改进扩展等几何层合板孔洞边...强加Dirichlet约束_姜凯.pdf

第 50 卷 第 4 期2 0 2 3 年 4 月Vol.50，No.4Apr.2 0 2 3湖 南 大 学 学 报（自 然 科 学 版）Journal of Hunan University（Natural Sciences）改进扩展等几何层合板孔洞边界强加DirichletDirichlet约束姜凯，侯文彬（大连理工大学 工业装备结构分析国家重点实验室，辽宁 大连 116024）摘 要：为解决扩展等几何分析无法在三维层合板孔洞边界上直接强加Dirichlet约束条件，提出一种改进扩展等几何分析方法.改进扩展等几何分析方法是将扩展等几何分析与B+样条元法相结合来处理三维含孔层合板问题，孔洞剪裁单元相关的控制点转化成剪裁边界上的配点，这些配点满足Kronecker符号性质，从而便于在孔洞剪裁边界上直接强加约束条件.利用当前提出方法分析三明治平板和帽型梁层合板等算例，结果表明：改进扩展等几何分析方法计算的位移和应力等结果与有限元结果基本一致，并且该结果与实验方法获得的结果基本吻合.通过分析上述数值算例说明了改进扩展等几何分析方法处理三维含孔层合板问题的准确性和有效性.关键词：层合板；复合材料；计算力学；Dirichlet条件；扩展等几何分析；B+样条中图分类号：O34 文献标志码：AAn Enhanced XIGA with Imposition of Dirichlet Constraint for Laminate Holes BoundaryJIANG Kai，HOU Wenbin（State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）Abstract：To solve the difficulty that the Dirichlet constraint condition cannot be imposed directly for the extended isogeometric analysis（XIGA）on the boundaries of 3-D laminates with the holes，an enhanced XIGA was proposed.The enhanced XIGA is the combination of the XIGA and the B+splines method to deal with the 3-D laminate holes.The control points related to the holes trimmed elements are converted into the collocation points on the hole s boundaries.The Kronecker delta property is satisfied for these collocation points，which facilitates the direct imposition of constraints on the trimmed boundaries with holes.The proposed method is adopted to analyze the examples of the sandwich plate and hat beam laminate plate，and the result shows that the displacement and stress results calculated by the enhanced XIGA are consistent with those obtained by the FEM.The results coincide with the results obtained by the experimental method.With the above numerical examples，the accuracy and effectiveness of the enhanced XIGA to deal with the problems of 3-D laminates with holes are illustrated.Key words：laminate；composite materials；computational mechanics；Dirichlet condition；extended isogeometric analysis（XIGA）；B+splines 收稿日期：2022-04-30基金项目：国家自然科学基金联合基金重点项目（U21A20165），Key Project of National Natural Science Foundation of China（U21A20165）作者简介：姜凯（1991），男，山东德州人，大连理工大学博士研究生 通信联系人，E-mail：文章编号：1674-2974（2023）04-0097-08DOI：10.16339/ki.hdxbzkb.2023157湖南大学学报（自然科学版）2023 年碳纤维复合材料是实现汽车轻量化的重要材料之一，但是由于纤维复合材料本身具有较强的各向异性，因此开展纤维复合材料结构件力学性能研究具有重要的工程意义.当前工程结构件的力学分析方法除实验法外，仿真模拟是最直接且经济的方法.随着计算机技术的崛起，有限元商业仿真软件得到快速发展，为工程力学仿真分析提供了一种高效的数值计算方法1.然而，有限单元法采用“以平代曲”的网格划分是一种非精确的几何表达方式，为了弥补其不足之处，Hughes等2提出了等几何分析（Isogeometric Analysis，IGA）的思想，该方法真正实现了CAD与CAE的有机统一.但是，复合材料中纤维与树脂之间的界面是一种弱不连续性，在不同材料上网格划分通常需要考虑材料界面，这对于复杂模型而言，很难保证单元边界与双材料曲面重合.为了解决这一难题，1999年，Belytschko等3基于单元分解思想提出了扩展有限元方法，该方法极大地简化了复杂模型网格划分的难度.但是扩展有限元方法和有限元方法在CAE分析之前均需借助网格生成器对几何模型进行网格划分，显著降低了力学仿真的效率，为此，研究学者基于扩展有限元方法4的基本思想和等几何分析5的基本理论发展了扩展等几何分析6来处理强弱不连续问题.然而，对于复杂的三维含孔层合板结构模型，孔洞单元相关的控制点与孔洞剪裁边界并非一致，并且这些孔洞单元相关的 NURBS 基函数并不满足 Kronecker 符号性质，因此扩展等几何分析很难在三维层合板孔洞边界上直接强加 Dirichlet 约束条件.B+样条首先被 Zhu等7提出并应用于等几何分析中，成功解决了等几何分析在二维剪裁曲线上强加Dirichlet约束边界的问题.本文将扩展等几何分析与B+样条相结合来分析三维含孔洞层合板结构模型，有望实现在三维层合板孔洞边界上直接强加约束边界并实现对三维层合板结构的精确模拟.1 扩展等几何分析与B+样条1.1 扩展等几何分析扩展等几何分析借助扩展有限元方法的基本思想和等几何分析的基本理论发展起来，该方法处理强弱不连续问题的近似表达式如下：uh=IRIuI+JRJH()x dJ+LRL(x)dL（1）式中：uI是所有单元覆盖的控制点自由度；dJ表示贯穿单元支撑的控制点自由度；dL表示弱不连续（夹杂、双 材 料）界 面 单 元 相 关 的 控 制 点 自 由 度；RI、RJ、RL分别表示上述控制点支撑的 NURBS 基函数；H(x)是描述孔洞单元强不连续性的Heaviside函数8，其表达式如下：H(x)=1，孔外0，孔内（2）(x)是弱不连续问题中为了表示界面位置而引入的符号距离函数9：(x)=iRi(x)|(x)|-|iRi(x)()x|（3）其中，(x)表示水平集函数，对于特殊圆形夹杂界面，如图1所示，水平集函数通常定义如下：(x)=()x-x02+()y-y0212-r（4）1.2 B+样条B+样条的基本理论在本节作简单的描述，详见文献 7.如图2所示，NURBS单元可分为剪裁单元和非剪裁单元，对于该二维NURBS曲面可表示为：S(，)=i=1kRAi(，)PAi+j=1nRBj()，PBj（5）式中：RAi(，)表示非剪裁单元支撑的NURBS基函数；RBj(，)为剪裁单元覆盖的NURBS基函数.上述表达式可以简写成如下矩阵形式：S=RAPA+RBPB（6）式中：RA和RB分别表示非剪裁单元和剪裁单元相关的 NURBS基函数；PA和PB分别表示与非剪裁单元和剪裁单元相关的控制点.对于剪裁单元，通过构建恰当的转换矩阵T，可将剪裁单元相关的控制点PB转化成剪裁曲线上的配点PC和富集点PE，具体表达式如下：PB=T|PCPE（7）图1 水平集Fig.1 The level set98第 4 期姜凯等：改进扩展等几何层合板孔洞边界强加Dirichlet约束式中：PC和PE分别为m 1和(n-m)1矩阵；定义矩阵T=T1T2，T1和T2分别为n m和n(n-m)矩阵，式（7）可写为：PB=T1T2|PCPE=T1PC+T2PE（8）将式（8）代入式（6）可得：S=RAPA+RBT1PC+RBT2PE（9）基于等参单元思想，等几何分析使用 B+样条在位移域中的近似表达式如下7：uh=RAdA+RBT1dC+RBT2dE（10）式中：dA表示常规控制点自由度；dC为剪裁曲线上配点自由度；dE为剪裁单元上除配点外的富集点自由度.2 扩展等几何B+样条方法2.1 位移模式的构建根据式（1）位移表达式的构建模式，对该式重新组合成如下形式：uh=I()J LRIdI+JRJ()uJ+H()x dJ+LRL()uL+()x dL（11）对于含有孔洞的三维层合结构，为了在孔洞边界上实现约束边界直接强加，我们在孔洞单元和与孔洞单元相关的双材料界面单元的位移表达式中引入B+样条技术可得到如下形式：JRJ()uJ+H()x dJ=JoutRJoutdJout+JinRJindJin（12a）JoutRJoutdJout=RBoutT1outdCout+RBoutT2outdEout（12b）JinRJindJin=RBinT1indCin+RBinT2indEin（12c）LRL()uL+()x dL=RBiT1idCi+RBiT2idEi+RBiT1i(x)dB+L（12d）式中：RJout和RJin分别表示孔洞剪裁单元外部和内部区域支撑的 NURBS 基函数；RBoutT1out和RBinT1in分别为孔洞剪裁单元外部和内部区域由控制点转化而成的配点基函数；RBoutT2out和RBinT2in分别表示孔洞剪裁单元外部和内部区域由控制点转化而成的富集点基函数；RBiT1i和RBiT2i分别指的是孔洞单元相关的双材料界面单元转化到界面上的配点基函数和富集点基函数；dCout，dEout，dCin，dCin，dCi和dEi分别表示上述单元基函数所对应的自由度，附加配点自由度dB+L被引入来表征孔洞剪裁单元区域双材料界面的位置.整理式（10）可得如下表达式：RBT1dC=RBoutT1outdCout+RBinT1indCin+RBiT1idCi（13a）RBT2dE=RBoutT2outdEout+RBinT2indEin+RBiT2idEi（13b）结合式（11）、式（12）、式（13），可得到扩展等几何使用 B+样条方法处理强弱不连续问题的表达式：uh=RAdA+RBT1dC+RBT2dE+RBiT1i(x)dB+L+LRL(x)dL（14）2.2 相对估计误差为了证实提出方法的可行性，扩展等几何B+样条连续L2投影（CL2P）技术被用来模拟三维层