等价：（）（）；（），；（）（），其中（）（），（）（）。此时，（）（）（）。核 逆的 公式引理 设，满足，那么。此时，（），（）。引理 设，若存在，满足，则下列条件等价：（），；（）（，）（，）。此时，（，）（），。定理 设，满足，若 ，则下列条件等价：（）；（），；（）（）。此时，（）（）。证明 由假设 ，及引理、引理 知，且（），。（）（）。由于，因此由引理 知 且（）。根据条件 可得 成立。由引理 可知 当且仅当，。（）（）。首先，由条件 可得下列式子成立（）（）（）（）（），以及（）（）（）（）（）。第 期霍慧敏，等：对合环上核 逆的广义 引理和广义 公式 注意到，可根据引理 得到，当且仅当（）（）（，）（）（，）。由（），及引理 可得（）（，），因此（）。结论得证。下求 。若（）成立，对任意（）（，）（），由引理 知（）（，）（）（）（，）。若（）成立，对任意（）（，）（），由引理 知（）（，）（）（），注意到（），根据引理 得 （）（）（），。利用条件 以及引理 有下列式子成立：（）（）（，）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。由定理，可得如下推论。推论 设，满足，若 ，则下列条件等价：（）；（），；（）（）。此时，（）（）。推论 设，若 ，则下列条件等价：（）；（），；（）（）。此时，（）（）。定理 设，满足 ，。对任意，若 （），则下列条件等价：（）（）；（）（），；（）（）（）。此时，（）（）（）。证明 当 时，由定理 知结论成立。当 时，（）（），而 （）（），于是由推论 可知结论成立。结论得证。下面研究 与 之间的关系。引理 设，若存在，满足，则下列条件等价：（），；山 东 大 学 学 报（理 学 版）第 卷（）（）（，）。此时，（）（，）（），。与定理、定理 的证明方法类似，由引理 和引理 可得对偶核 逆如下结论。定理 设，满足，若 ，则下列条件等价：（）；（），；（）（）。此时，（）。定理 设，满足，对任意，若（），则下列条件等价：（）（）；（）（），；（）（）。此时，（）。参考文献：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，：.，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：（编辑：李晓红）