关于n个数的和与其倒数的和的积的不等式_杨学枝.pdf

关于n个数的和与其倒数的和的积的不等式杨学枝(福建省福州市第二十四中学 3 5 0 0 1 5)以 下 三 个 有 趣 的 问 题 都 是 有 关ni=1aini=11ai(其中a1,a2,an R+)的不等式.问题11 设 aiR+,i=1,2,n,n2,则ni=1aini=11ai-n2 n-1()1ijn(ai-aj)21ijnaiaj,当且仅当n=2,或当n3,a1=a2=an时取等号.问题2(杨学枝,2 0 2 1.0 9.0 9提出)设a1,a2,an R+,n2,则 ni=1aini=11ai-n2 2n-11ijn(ai-aj)2ni=1a2i,当且仅当a1=a2=an,或a1,a2,an中有n-1个都等于另外一个的1n-1时取等号.问题2来源于以下:问题32(P h a m K i m H u n g,M a t h l i n k s)设a1,a2,an是和为n的正实数,证明:1a1+1a2+1an+2 2na21+a22+a2n n+2 2.原书给出了一种证明,但没有指明n3这个条件,实际上,当n=2时有反例,如a1=23,a2=43时,问题3中的不等式反号.笔者在探讨对问题3的证明时发现了较问题2中的不等式更强的以下不等式(ni=1ai)(ni=11ai)+2n-1(ni=1ai)2ni=1a2i n2+2n n-1,上述不等式经变形即为问题2中的不等式.问题43 设a1,a2,an R+,n2,则 ni=1aini=11ai-n2 4(n-1)1ijn(ai-aj)2(ni=1ai)2,当且仅当a1=a2=an,或a1,a2,an中有n-1个都等于另外一个的1n-1时取等号.问题4是2 0 0 7年5月1 0日福建陈胜利老师提出的一个猜想.以上问题1、问题2、问题4中的三个不等式不分强弱.在研究上述问题1、问题2、问题4的证明中,笔者得到了更为一般的以下结论:命题 设a1,a2,an R+,n2,则 ni=1aini=11ai-n2 1i-1n,4(n-1)(2+n u+u)=1.为证明命题,先给出以下引理.引理 设a1,a2,an R+(n2),设 1ijn(ai-aj)2(n-1)(ni=1ai)2=x,0 x1,则ni=1aink=11ain21+(n-2)x(1-x)1+(n-1)x;或ni=1aink=11ai-n2n2(n-1)x(1-x)1+(n-1)x.当且仅当n=2,或当n3且a1,a2,an中除ak外其余n-1个都相等时取等号.证明 由x=1 ijn(ai-aj)2(n-1)(ni=1ai)2=nni=1a2i-(ni=1ai)2(n-1)(ni=1ai)2,0 x1,得到ni=1a2i=1+(n-1)xn(ni=1ai)2,由柯西不等式有(ni=1ai-ak)2=(ikai)2(n-1)ika2i=(n-1)ni=1a2i-a2k=(n-1)1+(n-1)xn(ni=1ai)2-a2k|,即(n ak-ni=1ai)2(n-1)2(ni=1ai)2x,由此得到ak1+(n-1)xn(ni=1ai),当且仅当a1,a2,an中,除ak外其余n-1个都相等时取等号.另外,再由柯西不等式有 nk=11+(n-1)xn(ni=1ai)-akak1+(n-1)xni=1ai-ni=1ai2nk=1ak1+(n-1)xnni=1ai-ak|=(n-1)xni=1ai21+(n-1)xn(ni=1ai)2-ni=1a2i=(n-1)x21+(n-1)xn-ni=1a2i(ni=1ai)2=n(n-1)x1-x,即 nk=11+(n-1)xnni=1aiak n+n(n-1)x1-x =n+n(n-2)x1-x,于是得到 ni=1aink=11ai n21+(n-2)x(1-x)1+(n-1)x,即 ni=1aink=11ai-n2 n2(n-1)x(1-x)1+(n-1)x.引理获证.45数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期易知当n=2时,引理中的不等式为等式.当n3时,由引理中的证明过程易知,当且仅当a1=a2=an,或a1,a2,an中有n-1个都等于a,另一个不同的记为ak,aak,且在满足题设条件下有a=2n(n-1)+3n-4(n-1)(2n-n+4)ak,或a=2(n-1)+1(n-1)(2+1)ak时取等号.命题证明 当a1=a2=an时,原命题显然成立.当a1,a2,an不全相等时,同引理中所设,命题中的不等式的右边1 ijn(ai-aj)2ni=1a2i+u(ni=1ai)2=1ni=1a2i1 ijn(ai-aj)2+u(ni=1ai)21 i0,且已知4(n-1)(2+u n+u)-1=0,因此,式(*)成立.故命题获证.由引理中的不等式取等号条件以及对命题的证明过程可以得到,当且仅当a1=a2=an,或a1,a2,an中有n-1个都等于a,另一个不同的记为ak,aak,且在满足题设条件下有a=2n(n-1)+3n-4(n-1)(2n-n+4)ak,或a=2(n-1)+1(n-1)(2+1)ak时取等号(详细证明从略).由上面对命题的证明可知,若,u满足4(n-1)(2+n u+u)1,命题中的不等式也成立.若在命题中,取满足命题题设条件的适当的,u值,便可得到一系列有关ni=1aink=11ai-n2的不等式.下面分别用命题中的不等式来证明本文开头提出的问题1、问题2(问题3的加强)和问题4.问题1证明 在命题中取=-12(n-1),u=12(n-1),这时满足题设条件-1n,4(n-1)(2+n u+u)=1,将=-12(n-1),u=12(n-1)代入命题中的不等式的右边,即得到问题1中的不等式.容易验证n=2,或a1=a2=an时,问题1中的不等式取等号.n3,且a1,a2,an中除ak外其余n-1个都等于a时,a=2n(n-1)+3n-4(n-1)(2n-n+4)ak,或a=2(n-1)+1(n-1)(2+1)ak都不满足题设条件.故当且仅当n=2,或a1=a2=an时,问题1中的不等式取等号.552 0 2 3年 第6 2卷 第2期 数学通报问题2证明 在命题中取u=0,=12n-1,这时满足题设条件-1n,4(n-1)(2+n u+u)=1,将u=0,=12n-1代入命题中的不等式的右边,即得到问题2中的不等式.易知当且仅当a1=a2=an时,问题2中的不等式取等号;另外,当a1,a2,an中除ak外其余n-1个都等于a,且a=2n(n-1)+3n-4(n-1)(2n-n+4)ak=n n-1+3n-4n n-1-(n-1)(n-4)ak,或a=2(n-1)+1(n-1)(2+1)ak=1n-1ak,经验证,a=n n-1+3n-4n n-1-(n-1)(n-4)ak时不满足问题2中的不等式的取等条件,a=1n-1ak时满足问题2中的不等式的取等条件.故当且仅当a1=a2=an,或a1,a2,an中除ak外其余n-1个都等于a,且a=1n-1ak时,问题2 中的不等式取等号.问题4证明 在命题中取=0,u=14(n-1),这时满足题设条件-1n,4(n-1)(2+n u+u)=1,将=0,u=14(n-1)代入命题中的不等式的右边,即得到问题4中的不等式.易知当且仅当a1=a2=an时,问题4中的不等式取等号;另外,当a1,a2,an中除ak外其余n-1个都等于a,且a=2n(n-1)+3n-4(n-1)(2n-n+4)ak=-3n-4(n-1)(n-4)ak,或a=2(n-1)+1(n-1)(2+1)ak=1n-1ak,经验证,a=-3n-4(n-1)(n-4)ak时不满足问题4中的不等式的取等条件,a=1n-1ak时满足问题4中的不等式的取等条件.故且仅当且仅当a1=a2=an,或a1,a2,an中除ak外其余n-1个都等于a,且a=1n-1ak时,问题4中的不等式取等号.除上述三个问题外,若另取其他一些满足命题条件的,u值,还可以得到一些不等式.读者不妨尝试.参考文献1 杨学枝.数学奥林匹克不等式研究M.2版.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2 0 2 0:1 92 越南 范建雄.不等式的秘密(第二卷)高级不等式M.隋振林,译.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2 0 1 4:2 53 杨学枝.数学奥林匹克不等式研究M.哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2 0 0 9:1 9 6(上接第5 2页)5 邵 铭 宇,苏 航.信 息 技 术 支 持 真 实 情 景 中 的 数 学 建 模 教学 来自德 国 的 经 验 J.比 较 教 育 学 报,2 0 2 1(0 5):1 5 7-1 7 66 梁贯成.数学建模教学与评估指南M.上海:上海大学出版社,2 0 1 7:1 5-1 67 李明振,喻平.高中数学建模课程实施的背景、问题与对策J.数学通报,2 0 0 8,4 7(1 1):8-1 0+1 48 封平华,李明振.高中数学建模教学策略研究J.教学与管理,2 0 1 3(2 4):1 2 7-1 2 99 王少华,张凤霖,杨璐铨,关志伟.基于制动痕迹的交通事故车速鉴 定 方 法 J.天 津 职 业 技 术 师 范 大 学 学 报,2 0 1 5,2 5(0 3):3 5-3 865数学通报 2 0 2 3年 第6 2卷 第2期