格林函数在时域声学正反散射问题中的应用_李娜.pdf

第 43 卷 第 3 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.3 2023 年 3 月 Journal of Science of Teachers College and University Mar.2023 文章编号：1007-9831（2023）03-0026-05 格林函数在时域声学正反散射问题中的应用 李娜，陈博（中国民航大学 理学院，天津 300300）摘要：格林函数在时域声学正反散射问题的分析和求解中应用广泛，其性质研究对求解各类正反散射问题有重要意义在时域声学点源反演问题中，正问题解的表示包含波动算子格林函数和信号函数的卷积，在此基础上可以构造求解反问题的修正基本解方法和抽样法；在时域声学点状散射体反演问题中，正问题的解可以用格林函数近似表示，进而可以构造抽样法反演散射体的位置 关键词：格林函数；时域；散射问题；反散射问题 中图分类号：O241.8 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.03.006 Application of Greens function to acoustic scattering and inverse scattering problems in time domain LI Na，CHEN Bo（School of Science，Civil Aviation University of China，Tianjin 300300，China）AbstractAbstract：Greens function is widely used in the analysis of acoustic forward and inverse scattering problems in time domainThe study of the Greens function is of great significance for solving all kinds of scattering and inverse scattering problems In the reconstruction of time domain acoustic point sources，the representation of the solution to the forward problem depends on the time convolution of the Greens function and the signal functionOn this basis，the modified method of fundamental solutions and a sampling method can be constructed to solve the inverse problemsFor the reconstruction of a point-like scatterer in time domain，the solution of the forward scattering problem can be approximated by Greens function，and then the sampling method can be constructed to reconstruct the position of the point-like scatterer Key wordsKey words：Greens function；time domain；scattering problem；inverse scattering problem 散射和反散射问题作为经典的数学物理问题，一直以来受到了广泛的关注根据信号函数是否具有时谐特性，通常将正反散射问题分为频域问题和时域问题大类频域问题关心时谐或近似时谐的波场，其研究已较为完善1-2相对而言，时域问题的研究难度更大，这是由于对非时谐波的分析无法忽略时间变量的影响，其理论分析和数值求解都更加复杂尽管如此，时间相关的数据包含的信息量更为丰富，时域问题的描述也和事物的发展规律一致，更符合人们的直观认知，因此，近年来，越来越多的研究者开始关注时域正反散射问题的研究对于时域正散射问题，文献3-4详细阐述了时域位势函数和推迟势边界积分方程方法的相关理论，文献5给出了二维空间内时域积分方程的数值求解方案；对时域反散射问题，文献6-7 收稿日期：2022-10-04 基金项目：国家自然科学基金项目（12101603）；中国民航大学大学生创新创业训练计划项目（202210059085）；中央高校基本科研业务费项 目中国民航大学专项（3122021072）；中国民航大学国家自然科学基金配套专项（3122022PT19）作者简介：李娜（2002-），女，山西吕梁人，在读本科生E-mail： 通信作者：陈博（1990-），男，河南南阳人，副教授，博士，从事偏微分方程反问题数值解法研究E-mail： 第 3 期 李娜，等：格林函数在时域声学正反散射问题中的应用 27 给出了反演散射体的线性抽样法，文献8给出了反演散射体的直接抽样法；文献9-10给出了反演裂缝的线性抽样法，文献11给出了反演裂缝的迭代法；陈博12-13等给出了点源反演问题的修正基本解方法和点状散射体反演的直接抽样法这些时域正反散射问题的分析为散射问题的研究带来了新的启发，然而，时域问题的研究还远未充分，如对于三维时域障碍散射问题的数值求解，以及时域反散射问题的迭代法求解等方面的研究还较为匮乏，对各类时域问题，现有的研究方法也较为分散，没有建立起统一的理论体系 在此背景下，对于时域问题基础理论的分析意义重大，而在众多已有的研究成果中，格林函数发挥着至关重要的作用为了研究格林函数在时域声学正反散射问题中的应用，首先关注个时域问题：点源反演问题和点状散射体反演问题 对于点源反演问题，点源形成的入射场由格林函数和信号函数的卷积表示，因此，可以在此基础上建立修正基本解方法对多个固定点源进行反演；进而，当点源是一个移动点源时，修正基本解方法可以转化为一个简单的抽样法，实现对移动点源的反演当研究点状散射体反演问题时，考虑入射波为声波，正问题的解也可以使用格林函数来近似表示，进而可以借助近似解来构建求解反问题的抽样法 总而言之，波动算子格林函数是求解波动方程定解问题的经典工具，除了在点源和点状散射体反演问题中的应用之外，在其它各类时域声学正反散射问题的求解中都或多或少地发挥着作用本文以对时域正反散射问题的前期研究为基础，介绍反源问题和点状散射体反演问题与格林函数的关系，并总结格林函数在各类时域声学正反散射问题中的应用 1 反源问题 1.1 固定点源的反演 设3 R是一个有界凸的开区域，波场(),utx满足波动方程()()231(),Nttiiicuutat-=-=-RRxsx （1）式中：c为在均匀介质中的声速；正整数N为点源的个数；is为固定点源的位置；常数ia为点源的强度()0ia 同时，假设点源is是互不相同的，信号函数()t具有因果性，即当0t 为测量结束时间 本文从格林函数出发考虑反问题的解法，而格林函数的定义和基本解密切相关一个经典的反问题求解方法是基本解方法14，其思想是用基本解的线性组合来近似表示正问题的解然而，由于三维空间波动算子基本解中函数的奇性，基本解方法不再可行在这种背景下，考虑正问题解的格林函数表示式（3），可以使用格林函数和信号函数的时间卷积来代替基本解，构造修正基本解方法 修正基本解方法过程为：在包含源点is的抽样区域D中选取抽样点,1,2,jjM=z之后，通过求解方程()()m1,;,0,Mjjjc GtuttT=*=xzxx （4）得到未知系数jc，这里()m,0,uttTxx为已知的测量数据修正基本解方法的作用原理为：在28 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 理论上，如果抽样点包含了所有的源点，则在抽样点jz和某个源点is的位置重合时，可以求得=jica，即系数值恰好为该抽样点处源点的强度；当抽样点处无源点时，=0jc这样通过绘制jc在抽样区域上的值，可以定性地得出源点的分布，并估算源点的强度 1.2 移动点源的反演 对于移动点源问题，波场满足波动方程()()23()(),0,ttcuutttT-=-Rxsx 式中：()ts为0,T到区域3 R的光滑映射，用于表示移动点源轨迹和时间变量的对应关系，则点源移动的瞬时速度为d()()dttt=sv，0,tT，在移动点源问题中，初值条件依然可以由信号函数()t的因果性直接得出 正问题为：已知移动点源的移动轨迹和信号函数，求解移动点源形成的波场 当()tcv时，正问题的解仍然可以写成()()()()()()(),41utc=-xvxsxsxs （5）式中：满足()1tc-=-xs 反问题为：选取测量曲面m，根据在m上波场的测量数据，反演点源的移动轨迹 从修正基本解方法出发，构建移动点源的反演算法 由于点源的位置和时间变量相关，而求解方程（4）得到的系数jc并不随时间的变化而变化，修正基本解方法显然无法直接应用这时可以考虑对时间变量作分划，得到时间步,1,2,kTtkM=，对于每一个时刻kt，求解()()()m1,;,1,2,MjkkjkTjctGtutkM=*=xzxx 得到kt时刻各抽样点处点源强度的近似值这一方案理论上可行，但由于时间信号的复杂性，单一时刻的数据很难有效地反演出点源的位置 尽管移动点源因为源点随时间移动而更难反演，然而，在任意时刻，要反演的不再是多个点源，而是单个移动点源在此时刻的位置，这时，结合正问题解的表达式（5），可以证明()(),;kkGtt*xs为波场在kt时刻的值(),kutx的近似，由此定义指示函数()()()m,;,1,2,kkkTItGtutDkM=*-=zxzxz 式中：m为关于变量x的()2mL范数可以证明，在()kt=zs附近(),kItDzz取得最大值，可以由此反演此时移动点源所在的位置 2 点状散射体反演问题 在散射问题中，障碍散射问题是一类基础问题 对于时域障碍散射问题，通常将总场totu分为入射场iu和散射场su部分，考虑入射场为球面波()()()()10i3000,;,;,4tcutGtt-=*=-Rxxxxxxxxx0Rx 式中：0 x为点源所在位置；()t信号函数假定声软散射体占据空间区域3D R，并且散射体区域和点源是分离的，即30RxD，则散射场su满足齐次波动方程()2ss30,ttcuut-=Rx()D R （6）Dirichlet 边界条件()()()si,ututtD=-Rxxx （7）和零初值条件 第 3 期 李娜，等：格林函数在时域声学正反散射问题中的应用 29()()ss3,0,00,tuu=RxxxD （8）正问题为：已知入射场iu和散射体的位置3D R，由方程（6）（8）求解散射场su 障碍散射问题的求解也和格林函数密切相关，在格林函数的基础上，引入单层位势函数()()()()()3,:,;ds d,DDSLtGtt=-RRyxxyyxD R 此外，将位势函数在边界上的迹称为位势算子，则单层位势算子为()()()()(),:,;ds d,DDVtGttD=-RRyxxyyx 正问题的解可以用位势函数表示，即()()()()s3,DutSLtt=RxxxD R 这里密度函数为边界积分方程()()()i,DVtutD=-Rxx的解 反问题的基本思想是根据已知的散射场数据反演散射体的位置和形状需要注意的是，在反演散射体时，单独的一个方向的入射波得到的散射数据是不充分的，这时，由于散射体对波的遮挡，散射体背向源点的区域无法得到良好的反演因此，在反问题计算时，常常需要在一个入射曲面上多个点处分别入射时的散射数据设入射曲面为i，测量曲面为m，一般假设i和m均为包围散射体D且和散射体不交的闭 Lipschitz 曲线，在实际的数值计算中，可以选取im=反问题为：根据给定的