第３９卷第１期２０２３年３月沧州师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣａｎｇｚｈｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＶｏｌ．３９，Ｎｏ．１Ｍａｒ．２０２３分离变量法在量子力学中的应用李燕（沧州师范学院物理与信息工程系，河北沧州０６１００１）摘要：分离变量法是求解偏微分方程常用的方法之一，其核心思想是将一个涉及多个变量的偏微分方程化成几个偏微分方程或者常微分方程分别求解，使问题得到简化，最终得以解决．在求解薛定方程、氢原子体系、自由粒子狄拉克方程等方面，分离变量法起到了化整为零、化难为易的作用．梳理与总结的解题思路有益于量子力学课程初学者的理解与提升．关键词：分离变量法；薛定谔方程；狄拉克方程；量子力学中图分类号：Ｏ４１１．１文献标识码：Ａ文章编号：２０９５－２９１０（２０２３）０１－００１３－０６数学物理方法在量子力学中的应用十分广泛，尤其是量子力学中的很多方程用到的是数学物理方法，求解过程比较繁琐，也是学习中的难点．在数学物理方法中，分离变量法适用范围最广，在量子力学的推理和计算过程中具有非常重要的作用．本文首先介绍利用分离变量法求解偏微分方程的主要思路，然后将应用分离变量法在求解薛定方程、氢原子体系、自由粒子狄拉克方程等方面的情况进行分析和说明，旨在帮助初学者总结学习规律，培养学习兴趣．１分离变量法的解题思路一方面将试探解代入偏微分方程，从而把一个偏微分方程分解成几个常微分方程，自变量也就各自分离开了；另一方面定解条件通过分离变量成为解决常微分方程的附加条件，这些条件与相应的常微分方程构成本征值问题，求解本征值问题得到本征值和本征函数，进而得到本征解，根据叠加原理，将本征解叠加得到傅里叶级数，并求出系数，则原偏微分方程得解［１］．可以看出，分离变量法的核心思想就是将一个涉及多个变量的偏微分方程化成几个偏微分方程或者常微分方程分别求解，使问题得到简化，最终才能得以解决．２薛定谔方程的分离变量解法２．１薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，它是从描写自由粒子的平面波的复数形式出发，建立的描述微观粒子运动的二阶偏微分方程，反映了微观粒子的运动规律．通过求解薛定谔方程，可以了解微观系统的性质，得到波函数的具体形式以及对应的能量［２－３］．首先考虑力场中势能Ｖ（ｒ→）为空间坐标的函数与时间无关，薛定谔方程为ｉħ∂∂ｔΨ（ｒ→，ｔ）＝－ħ２２ｍ∇２＋Ｖ（ｒ→［］）Ψ...
