带有位势井的分数阶渐近薛定谔方程的多解性研究_陆伟东.pdf

第 卷第 期 年 月南京师大学报（自然科学版）（）.，收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）通讯作者：单远，副教授，研究方向：微分动力系统：带有位势井的分数阶渐近薛定谔方程的多解性研究陆伟东，单 远（南京审计大学数学学院，江苏 南京）摘要 研究分数阶薛定谔方程：（）（）（，），其中，满足渐近线性条件，且当 充分大时位势函数 具有位势井 利用临界点定理得到方程的多解性关键词 分数阶薛定谔方程，位势井，渐近线性条件，多解性中图分类号 文献标志码 文章编号（），（，）：，（）（）（，），：，本文研究如下的分数阶薛定谔方程：（）（）（，），其中，（，），分数阶拉普拉斯（）定义为：（）（）（）（）（），（）位势函数：（），是实参数并满足如下条件：（）：（，），且：（）（）：存在 使得集合，（）非空且具有有限测度（）：?（）是带有 边界的有界区域方程（）源自于时间依赖的分数阶薛定谔方程（）（）（，），的驻波解的研究 这里驻波解是指满足方程形如（，）（）的解 近些年，人们利用分数阶的拉普拉斯或拟微分算子来研究纯数学或者应用数学中的一些具体的现象 分数阶薛定谔方程是分数阶量子力学的重要模型之一 值得指出的是文献在路径积分中利用 路径代替布朗路径得到了分数阶薛定谔方程，并将布朗量子力学推广到 量子力学，使得该方程得到了广泛的关注（参见文献）当 充分大时，条件（）（）建立了位势井 这类条件被运用于薛定谔方程的研究中 随后，南京师大学报（自然科学版）第 卷第 期（年）位势井被引入薛定谔泊松方程、问题、分数阶薛定谔方程等的研究中（参见文献）为了介绍非线性项 的条件，我们首先给出带有齐次狄利克雷边值条件的非局部拉普拉斯问题的特征值问题（参见文献）：（）（）（）（），设（），并记（）为满足 边值条件的算子 的谱，则（）由正的有限重特征值构成 在本文中，我们希望将薛定谔方程中的经典结果，推广至分数阶薛定谔方程（）的研究中 我们主要研究当非线性项 满足渐近线性条件时方程（）的多解性针对，我们做出如下假设：（）：（，）（），关于 一致（）：（，）（）（，），其中 是有界连续的实值函数，（，）且（，）（），关于 一致（）：（）（）（）：要么（）（），要么（）（，）且存在 使得充分大时（，）成立 其中（，）（，）（，），且（，）（，）设 为算子 落入（，）内的特征值的个数，本文的主要定理如下：定理 设（）（）和（）（）成立 若 关于 是奇函数，则当 充分大时，方程（）至少含有 对解注 如下的函数满足条件（）（）：（，）（）（）|预备知识我们首先回顾分数阶 空间的相关知识 定义分数阶函数空间：（）：（）（），其上的范数定义为（）（）|算子（）的形式定义域为：（）是一个 空间并带有内积（，）（）（）（）可以连续嵌入 特别的，根据中的引理，可得引理 可以连续嵌入（），且紧嵌入（），其中定义 上的泛函：，（）（）（）（，）（，）（）根据 的假设易得（，）且 的临界点是方程（）的解设（）：简记（）和 根据文献，我们得到如下结论：陆伟东，等：带有位势井的分数阶渐近薛定谔方程的多解性研究引理 设（）（）成立 任取，对于任意的，存在 和 使得（），我们引入如下的空间：可测，（）且（）（）（），其中，记：几乎处处于，是定义在 上的算子（）的形式定义域，且（）只具有正的孤立的有限重特征值下面我们介绍对称形式的山路引理（参见定理）用来研究泛函 的临界点 回顾序列（）被称为 的（简写为）序列是指：（）有界且（）函数 满足 条件是指：的任一 序列具有收敛子列定理 设（，）为巴拿赫空间 上的偶泛函，（）且 满足（）条件 若（）存在，和 使得，（），（）存在，和 使得（），则 至少有 对临界点（正临界值）定理 的证明引理 设（）和（）成立，则存在 使得（），对于任意 都成立证明 由（）和（）可得：对于任意，存在 以及，使得（，），以及（，）从而，因此当 充分小时该引理成立设 在（，）中的特征值（按重数计算）为（）（）（）（），并用，表示其对应的特征向量 记，引理 存在 使得（）证明 只需证当 且 时 假设存在，且时（）设，则有 由于 是有限维空间，不妨设在 中 则有（）（，）（）记（，）（，）由条件（）可得（，）以及当 时（，）从而南京师大学报（自然科学版）第 卷第 期（年）（，）（，）（，）（，）（）（，）（）此外，根据条件（）有（）结合式（）、（），我们得到（）（）|，矛盾 证毕引理 设定理 的条件都成立，则当 充分大时，所有的（）序列有界证明 设序列满足（）且（）假设无界 令，则有不妨设在 中 且在（）中 首先证 事实上，如果，则存在常数 使得（）（）（，）（）由引理，当 充分大时，对于 存在 使得 又由于在（）中，所以由式（）可得（）矛盾 从而，有（）（）（，）（），）（，）令，则有（，）（），）以及（）若条件（）（）成立，则有，矛盾 假设条件（）（）成立，即存在 使得（，）对于 成立 由（，），可得（）（）（，）（，）：因此，：此外，存在 和集合 使得（）和 根据 定理，存在集合 满足，使得（）（）关于 一致 因此，（），且对于几乎所有的 成立 从而，：，矛盾 综上所述，在 中有界 证毕引理 设定理 的条件都成立，则有 满足（）条件证明 设是 的（）序列 由引理，在 中有界 不妨设在 中，且在（）中 令，则有 中 且在（）中 从而，（）（，）（，）（）（，）（，）（）（）（）根据引理，当 充分大时，对于任意的，存在 使得 此外，（）因此，从式（）可得（）（），则有在 中 引理得证定理 的证明 根据引理 可得，定理 的条件（）成立且有 令，则有 ，陆伟东，等：带有位势井的分数阶渐近薛定谔方程的多解性研究且引理 说明条件（）成立 引理 和引理 说明，当 充分大时 满足（）条件 由（，）关于 是奇函数知 是偶函数 因此，具有至少 对非平凡的临界点 证毕参考文献 ，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，：，责任编辑：陆炳新