二阶时滞动态系统的鲁棒H_∞控制_周天宠.pdf

第 43卷 第 3期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.3 2023 年 3 月 Journal of Science of Teachers College and University Mar.2023 文章编号：1007-9831（2023）03-0031-08 二阶时滞动态系统的鲁棒H控制 周天宠，修春（沧州交通学院 通识教育学院，河北 黄骅 061199）摘要：为保证二阶时滞动态系统的稳定性，对系统进行稳定性分析和控制器设计，运用H控制理论解决其优化控制问题运用模型转换，对带有中立时滞和离散时滞的二阶系统进行广义系统建模 利用广义系统理论、Lyapunov 稳定性理论和 LMI 工具针对二阶时滞系统研究其稳定性问题，使系统满足相应H性能指标，并进一步进行控制器增益的设计，进而研究系统容许，满足给定的性能指标应用线性化方法得到控制器增益求法，通过数值仿真验证方法的有效性 关键词：二阶时滞系统；鲁棒H控制；时滞 中图分类号：TP13 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.03.007 RobustHcontrol of second order delay system ZHOU Tianchong，XIU Chun（School of Liberal Arts Education，Cangzhou Jiaotong College，Huanghua 061199，China）AbstractAbstract：In order to ensure the stability of the second-order time-delay dynamic system，the stability analysis and controller design of the system are carried out，and theHcontrol theory is used to solve the optimization control problem.Model transformation is used to model generalized systems of second order systems with neutral time delays and discrete time delays.Use generalized system theory，Lyapunov stability theory and LMI tools to study the stability of the second-order time-delay system，make the system meet the correspondingHperformance index，and further design the controller gain，and then study the system tolerance to meet the given performance index.The linearization method is used to obtain the controller gain method，and the effectiveness of the method is verified by numerical simulation.Key wordsKey words：second order system；robustHcontrol；time delay 诸多机械系统均可建模为二阶动态系统，时滞系统可以用于时滞、数据丢包和采样对于时滞系统的研究是系统性能的保证近些年，很多学者开展了对二阶系统的研究马越超1等研究了奇异时滞系统的量化容错控制问题刘征2研究了基于位置-加速度反馈的广义二阶系统特征结构配置问题高文华3等研究了不确定变时滞非线性随机系统的鲁棒稳定性问题黄玲4等研究了基于输出加微分反馈的广义二阶动力学系统 针对系统存在干扰和不确定情况，H控制理论主要解决其优化控制问题，实现系统外界干扰、系统不确定等对系统的期望输出的影响趋于最小很多学者开展了对H控制理论的研究王岩5等研究了部分时滞依赖下时滞切换系统的H同步镇定问题 李艳辉6等研究了基于 T-S 模糊模型的不确定时滞系统鲁棒 收稿日期：2022-10-10 基金项目：河北省高等学校科学研究项目（Z2019032）；沧州市社会科学研究发展课题（2021027）作者简介：周天宠（1984-），女，辽宁锦州人，讲师，硕士，从事运筹学与控制理论研究E-mail： 通信作者：修春（1982-），男，山东青岛人，副教授，硕士，从事排队论研究E-mail： 32 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 1L滤波问题王通7等研究了基于模型依赖平均驻留时间的线性切换系统有限时间H控制问题张思远8等研究了具有不确定和时变时滞的离散切换系统的鲁棒H可靠控制问题聂宏9等研究了时滞状态反馈下离散时滞系统H控制器失效时间分析问题宋政一10等研究了具有时变时滞的离散切换系统的鲁棒H控制问题 本文将在考虑时滞的前提下针对二阶动态系统使用广义系统方法进行模型转换，研究H控制问题 1 问题描述 考虑带有中立时滞和离散时滞的二阶系统()()()()()()()()()()()()()()00tttttttttttttt+-+-=+=+-+-=MxDxD xHxH xBuGzVxV xWxW xxx?（1）式中：()ntxR，()mt uR，()pt zR分别代表二阶系统状态向量、输入向量、控制输出向量；,t,M D D,H HB G V V W W均为适维的常数矩阵需要尤其指出n nMR代表奇异矩阵，它的秩满足rank=Mrn并且设计的状态反馈控制器形式 ()()()()()1234ttttdtd=+-+-?uK xK xK xK x （2）式中：1234,KKKK为待求的控制器增益 令()()tt=?x，进一步将控制器（2）联合二阶系统（1），可以得到闭环系统()()()()()()()()()()()()()()()()()241300ttttdtttdtttttttt=-+-+-+-+=+-+-=?MBKDDBKBKH xH xBK xGzVxV xWWxx （3）进而对系统（3）做模型整理，可得闭环的奇异系统模型()()()()()()()()()00dttttdtttt=+-+-+=+-=?EAAABzCC （4）式中()()()x ttt=，00IM=E，120IBKHBKD=-A，00HD=-A 3400dBKBK=A，0G=B，()VW=C，()VW=C 本文的主要目的是推导出稳定性判据，使得式（4）是正则、无脉冲且稳定的，进行稳定性分析及H性能分析，求解控制器增益 定义 1 矩阵对()E,A称为正则、稳定且无脉冲的，当且仅当存在矩阵P，使得TT=P EE P且TT+0P AA P 定义 2 如果时滞广义系统（4）是正则、无脉冲且稳定的，则称系统（4）是容许的 引理 1（Schur 补）对于给定的对称矩阵11122122SSSS=S，其中TT11112222=,=SSSS，则以下 3 个条件等价：（I）0S；第 3 期 周天宠，等：二阶时滞动态系统的鲁棒H控制 33（II）1T1122211121 0,0-SSS S S-；（III）1T22111222120,0-，有TT1T2-+x yx Pxy Py 因此，可得对于适维矩阵M,F,N和常量0，其中TF FI，有()()TTTTTTT1T-+x MFNyy N F M xxMM xyN N y 引理 3 设 为()()22tt和0d，如果存在可逆矩阵11122122PPPP=P，对称正定矩阵11P，1Q，2Q，3Q，4Q，1R，2R，3R，4R和松弛矩阵11S，12S，21S，22S，31S，32S，41S，42S，使得不等式成立 0=E PP E （5）1231456121214340000000000000000000000dddRRRdRdRdRITTTTTTT-*-*-*-*-*-*-*-（6）其中 11121321152142122222422326223344556620000000000P DP BKP GP HP BKP GITTTTTT-*-*=*-（7）()()112111211311113131TTTT=-+-+PBKHBKHPQQSSSS 13211112TT=-+P HSS，152133132TT=-+P BKSS ()()221212222222241321214141dTTTTTTT=+-+-+PPPBKDBKDPQQRRS MM SS MM S 24222122TTT=-+P DS MM S，262244142TTT=-+P BKS MM S 3311212T=-QSS，4422222TT=-QS MM S 5533232T=-QSS，6644242TT=-QS MM S ()11234BKHBKDHDBKBKG=-34 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷()2111200000SS=，()3212200000SS=()4313200000SS=，()5414200000SS=()6000VWVW=则系统（4）()0t=时为容许的；并且系统（4）满足H性能指标 证明 针对广义系统，首先证明其正则、无脉冲根据判据（6），由 Schur 补引理可得 1112220*则 TTTT0+P AA PE SS E 其中 111200SS=S 根据 Schur 补引理和引理 2 得到 TTTT-10P A+A PES*-I0*-I 故TT0+P AA P，由定义 1，结合式（6）可知矩阵对(),E A正则、无脉冲进一步由式（6）得 TT1112132113214TT22222412326334455660000000P DP BK*P HP BK*-（8）取 00000000000III*III*I*I*I*I=将式（8）左乘 右乘其转置，可得()()TT+0dd+PAAAAAAP，说明了矩阵对(),+dE AAA为正则、无脉冲.那么，根据定义 1 可知系统（4）满足正则、无脉冲.为证系统稳定性，选取 Lyapunov 函数()()()()123,ttttt xt xt xt x=+VVVV 其中()()()111212122,tPPt xttPPT=VE()()()()()1322400,dsds00ttttt dQQt xssssQQTT-=+V()()()()()001332400,d dd d00ttttdtRRt xssssssRRTTTT-+-+=+?VEEEE 通过对(),tt xV进行求导，可得 第 3 期 周天宠，等：二阶时滞动态系统的鲁棒H控制 35()()()111212122,2tPPt xttPPTT=?VE()()()()()()()()()()()()()()()()()212123434,tt xtttttttttttttdtdtdtdTTTTTTTT=+-=+-?VxQ xQxQ xQxQ xQxQ xQ()()()()()()()()()()()()()()()()()312123434,dd ddtttttttt dt dt xtttMtssssssdttdttssssssTTTTT-TTTTT-=+-+-?VxR xMRxR xM R MxR xMR MxR xM R M 根据引理 3 可以得到()()()()()()()()()()()111111112111111121112121212dttx tx tx tx tSSSSSsssSSx tx tx tx tSSSSSTTTTTT-TTT-+-+-+-+-?xR xR 于是，可以得到()()()()()()()()()()()1112132115214212222242232622334455661