二维空间分数阶反应扩散方程...格子Boltzmann方法_冯舒婷.pdf

第 卷 第 期 年 月计 算 物 理 ，文章编号：（）收稿日期：；修回日期：基金项目：湖南省自然科学基金（）、湖南省教育厅科学研究重点项目（）、吉首大学研究生校级科研基金（）和吉首大学研究生科研创新项目（）资助第一作者：冯舒婷（），女，硕士研究生，研究方向为微分方程数值解，：通信作者：戴厚平（），男，博士，副教授，研究方向为微分方程数值解及其应用，：二维空间分数阶反应扩散方程组的格子 方法冯舒婷，戴厚平，宋通政（吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首）摘 要：提出一种二维空间分数阶反应扩散方程组的格子 方法，对方程组的分数阶积分项进行离散化处理。通过 多尺度技术和 展开技术，从所建立的模型中恢复出二维空间分数阶反应扩散方程组，推导出各个速度方向上的平衡态分布函数。通过数值算例对所构造的 模型进行检验，数值计算结果与算例的精确解吻合较好。关键词：分数阶导数；反应扩散方程组；格子 方法；多尺度技术中图分类号：.文献标识码：.引言 分数阶微分方程被广泛的应用于物理力学、自动控制、信号处理、生物医学等领域。然而，大多数分数阶微分方程的解析解不能显式得到，因此，寻找有效的数值方法求解分数阶微分方程尤其重要。目前，对于分数阶微分方程的数值解法有谱方法、有限差分方法、有限元方法等。例如 等基于时空谱方法，提出了一种求解多时间分数阶扩散方程的高阶数值方法。等在非均匀网格上用无条件稳定的隐式有限差分方法研究了含源项的 导数的时间分数阶对流扩散方程的数值解。等讨论了非线性分数阶对流扩散方程的特征有限元方法。但由于分数阶微分方程解的全局依赖性，计算的空间和时间复杂度大，导致各种数值方法存在普适性、精度、边界处理和时空复杂度等问题。格子 方法（）是一种介观模拟方法，具有易于并行计算、边界条件处理简单以及程序易实施等优点。如今，在多相流、多孔介质流、化学反应流等领域取得了开拓性的进展。另一方面，作为非线性偏微分方程的数值解法，也用于求解一些特殊的偏微分方程，如 方程、方程、对流扩散方程、方程、波动方程和 方程等。对于分数阶偏微分方程的研究，等提出了 意义下的时间分数阶亚扩散方程的 模型，通过 分析，恢复了时间分数阶扩散方程并进行了数值验算；等研究了带源项的空间分数阶对流扩散方程的 模型，先将分数阶对流扩散方程转化为经典的对流扩散方程，然后应用现有的对流扩散方程的 模型进行数值求解，数值结果表明该模型具有二阶精度。等提出了 亚扩散的 模型，利用 分析，得到了平衡态分布函数的高阶矩和不同时间尺度的偏微分方程。等建立 的 演化模型，研究了一类 空间分数阶对流扩散方程的数值求解问题。李等应用格子 方法对 空间分数阶电报方程进行了数值模拟。目前研究基本上通过 求解一维分数阶微分方程问题，但对于求解二维空间分数阶方程的研究鲜有报道。基于分数阶微分算子具有非局部性，适用于描述具有记忆以及遗传性质的材料，而空间分数阶导数可以用来描述与空间相关的反常扩散过程，常用 分数阶导数代替经典扩散方程中的空间整第 期冯舒婷等：二维空间分数阶反应扩散方程组的格子 方法数阶导数。对于空间分数阶反应扩散方程数值求解的研究，等提出了线性隐式预测校正方法对空间分数阶反应扩散方程进行求解。等利用傅里叶谱方法，消除与分数阶反应扩散系统的高阶空间导数相关的刚度问题，提高了精度和效率。等利用非线性随机变量法求解具有时间分数阶导数的非线性反应扩散方程。本文利用格子 方法求解二维空间分数阶反应扩散方程组。主要内容如下：第 节，对分数阶导数的积分项进行离散化处理，将分数阶反应扩散方程组近似于标准的反应扩散方程组。第 节，对分数阶导数的离散近似进行误差分析。第 节，建立该分数阶方程组的 模型，利用 多尺度技术和 展开技术推导出对称的平衡态分布函数和耦合源项的表达式，成功地恢复了二维空间分数阶反应扩散方程组。第 节，通过含有解析解的分数阶反应扩散方程组，将其解析解和 数值解进行对比，给出该方法的误差和收敛阶。分数阶算子预处理 考虑二维空间分数阶反应扩散方程组 （，），（，），（，）（），（，）（），（，）（），（，）（），|（）其中，为区域 的边界，（）（）（）()，为 分数阶左导数。对空间分数阶微分部分进行离散处理，记（，），（，），空间 方向和 方向步长分别为 （）和 （），、，空间节点为 （，），其中 ，。由推广的积分第一中值定理，在空间 ，即 ，有（）（，）（）（，）（，）（）（，）（）（）（，）（）（）（，）（）。（）同理可得（）（，）（，）（），（）其中，（，），（，）。取（，）（，）（，），（，）（，）（，），（，）（，）（，），（，）（，）（，）。计 算 物 理第 卷记权重系数为（，）（），；，令?（，）（，）（，）（，），?（，）（，）（，）（，），?（，）（，）（，）（，），?（，）（，）（，）（，），则分数阶算子可表示为（）?（，），（）?（，），（）?（，），（）?（，）。方程组（）可近似为?（，），?（，），|（）其中，（），（），（），（）。误差分析 对分数阶导数的离散近似进行误差分析。定理 当 时，若（，）在 上总有 和，取（）（）（）和（）（）（），则（）（，）（，）（），（）（）（，）（，）（）。（）证明 已知（，）在区间，上总有 ，对每个区间，；，由拉格朗日中值定理，存在 （，），（，），使得（，）（，）（，）（），（）（，）（，）（，）（）。（）由式（）和（）得（，）（，）（，）（，）（）（，）（），（）因此第 期冯舒婷等：二维空间分数阶反应扩散方程组的格子 方法 （，）（）（）（，）（）（，）（，）（，）|（）（，）（，）（，）|（）（）。（）记常数 ，则（）（，）（，）（），类似地，（）（，）（，）（）。格子 模型 对方程（）数值求解，建立 的 维 速度（）演化模型。演化方程为（，）（，）（，）（，）（，），（）其中 （，），；（，）是修正项，为 数，为格子速度：|。对演化方程（）左边 展开，（，）（，）|（）。（）由 多尺度展开得到（）（）（）（），（）。（）令 ，其中，|，将式（）（）代入式（）得到|（）（）（）！|（）（）（）！|（）（）（）（）（）。（）对比等式（）两边 同阶项的系数，有（）：（）（）（）（），（）（）：！（）（）（）（）。（）将式（）代入式（），令 .，得（）（）（）。（）将各阶矩（）（），得到计 算 物 理第 卷（）（）（）|（）（）。（）令（），（，），（，）（）（，），（，）（）（，），（），进一步得到（），（）（）。（）结合式（）、（）和式（）得到 ，（）?，（）?。（）当 时，式（）与式（）相减得?|?|。（）取 ，?，?，则?，?，同理可得 ，?，?。将式（）对 进行求和，结合式（）、（）有?|，?|。|（）由方程（）式，得，因此方程（）可表示为?，?。|（）局部平衡态分布函数（）和耦合源项（，），；，的表达式分别为（），（），（），（），（），（），（），（），（）。|（）第 期冯舒婷等：二维空间分数阶反应扩散方程组的格子 方法（，）（，），（，）（，）|（）数值算例 为了验证理论分析的有效性和正确性，引入全局相对误差（）和收敛阶（）。（，）（，）（，）（，），（）（）（，）（，）（）（），（）（）（，）（，）（）（）。（）其中 （，），；，。（，）和（，）分别表示 在（，）处的数值解和精确解。边界处理采用非平衡态外推法，即（，）（，）（，）（，）。（）式中 为边界格点，是 邻近的内层格点。.算例 考虑反应扩散方程组（），.，.，初始条件为（，）（，），耦合源项为 （），（）（）。通过验证，其解析解为 ，。取参数 ，.，。图 为 .，.，时解析解与 数值解的演化，解析解与数值解非常相似。图 精确解和 数值解的演化（）的精确解；（）的数值解；（）的精确解；（）的数值解 （）；（）；（）；（）计 算 物 理第 卷表 不同时间 下的 与 时间 （，）（，）.表 为 .，.，时间步长 .，空间网格数 时，随着时间 的变化，的全局相对误差（）与 的全局相对误差（）均小于 ，表明解析解与 数值解相差不大。考察在相同时间步长下，不同的空间网格数和分数阶阶数对模型误差精度的影响。固定时间步长 .，表 为 ，.时，不同 值下的全局相对误差及相应的数值收敛阶数。从表中可以看出，随着网格数的增加，（）、（）逐渐减小，并且两者的收敛阶数约在.到.之间。表 不同分数阶阶数 下的全局相对误差 与收敛阶 （，）（）（，）（）.算例 考虑如下分数阶反应扩散方程组，（，），（，），耦合源项为 （）（）（）（），（）（）（）（）。解析解为 （），（）。选取参数，.，.，图 为 .，.，时解析解与 数值解的演化结果。表 表示 .时，选取不同时间 和不同分数阶 下，的全局相对误差变化不明显，并处于 数量级，说明 的计算结果和解析解相差较小。表 表示 .时，不同时间 和不同分数阶 下的全局相对误差。当时间 变化时，的全局相对误差总体上小于.；当分数阶 的阶数改变时，的全局相对误差变化不大。图 表示 .，.，.，时刻，全局相对误差随 的减小而减小，并且 的平均收敛阶为.，的平均收敛阶为.。表 为 ，时，不同时间步长下，其时间精度达到，说明所构造的 模型是收敛的。第 期冯舒婷等：二维空间分数阶反应扩散方程组的格子 方法图 精确解和 数值解的演化（）的精确解；（）的数值解；（）的精确解；（）的数值解 （）；（）；（）；（）表 不同时间 和不同 下 的 .表 不同时间 和不同 下 的 .计 算 物 理第 卷图 时刻，全局相对误差 随 的变化 当 时，即方程组（）为整数阶反应扩散方程组，取 ，.，随时间的变化如表 所示。表 不同时间步长下的 及其收敛阶 （，）（）（，）（）.表 不同时间 下的 （）（）（，）（，）.结论 基于 格子 模型，通过对分数阶积分项进行离散化处理，得到近似于标准的反应扩散方程组，利用 多尺度分析技术和 展开，得到了求解二维分数阶反应扩散方程组的格子 模型，并推导出简单且对称的平衡态分布函数，通过两个带解析解的分数阶反应扩散方程组验证，经分析其解析解与数值解的误差和收敛阶，说明了模型的准确性和有效性。参考文献 ，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：第 期冯舒婷等：二维空间分数阶反应扩散方程组的格子 方法 ，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：何雅玲，王勇，李庆 格子 方法的理论及应用 北京：科学出版社，：郭照立，郑楚光，李青，等 流体动力学的格子 方法 武汉：湖北科学技术出版社，：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，：，计 算 物 理第 卷 ，（）：，（）：，（）：李梦军，戴厚平，魏雪丹，等 空间分数阶电报方程的格子 方法 应用数学和力学，（）：，（）：，：，（）：，（，）：（），：；：；：