丢番图方程P(x)=n!!的正整数解_王璞.pdf

第 43 卷 第 2 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.2 2023 年 2 月 Journal of Science of Teachers College and University Feb.2023 文章编号：1007-9831（2023）02-0016-04 丢番图方程()!P xn=的正整数解 王璞，余奇珂，程洋，杨鹏（辽宁科技大学 理学院，辽宁 鞍山 114051）摘要：利用 ABC 猜想证明了对于次数大于 1 的整系数多项式()P x，仅有有限多个整数对(),xn使得多项式()P x的值为某个自然数n的双阶乘 关键词：丢番图方程；ABC 猜想；双阶乘；Brocard-Ramanujan 方程 中图分类号：O156.1 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.02.004 Positive integer solution of Diophantine equation()!P xn=WANG Pu，YU Qike，CHENG Yang，YANG Peng（School of Science，University of Science and Technology Liaoning，Anshan 114051，China）AbstractAbstract：Using ABC conjecture，it was proved that for the integer coefficients polynomial()P xwith degree greater than 1，there are only finitely many pairs of positive integers(),xnsuch that the value of polynomial()P xis a double factorial of a natural numbern.Key wordsKey words：Diophantine equation；ABC conjecture；double factorials；Brocard-Ramanujan equation 1 引言及预备知识 由 Brocard1-2和 Ramanujan3提出的著名的 Brocard-Ramanujan 丢番图方程21!xn-=至今仍未得到解决此问题亦记录在 Guy 的名著数论中未解决的问题中Overholt4将此问题与 Szpiro 猜想联系起来，在假设 Szpiro 猜想成立的前提下，证明了丢番图方程21!xn-=仅有有限解Dabrowski5在假设 ABC猜想成立的前提下，证明了对任意给定的非平方数0A，2!xAn+=仅有有限个整数解Berndt6等指出在910n，都存在一个与有关的常数()C，使得对任意满足=CAB+的互素的非零整数ABC，有()()1max,radABCCABC+，存在素数p，使得2npn （2）仅有有限个整数解(),zn 证明 假设方程（2）有整数解(),zn若0z，则22dddzzz，于是有个可计算的正常数12,CC，使得 ()()12lnln!,dznCzC-（3）这里取2C充分大，使得8nc假设有整数解(),zn满足8nc 若2nm=为偶数，则()()!2!222!22mnmmmm=-=，由引理 2 可知，在区间,2mm|中必有奇素数22mpc且2!mp cmcn=故!cn不可能为某个整数的幂 若21nm=-为奇数，由引理 2 可知，在区间,2mm|中必有奇素数22mpc且!p cn故!cn不可能为某个整数的幂 综上，若方程（2）有解，则8nc从而由式（3）及引理 2 可知，方程（2）至多有有限个正整数解 证毕 引理 对任意的正整数n，有2!ennn|证明 由著名的 Stirling 公式10可知()()ln!lnnnnn-（4）()()2!1!nnnn-=（5）结合式（4）（5）可知，()()()()ln!ln!ln1ln222ennnnnn-=|，此即0.5!ennn|证毕 2 主要结果及证明 定理 在 ABC 猜想成立的前提下，方程（1）仅有有限多个正整数解 证明 令101()dddP xa xa xa-=+，方程（1）两端同时乘以10ddd a-，得 1111101000!ddddddddddda d xa adxa add an-+=令10ddcd a-=，010,iiid aya dx b-=，则1111101000!ddddddddddda d xa adxa add an-+=可改为 11!dddyb ybcn-+=（6）注意到ib是d的整数倍数，因此可以令ibzyd=+，得到 22+!dddzc zccn-+=（7）式中：ic Z是ia和d的组合 令()22dddQ xxc xc-=+当z充分大时，有 18 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷()22ddzQ zz时，有()()1lnln!dznC-记()()dQ xxR x=+，则()R x为整系数多项式若()0R x，则方程（7）变为!dzcn=（10）由引理 3 可知，方程（10）仅有有限多个正整数解 假设()R x非零，并记jd为满足0jc 的最大整数，则方程（7）可改写为 22!jjjdjcnzc zcz-+=（11）令()()212jjdjR xRxccxx-=+，对z充分大，有()2130jRzC z-=假设4zC，记()()1gcd,dDzRz=易知对任意的素数|p D，有|jp c将方程（11）改写为()1!jdjRzzcnDDzD-+=（13）在 ABC 猜想中取2jzAD=，()1RzBD=，()!djcnCzD-=，则有 ()1153r!adjjz RcnDzCDz+|（14）式中：5C仅与有关 易知 ()aadrrdjjzzzD|（15）()()2311radjRzCzRzDDD-及!nn可知，()()rad!rad!cnn故有()()!radrad!rad!4ndjp ncncnnppz-=|（17）记()13rad!jz RcnzND|=|，则由式（15）（17）可知()1314!radradradjnjdjCzRzzcnNDDDDz-|（18）由式（14）（18）可知，1164jjnzzCDD+-|，式中：1653CC C+=化简得()1164jmjzzCD+-()()()1 1164jimCz-+，继续化简，得到 第 2 期 王璞，等：丢番图方程()!P xn=的正整数解 19 ()1164jnzC+-+（19）取1122dj=，则由式（19）可知，()1/21164jnzCz+-+，两端取对数，便有 ()78ln zC nC+（20）式中：()()72 1ln 4C=+；()862lnCC=式（20）两端同时乘以d，得()910lndzC nC+（21）式中：97CdC=；108CdC=结合式（9）（21），有()()1911ln!lnnCdzC nC+，11110CCC=+于是由引理 4 可知，12nC，从而由式（9）可知，13zC因此方程（1）仅有有限个整数解(),xn 证毕 参考文献：1 Brocard HQuestion 166JNouvelle Correspondance MathMatique，1876，2：287 2 Brocard HQuestion 1532 JNouvelles Annales De Mathmatiques，1885，4：391 3 Ramanujan SQuestion 469JThe Journal of the Indian Mathematical Society，1913，5：59 4 Overholt MThe Diophantine Equation2!1nm+=JBulletin of the London Mathematical Society，1993，25（2）：104-105 5 Dabrowski AOn the Diophantine Equation2!xAy+=JNieuw Archief Voor Wiskunde，1996，14：321-324 6 Berndt B C，Galway W FOn the Brocard-Ramanujan Diophantine Equation2!1nm+=JThe Ramanujan Journal，2000，4：41-42 7 Erds P，Oblt Rber diophantische Gleichungen der form!ppnxy=and!pnmx=JActa Scientiarum Mathematicarum，1937，8（4）：241-255 8 Luca FThe Diophantine equation()!P xn=and a result of M.Overholt JGlasnik matematiki，2002，37（2）：269-273 9 王建伟Chebysh 定理的初等证明J大学数学，2003，19（5）：62-64 10 刘会成 Stirling 公式在一个乘积不等式中的应用J数学通报，2002（10）：46（上接第页）参考文献：1 王丽敏（2+1）维 KP 方程的 Darboux 变换及其精确解D郑州：郑州大学，2011 2 张睿，张玉春，王彬弟应用拓展双曲函数方法求 KP 方程的新精确解J纯粹数学与应用数学，2010，26（4）：651-655 3 夏鸿鸣（2+1）维 KP 方程的三类精确解J纯粹数学与应用数学，2013，29（6）：577-581 4 姜东梅 KP 方程的精确行波解J北京联合大学学报（自然科学版），2008（3）：69-71 5 王岗伟，刘希强，张颖元变系数 KP 方程的新精确解J河北师范大学学报（自然科学版），2012，36（6）：555-559，563 6 李志斌非线性数学物理方程的行波解M北京：科学出版社，2007 7 常晶，刘丽环，高忆先，等利用改进的（G/G）函数法求解非线性发展方程的行波解J吉林大学学报（理学版），2012，50（3）：487-493 8 郭冠平G/G展开法求解变系数 KP 方程的精确解J浙江师范大学学报（自然科学版），2013，36（2）：166-171 9 张英，李晓燕，姚若侠用改进的双曲正切法求解 KP 方程新的精确解J陕西师范大学学报（自然科学版），2013，41（5）：1-4 10 和玲超，庞晶，赵忠龙应用 Bernoulli 型简单方程求（2+1）维 KP 方程的精确行波解J湖南师范大学自然科学学报，2014，37（4）：82-86 11 陈自高，梁芳变系数辅助方程法与一类非线性发展方程行波解J洛阳理工学院学报（自然科学版），2010，20（4）：74-78