单叶调和函数的Bloch和Q_p空间_王芳.pdf

98 第 25 卷第 2 期遵义师范学院学报2023 年 4 月自古以来，数学在人类社会中就起着至关重要的作用2，随着时间的推移，数学发展出了很多的分支，复变函数理论作为当代数学研究的主流方向之一，在数学研究及其发展中占有十分重要的地位。追溯复变函数理论的研究，我们发现复变函数论产生于十八世纪。在十九世纪，数学家们公认复变函数论是最丰饶的数学分支，复变函数理论的研究使其发展达到鼎盛时期。二十世纪初，数学家们对复变函数论进行了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，使其发展有了很大的进展。通过对复变函数论的学习，我们发现复变函数理论已经有很多研究分支，其中，复函数空间理论是多复变函数论研究的一个重要课题，例如经典的Hardy空间、Bergman空间再到后来的Bloch空间、Dirichlet空间，BMOA 空间、Besov 空间以及 Qp空间等，复函数空间理论的研究取得了很大的进展。在函数空间理论中，一个单叶解析函数属于解析 Bloch 空间当且仅当它属于解析 Qp空间。本文的主要目的就是将这一结果推广至单叶调和函数情形，为此，我们引入调和 Qp空间的定义并证明一个单叶调和函数属于调和 Bloch空间当且仅当它属于调和 Qp空间。我们首先介绍一些相关的定义和符号。用表示复平面 C 上的单位圆。我们称一个解析函数 f 属于 Bloch 空间 B，如果.称一个解析函数f属于小Bloch空间B0，如果fB，且，更多性质见文献3-5。称一个解析函数 f 属于空间收稿日期：2022-09-13基金项目：贵州省科技厅基础研究项目（ZK2021一般 001）作者简介：王芳，女，贵州湄潭县人，贵州师范大学数学学院硕士研究生，主要从事复分析与拟共形映射的研究。通信作者：唐树安，男，贵州锦屏县人，贵州师范大学数学学院教授，博士，博士生导师，主要从事复分析与拟共形映射的研究。单叶调和函数的 Bloch 和 Qp空间王芳，罗允，唐树安*（贵州师范大学 数学科学学院，贵州 贵阳 550001）摘要：设 f=h+g 是单位圆上保向的单叶调和函数，其中 h 和 g 是单叶解析函数。Rauno Aulaskari 在文章1中给出了解析情况下Bloch空间和Qp空间的关系，利用单位圆中单叶调和函数的性质，作者将这一结果推广至调和的情形，相应得到了调和Bloch空间和 Qp空间的关系。关键词：Qp空间；Bloch 空间；BOMH 空间；单叶调和函数；单叶解析函数。中图分类号：O174.55文献标识码：A文章编号：1009-3583（2023）-0098-04Bloch and Qppaces of univalent harmonic functionsWANG Fang,LUO Yun,TANG Shu-an*(Department of Mathematics,Guizhou Normal University,Guiyang 550001,China)Let f=h+g be a univalent harmonic function on the unit disc,where h and g are univalent analytic functions.Rauno Aulaskari1gavetherelationship betweenBloch spaceandQpspaceinthe analyticcase,By usingsome propertiesofunivalentharmonic functionin unit disc,in the paper,we extend this result to the harmonic case,we obtain some characterizations of the relationship between Blochand Qpspace.Qpspace;Bloch space;BOMH space;Univalent harmonic function;Univalent analytic function第 25 卷第 2 期2023 年 4 月遵义师范学院学报Journal of Zunyi Normal UniversityVol.25,No.1Apr.2023 99 Qp，0 p，如果，其中 g(z,a)是内在 a 点处具有奇点的 Green 函数。称解析函数f属于空间Qp,0，0 p，如果fQp，且当 p=1 时，Q1是函数空间 BMOA。当 p 1 时，Qp是函数空间 Bloch。类似的，Q1,0是函数空间 VMOA，Qp,0，p 1 是函数空间 B0，更多性质见文献6-9。设 f 是单位圆上保向的单叶调和函数，则 f 可以表示为 f=h+g，其中 h 和 g 是单叶解析函数。在文章10中，作者引入了调和Bloch空间的概念。我们称一个调和函数 f 属于 Bloch 空间 B，如果.称一个调和函数f属于小Bloch空间B0，如果fB，且.调和 Bloch 空间还有不同的定义，更多性质见文献11-13。本文我们给调和 Qp空间一个新的定义。我们称一个调和函数 f 属于空间 Qp，0 p，如果，其中 g(z,a)是内在 a 点处具有奇点的 Green 函数。类似的，称一个调和函数f属于空间Qp,0，0 p，如果 fQp，且特别地，当 p=1 时，Q1是函数空间 BMOH。Q1,0是函数空间 VMOH，关于 BMOH 以及 VMOH 的更多性质见文献14。1 相关结果与主要结果对于解析函数情形，Ch.Pommerenke15得到下面结果。定理 A 设 f 是单位圆内一个解析函数，且满足.（1.1）其中，表示在单位圆内的零点个数。则；.如果 f 是一个单叶解析函数，则对于任意的，=0 或者=1，所以条件（1.1）成立。RaunoAulaskari1等人将定理A推广至Qp空间情形，他们证明了下列结果。定理 B 设 f 在单位圆内解析且满足条件（1.1），0 p .则；.另一方面，Y.Abu-muhanna16将定理 A 推广至调和函数情形。定理 C16设 f=h+g 是单位圆内保向的单叶调和函数，则；.下面是本文的主要结果，将 RaunoAulaskari 等人1的结果推广至调和函数情形。定理 1.1 设 f=h+g 是单位圆内保向的单叶调和函数，0 p.则；.2 定理 1.1 的证明下面给出定理 1.1 的证明。定理 1.1 的证明：我们首先证明（1）。设 fQp在单位圆内单叶调和，则由调和函数 Qp空间的定义，我们得到 hQp及 gQp.又注意到 h 是单叶解析的，由定理B，我们得到所以成立。反过来，设 fB 对任意的，设z利用 Bloch 函数的增长估计，我们得到（2.1）因此，存在常数 C 0，使得（2.2）王芳等单叶调和函数的 Bloch 和 Qp空间 100 第 25 卷第 2 期遵义师范学院学报2023 年 4 月由(2.2)我们推出存在常数 C 0，使得（2.3）所以，下面我们证明（2）：设fQP,0在单位圆内单叶调和，则由调和函数 QP,0空间的定义，我们得到 hQP,0及 gQP,0.又注意到是单叶解析的，由定理 B，我们得到 hQP,0hB0fB0.所以 fQP,0fB0.反之，设 fB0.对任意的，设通过简单计算得到所以我们有（2.4）和（2.5）由（2.3）式，我们推出（2.6）和（2.7）所以，对于任意给定的 0，存在 0，当时有，.因为 fB0，所以存在 R1，0 R01 R1 1，使得，（2.8）和，（2.9）设，它将单位圆周映成单位圆周，所以存在 R2，R1 R2 1 对于，有和我们得到（2.10）和（2,11）因此，由（2.3）到（2.11），我们得到对所有,由此，我们推出 101 即 fQP,0，定理证毕。参考文献：1AULASKARI R,LAPPAN P,XIAO J,etal.On a-Bloch Spacesand Multipliers on Dirichlet SpacesJ.J.Math.Anal.Appl.,1997(209):103-121.2幸克坚.数学与人类文明J.遵义师范学院学报,2009,11(06):65-67.3ZHU H.Bloch Type Spaces of Analytic FunctionJ.RockyMountian J.Math.,1993(23):1143-1177.4STROETHOFF K.Nevanlinna-type Characterizations for theBloch Space and Related spacesJ.Proc.Edinburgh Math.Soc.1990(33):123-141.5曹成堂.从 Bloch 空间到加权型空间上二阶微分算子与加权复合算子的积J.遵义师范学院学报,2017,19(06):94-96.6AULASKARI R,LAPPAN P.Criteria for an Analytic Func-tion to be Bloch and a Harmonic or Meromorphic Function tobe NormalJ.Math.Series,1994(305):136-146.7AULASKARI R,XIAO J and ZHAO R.On Subspaces andSubsets of BMOA and UBCJ.Analysis,1995(15):101-121.8QIAN R,ZHU L.Embedding of Qp Spaces into Tent Spacesand Volterra IntegraloperatorJ.AIMS Math.,2020,6(1):698-711.9WU F,WULAN H.Semigroups of Composition Operators onQp SpacesJ.J.Math.,2021:124845-12485910COLONA F.The Bloch Constant of Bounded Harmonic Ma-ppingsJ.Indiana Univ.Math.J.,1989(38):829-840.11ESTAREMI Y,EBADIAN A and ESMAEILI S.Composi-tion Operators on Harmonic Bloch-type spacesJ.Math.,2022.https:doi/10.48550/arXiV.2022.06553.12DEND H,PONNUSAMY S and QIAO J.Extreme Points andSupport Points of Families of Harmonic Bloch MappingsJ.Poteneial Analysis,2021(55):619-638.13肖杰,俞迎达.调和的 Bloch 函数空间J.信阳师范学院学报,1993,6(3):270-277.14BAERSTEIN A.Analytic Functions of Bounded Mean Os-cillationM.Newyork:Academic Pres,1980.15POMMERENKE C.Schlichte Funktionen und AnalytischeFunktionen von Beschrankten Mittlerer OszillationJ.Com-ment.Math.Helv.,1977(52):591-602.16ABU-MUHANNA Y.Bloch,BMO and harmonic UnivalentFunctionsJ.Complex Variables,1996(31):271-279.（责任编辑：罗东升）(上接 77 页)区分利益是他们语言选择和规划的重要标准。当然，他们的这种认知也许是不科学也是不全面的，但是也能从侧面反映出少数民族对于语言资