关于心灵、机器与真理的模态论证_薄谋.pdf

逻辑学研究2023 年第 1 期，8092文章编号：1674-3202(2023)-01-0080-13关于心灵、机器与真理的模态论证薄谋摘要：卢卡斯和彭罗斯认为，人们从哥德尔不完全性定理出发可以推断“心灵不能被机械化”的论题。这是一个强论断。弱论断是由哥德尔提出的。他认为从自己的不完全性定理出发，人们只能推断或者“心灵不能被机械化”成立或者“存在不可判定的数学命题”成立。该析取式论断等价于“如果理想化人类心灵是理想化有限机器，那么人们无法判定某些数学命题的真或假”。哥德尔建议人们从解决内涵悖论入手，证明反机械主义论题成立。科尔纳在机械主义论题上取得的成功，激发斯特恩尝试从可替代真理论出发，证明反机械主义论题成立。科尔纳表明斯特恩的论证无效。斯特恩尝试改进他的论证。我们也表明斯特恩的改进方案无效。斯特恩两次尝试均无法取得成功，这实际上源于人们无法认清楚理想化人类心灵概念即绝对可证明性概念。关键词：绝对可证明性；免类型真理论；数学真理；数学认知中图分类号：B81文献标识码：A哥德尔（G.Gdel）认为从他的不完全性定理出发，人们可以推断或者“心灵不能被机械化”成立，或者“存在不可判定的数学命题”成立。（7）霍斯滕（L.Hosten）等人把该结果称为“哥德尔析取式”。（9）彭罗斯（R.Penrose）认为从哥德尔不完全性定理出发，人们可以推断“心灵不能被机械化”成立。（18,19）科尔纳（P.Koellner）认为不管是“心灵不能被机械化”还是“存在不可判定的数学命题”都是不可判定的。（10,12,13）斯特恩（J.Stern）选择支持彭罗斯，但他要接受科尔纳的挑战。我们把斯特恩的论证分为第一次论证和第二次论证。（28,29）不管是第一次论证还是第二次论证，斯特恩的结论都支持彭罗斯的论断。科尔纳表明斯特恩第一次论证不成立。（11）在科尔纳的启发下，我们表明斯特恩第二次论证不成立。反思科尔纳和斯特恩两人的论证，我们的结论是在无法建立起意识科学的情况下，人们无法捕捉到绝对可证明性的真正含义。收稿日期：2022-07-31；修订日期：2022-09-23作者信息：薄谋兰州大学哲学社会学院基金项目：国家社科基金一般项目“算术与集合的实在论解释”（22BZX128）。薄谋关于心灵、机器与真理的模态论证811斯特恩第一次论证反机械主义论题斯特恩既支持哥德尔的观点，又支持彭罗斯等人的观点。他采取的策略如下：首先，形式化机械主义；其次，解决语义和内涵悖论。在此基础上，斯特恩尝试表明心灵不是机器的论题。斯特恩把哥德尔析取式论题转化为条件句：如果心灵是机器，那么存在人类心灵既不能证明为真又不能证明为假的语句。换句话说，如果人类心灵是机器，那么存在绝对不可判定的语句。科尔纳表明从哥德尔不完全性定理出发，人们确实能得到哥德尔析取式论题，但无论如何得不到第一个析取支。彭罗斯特别重视绝对可证明性概念。科尔纳把可证明性分为相对可证明性与绝对可证明性。绝对可证明性表达的正是人类心灵产生数学定理的过程。由此，斯特恩把心灵是否是机器的问题，转化为绝对可证明语句能否由能行算法生成的问题。彭罗斯的新论证似乎找到代表绝对可证明性的可行性假设，不过科尔纳表明这些假设是联合不协调的（jointly inconsistent），它们会导致内涵悖论。斯特恩的内涵悖论解决方案的特点在于，首先把内涵悖论同语义悖论联系起来，其次假设真悖论是所有这些悖论的来源。由此，斯特恩认为选择哪种真理论至关重要。他选择的真理论是克里普克费弗曼（KripkeFeferman）真理论，也被称为费弗曼莫德林（FefermanMaudlin）真理论。（3,15）斯特恩认为，如果克里普克费弗曼真理论是真悖论的解决方案，那么在形式化心灵不是机器的论题的前提下，人们就能证明该论题成立。（29）根据麦希尔（J.Myhill）和蒙塔古（R.Montague）的结果，如果人们把模态概念和内涵概念当作谓词处理，那么就会出现悖论。（16,17）如果人们把绝对可证明性概念当作谓词处理，那么也会出现悖论。如果人们用语句谓词 K 形式化绝对可证明性的两个构成性原则，那么它们是联合不协调的。它们分别是隐真原则和必然原则。前者说的是如果 K，那么。后者说的是如果 是定理，那么 K 是定理。导致悖论的原因在于两条原则隐性地假设素朴真谓词。为解决悖论人们需要显性地引入真谓词。人们需要用非素朴真谓词替换素朴真谓词，以便 和 T 不再互换。1对两条原则改造的结果就是两条新原则：首先是显真原则，说的是对所有语句而言，如果某个语句是绝对可证明的，那么它是真的；其次是真必然原则，说的是如果 T 是定理，那么 K 也是定理。悖论是否出现仅仅取决于人们采用何种真理论。斯特恩认为，如果人们采用的真理论是协调的，那么绝对证真理论也是协调的，不会再出现内涵悖论。我们把由此产生的策略称为内涵真策略：第一种策略是科尔纳策略；第二种策略是斯特恩策略。他们的共同点在于通过把内涵概念与非素朴真概念联系起来，从而解决内涵悖论。1真原则说的就是，如果某个哥德尔语句是绝对可证明的，那么它是真的。82逻辑学研究第 16 卷 第 1 期 2023 年科尔纳把真理论分为类型化（typed）真理论与免类型（type-free）真理论，与之对应的是，斯特恩把真理论分为素朴真理论与非素朴真理论。科尔纳使用内涵真策略有两个目的：首先解决内涵悖论；其次判定反机械主义论题是否有效。科尔纳表明，如果人们采用费弗曼的确定真理论，那么反机械主义论题将不会取得成功。这是因为机械主义论题与确定真理论是协调的。科尔纳实际上表明机械主义论题是独立的，说的是人们既不能证明它为真，又不能证明它为假。在科尔纳的启发下，斯特恩使用克里普克费弗曼真理论替代费弗曼的确定真理论，以检验反机械主义论题是否成立。斯特恩采用克里普克费弗曼真理论中的两条原则：首先是真谓词析取分配原则；其次是真消除原则。斯特恩把通过显真原则、真谓词析取分配原则和真消除原则扩张皮亚诺算术的理论，称为绝对证真理论。2也就是说，绝对证真理论是由皮亚诺算术、显真原则、真谓词析取分配原则和真消除原则构成的。绝对证真理论的优势在于它是协调的。人们能从克里普克费弗曼真理论的协调性，推出绝对证真理论的协调性。（29，第 84 页）我们来看机械主义论题经历的演变。首先，在卢卡斯彭罗斯论证框架下，机械主义论题说的是，理想化人类心灵能证明的数学定理是由能行程序生成的。其次，如果人们用“图灵机”替换“机器”，那么机械主义论题说的是，理想化人类心灵能产生的定理是图灵机的输出。再次，如果人们启用绝对可证明性概念，机械主义论题说的是人们能递归枚举绝对可证明语句集。换句话说，存在能证明所有绝对可证明语句的显性公理与规则系统。反机械主义论题说的是，不存在能证明所有绝对可证明语句的显性公理与规则系统。最后，系统是由逻辑定律的地位决定的。斯特恩把自己的立场称为正统逻辑，说的是如果人们采用经典逻辑，那么所有经典逻辑真在选定系统中都是可证明的，不管它是何种系统。斯特恩把科尔纳的立场称为非正统逻辑，说的是逻辑没有特殊地位，人们不能假设某一门特殊逻辑的逻辑真在每个形式系统中是可证明的。（29，第 8485 页）斯特恩选用正统立场且把经典逻辑当作他的逻辑。由此，机械主义论题说的是，人们能在经典逻辑中从递归语句集出发证明绝对可证明语句。我们来看斯特恩的句法规定。他使用 K 表示绝对可证明性，并且使用 表示理论 T 的递归公理集，同时使用 表示 的自然表示，而且使用 Pr表示 T 的自然可证明性谓词。斯特恩把机械主义论题表示为 x(Kx Pr(x)，说的是所有绝对可证明语句都是递归可枚举的。他把反机械主义论题表示为 x(Kx Pr(x)，说的是并非所有绝对可证明语句都是递归可枚举的。斯特恩使用归谬法证明反机械主义论题。他首先假设 x(Kx Pr(x)，其2我们把斯特恩的“真与绝对可证明性理论”简称为“绝对证真理论”，其他人的理论继续称为“真与绝对可证明性理论”。薄谋关于心灵、机器与真理的模态论证83次从假设出发推出矛盾。3然而，在绝对证真理论中，人们不能表明机械主义论题是假的，也就是说，人们无法表明反机械主义论题是真的。根据克里普克，机械主义论题是无根语句（an ungrounded sentence，14）。既非机械主义论题，又非反机械主义论题，在绝对证真理论中能被证明为真。这种情况表明，在克里普克费弗曼真理论中，可证明性与真两者相分离，实际上可证明性远超真。2科尔纳表明斯特恩第一次论证无效科尔纳认为斯特恩的论证无效。他的基本判断是，从哥德尔思考反机械主义论题开始，历经长时期的发展，人们不可能如此轻易地证出难度如此大的问题。事实上科尔纳对斯特恩的反驳有效。科尔纳也承认斯特恩对能否解决该问题持谨慎态度。科尔纳曾经证明在费弗曼的确定真理论下彭罗斯的新论证无效。（10,13）换句话说，在确定真理论下，机械主义论题有效，而反机械主义论题无效。科尔纳对反机械主义者提出的挑战在于，为人们能证明反机械主义论题，找到可行的真与绝对可证明免类型理论。（11）斯特恩持反机械主义立场，他接受了科尔纳的挑战。斯特恩论证是卢卡斯彭罗斯论证的延续，我们可以称之为卢卡斯彭罗斯斯特恩论证。为了得到同科尔纳相反的结论，斯特恩需要对科尔纳论证进行改造。他的改造分两步进行：首先，他用克里普克费弗曼真理论取代确定真理论；其次，他用新反机械主义论题取代科尔纳的旧反机械主义论题。科尔纳认为斯特恩的形式论证是正确的。问题可能出在两个地方。科尔纳的分析如下：首先，他认为用一种免类型真理论取代另一种免类型真理论，不会引起麻烦；其次，他认为斯特恩的问题出在用新反机械主义论题取代旧反机械主义论题。（11）关于第一点，科尔纳和斯特恩都注意到人们不能有 K()，因为由此人们会推出 T()，这说的是不确定语句是真的，会导致矛盾。两人的解决办法都是修改原系统使得 K 仅仅对确定语句成立。反机械主义论题，不管在科尔纳系统，还是在斯特恩系统都是可证明的。这从而说明，反机械主义论题从一个系统转移到另一个系统保持不变。关于第二点，他们得到的结果不同。科尔纳得到的结果是，旧反机械主义论题是独立的，而斯特恩得到的结果是，新反机械主义论题是可证明的。科尔纳和斯特恩达成的共识是绝对可证明性仅仅对确定语句成立，而对不确定语句不成立。问题出在斯特恩的新机械主义论题上，因为它仅3证明：使用反证法。假设 x(Kx Pr(x)。根据显真原则，人们有 y(Pr(x)T(y)。根据全称例化，人们有 Pr()T()。由于 是重言式，人们有 Pr()。使用假言推理，人们有 T()。根据真谓词析取分配原则，人们有 T T。根据说谎者语句，左析取支等价于。根据真消除原则，右析取支也等价于。根据说谎者语句，人们有 T。根据真消除原则人们有。与 矛盾！84逻辑学研究第 16 卷 第 1 期 2023 年仅考虑能输出所有一阶经典有效式的系统，而不确定语句就属于它们。包含不确定语句在内的系统，当然无法模仿绝对可证明性，因为绝对可证明性对任意的不确定命题都无效。科尔纳对斯特恩的最终判定有两点：首先，在用克里普克费弗曼真理论替代确定真理论的前提下，且用新机械主义论题替代旧机械主义论题的前提下，斯特恩得到心灵不是机器的结论，实际上这个结果很弱；其次，由于斯特恩的新机械主义论题包含不确定语句，最终导致他的结论无效。因此，科尔纳认为，人们需要继续寻找能证明反机械主义论题的可行免类型绝对证真理论。（11）3斯特恩第二次论证反机械主义论题斯特恩关注彭罗斯的新论证（Penroses New Argument），而且研究人们在使用真与绝对可证明性理论的情况下，能否以可靠的和连贯的方式形式化彭罗斯的新论证的问题。斯特恩分两步展开他的论证。首先他表明不存在形式化彭罗斯的新论证的协调理论。4其次他考虑彭罗斯的整体策略且提供合理的绝对证真理论，以表明彭罗斯的新论证是可靠的论证。然而，由于彭罗斯的新论证依赖理论的病态（pathological）特征，他的论证在直观上无法实现。5斯特恩把哥德尔析取式论题重述为