华罗庚的矩阵情结与矩阵“打洞”技术的应用_晏瑜敏.pdf

第 卷 第 期北华大学学报（自然科学版）年 月 （）文章编号：（）：华罗庚的矩阵情结与矩阵“打洞”技术的应用晏瑜敏，刘艳芳，杨忠鹏，林志兴，陈智雄，陈梅香，（应用数学福建省高校重点实验室（莆田学院），福建 莆田；金融数学福建省高校重点实验室（莆田学院），福建 莆田；闽南师范大学数学与统计学院，福建 漳州）摘要：在回顾华罗庚的数学研究与其一生的矩阵情结的关系的基础上，重点探讨了极具中国传统文化特色的矩阵打洞技术对矩阵理论研究与教学的深刻影响注意到矩阵打洞技术在近年来考研试题的广泛应用，指出“打洞”的反向 “补洞”技术是解决一些难题的强有力工具将打洞与补洞有机结合，对全面理解运用华罗庚学派的矩阵理论及应用是很有意义的关键词：华罗庚；矩阵；矩阵打洞；矩阵补洞；分块初等变换中图分类号：文献标志码：收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）；福建省自然科学基金项目（，）；莆田市科技局项目（）；福建省教育改革项目（）；莆田学院教改项目（）作者简介：晏瑜敏（），女，副教授，主要从事代数及其应用研究，：；通信作者：杨忠鹏（），男，教授，主要从事矩阵理论及其应用研究，：“”，（），；（），；，）：，“”“”“”“”：；华罗庚的矩阵情结华罗庚（）是被学界公认的新中国数学的奠基人，是 年被认定的“位新中国成立以来感动中国人物”，是蜚声中外的数学家在中国的广袤土地上，到处都留有他推广优选法与统筹法的艰辛足迹，不愧被誉为“人民的数学家”华罗庚先生“在学术上洞察之深、选材之妙、加工之巧、表达之神，确为深入浅出之典范、造诣精深之楷模，足以堪称是世界上伟大的数学家”华罗庚在解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多复变函数论、偏微分方程、高维数值积分和应用数学等领域均取得具有世界影响的杰出成就华罗庚曾说：“国外把我说（骂）成是玩矩阵的魔鬼，表面上你看我搞的多复变函数、偏微分方程，实际上骨子里还是我的矩阵技巧”作为华罗庚的学生兼助教的著名数学家徐利治先生回忆说：“华先生很重视做学问需要有看家工夫，据华罗庚所说，他的扎实的看家工夫，主要来源于三部经典著作：一是克里斯托尔（）的代数学，二是兰道（）的数论教程（三大卷），三是特恩波尔（）与爱德肯（）合著的标准矩阵论，而标准矩阵论虽是一本薄薄的书，却是帮助他后来完成矩阵几何和复分析的巨大研究成果的基本工具”“华先生操作矩阵运算就像是摆弄普通数字那样得心应手，因而能顺捷地得到了矩阵几何等方面的一系列极为优美的构造性成果，而为数学界所称道”年考进中国科技大学数学专业的冯克勤教授，做了两年的华罗庚的研究生，他回忆说道：“华罗庚多次对我们讲，他花了整整两年去念了 的群表示论一书，一直到他认为真正念懂了，并且化成了自己的语言 矩阵，然后将其作为工具研究多复变函数，写了典型域上调和分析一书”“华罗庚用纯熟的矩阵为工具，使他在数学的多个领域中都取得国际水平的成就，并使研究工作有他自己的特点”华罗庚主持的一个“不等式”讨论班，大家共同讨论 当时刚出版的一本关于不等式的书在讨论班第一次课上，他说：“我叫你们念这本书是因为我不认为这本书写得很好”他认为，用他精湛的矩阵技巧可以更系统地整理此书中许多矩阵不等式，将其归结于少数几个手段，使书中的内容看起来非常简单王元教授谈到华罗庚的深厚的矩阵功底时说：“虽然他已是著名的数论学家，但仍然结束了数论研究，另起炉灶，将矩阵几何、自守函数、典型群与多复变函数论放在一起研究，目标为将代数学与函数论的一些经典结果推广到矩阵空间这一研究是将矩阵看成点的推广，需要不同的工具与方法这就使他的数学研究出现了新局面”年春，年少的华罗庚在上海科学杂志上发表的苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由轰动数学界华罗庚在文章中指出苏的论文有一个 阶行列式计算错了同年，清华大学数学系主任熊庆来了解到华罗庚的自学经历和数学才华后，打破常规，让华罗庚进入清华大学图书馆担任馆员综上可见，华罗庚对矩阵理论及其方法，有着惊人的透彻的把握、巧妙准确的应用能力他与矩阵有着长久深厚的情结，由此形成了独具特性的研究方法正如文献说“矩阵技巧是华罗庚学派的基本手法和招数之一”矩阵理论虽然不是华罗庚的主要研究领域，但他纯熟的手法、透彻的直觉，把矩阵理论及方法应用到了极致当然，他也在矩阵理论上有过贡献在多复变分析的研究中，华罗庚（年）发现了一个矩阵恒等式，在此基础上，他给出了一个行列式不等式这个结果最先发表在国内的数学学报，英文稿 年发表在 文章一发表就引起矩阵界的极大关注著名数学家陈省身很快给出了高度的评价，等线性代数界名家介入了进一步的研究，因此也被称为“”至今 多年，该不等式仍然是被关注的热点研究问题（见文献，），这是很少见的现象华罗庚不顾年老，在一生的最后三年时间里，以矩阵的特征值为基本工具，完成了经济领域最优化理论（见文献），这些成果一直被当代人继续研究（见文献）如同冯克勤教授所说：“这一切表示出华罗庚的数学研究有一种鲜明的个性，具有从庞杂中看透本质的深刻洞察能力和一种数学大家的风范，体现着勇攀高峰的强烈创新精神这种风格深深地影响了下几代而形成中国学派”这其中华罗庚对矩阵的情结和熟练运用是一个重要的组成部分 华罗庚与矩阵打洞技术华罗庚又是一位优秀的教育家 年中国科技大学成立，华罗庚亲手创办了数学系，他是中国科学技术大学的数学系首任主任，给大学生上专业基础课现任中国科学院院长、原任中国科技大学校长侯建国说道：“建校初期，华罗庚、吴有训、严济慈等老一辈科学家、教育家就身体力行，亲身为本科生讲授基础课他们以渊博的学识、精湛的讲课艺术、高尚的师德，带出一批又一批杰出的年轻教员，培养了一届又北华大学学报（自然科学版）第 卷一届优秀学生”华罗庚的教学风格和方法，不仅使学生终身受益，而且具有鲜明的独特个性，给中国的大学基础课教学留下了宝贵的财富，其中矩阵打洞技术就是重要内容之一华罗庚的助教李炯生教授在文献中明确指出“所谓矩阵打洞是指，把矩阵分块，然后经过适当地变换，使所得到的矩阵在某些指定的块为零子矩阵”许以超教授说：“打洞是矩阵计算中的最基本的技巧”由于华罗庚及其弟子的辛勤努力，特别是华罗庚的深厚的中国传统文化底蕴，数学人将在中国民间流传已久的“龙生龙，凤生凤，老鼠的儿子会打洞”俗语，改造成形象生动、易懂易记的“龙生龙，凤生凤，华罗庚的弟子会打洞”口诀式的说法经过几代人的实践和交流，矩阵打洞技术已在中国的线性代数研究和教学中有了响亮的名称，已成为具有中国特色的矩阵技术这和华罗庚对矩阵深厚的把握能力有着密切的关系本文约定 为任意数域，与分别为复数域、实数域，为 上 阶矩阵集合，（）为（阶）单位矩阵分别记 上矩阵 的秩、转置、行列式及最小多项式为（）、（）为 上 维列向量的集合设 为 正交矩阵的集合，记 命题 设 可逆，（），（），（）（），则有|，|，|命题 即 公式是四分块矩阵的初等变换基本形式徐利治教授主编的大学数学解题诠释 的第篇线性代数 是由李炯生教授编写的，用节共个印刷页的篇幅（其中第 节矩阵打洞与行列式计算，第 节矩阵打洞与矩阵的秩），不仅给出了矩阵打洞的理论依据（见命题），而且分别以例 、例 为例具体展示“矩阵打洞是线性代数和矩阵论中一种重要的技巧，不论在解题或者证明定理时都有着广泛应用”这是文献 的进一步扩展文献，等表明，矩阵“打洞”技巧在高等代数、线性代数的教与学中起着重要作用文献 显示了矩阵打洞在学术研究中的价值上述文献的矩阵打洞方法均以四分块矩阵为主实际上矩阵打洞对任意分块矩阵也是有用的工具 和 给出了三个幂等矩阵和的秩等式，并且指出（）个幂等矩阵和的秩等式是一个公开问题；文献 应用任意分块矩阵的打洞方法得到的命题，对公开问题的解决起了重要作用命题 设 ，则有 （）（），|（）（）（）证明：设|，|，则有 ，（）由式（）可知，（）（），由此知式（）成立证毕第 期晏瑜敏，等：华罗庚的矩阵情结与矩阵“打洞”技术的应用后继的文献 沿用命题 及其矩阵打洞技术，得到了三幂等矩阵的相近结果矩阵打洞及其在考研试题中的应用近年来与矩阵打洞技巧相关的题目在硕士研究生入学试题中经常可见例 ）（年中国科学院大学）设、，则 ）（年武汉大学）证明|可逆的充要条件是 可逆；）若|可逆，求出|的逆）（年湖南大学）设 ，若 正定，则 正定且 ）（年厦门大学）设、，且 ，试证明（）（）（）（年南开大学）设，为实正定矩阵，对任意 ，求|）（年北京大学）若 可逆，证明；）若 不可逆，结论是否成立？）如果 可逆，不成立，结论如何？由命题 和|可得）从|知|可 逆 当 且 仅 当、都 可 逆，由（）|易得）要求的逆矩阵由|和 正定，知 正定且）成立由）知 （），（），（），可对|打洞得（，）；从|（）（）（）（）得）成立从对|合同打洞得（，），可得）的结论|（）（）由|可得（）（）；由）证明没有涉及到的可逆性知，只要，就有）的）成立；设|，|，知）的）未必成立例 求下列矩阵的行列式（分别是 年南京大学、年兰州大学、年中国科学院大学、年上海交通大学、年上海大学、年福州大学考研试题）|，|，北华大学学报（自然科学版）第 卷|令 （，），则 ；由|，|得 设 ，()，（，），得 （）（），（）且 由命题 可知|，|，这样（）（）（）（）设 ，其中，|，|由|，|得 例 涉及的行列式结构虽然相近，但结果有较大差别，但都可用矩阵打洞的方法来解决下面的命题 在目前教材上不太常见，也是 年福州大学考研试题文献 给出的证法是有代表性的，文献 的挑战题即为其变形 文献 基本上要用到目前多数教材没有涉及到的 公式命题 设为秩为的阶实对称矩阵，证明：）有阶主子式不为零；）的阶非零主子式皆同号证明：）设 （，），由 ()可设，为 的列向量组的极大无关组，通过对的列的初等变换，即有可逆矩阵 使得 （，），再设|，是由 的第，行与列构成的 阶主子矩阵注意 是对称的，可得 （，），（）（），（）若 是由 的第，行与列构成的 的 阶主子矩阵，类似知有 （，），()()，可逆（）由式（）（）知、合同，因此 与 是同号的证毕命题虽然不能像命题、例和例那样写出打洞所用的广义初等矩阵，但是可能比文献第 期晏瑜敏，等：华罗庚的矩阵情结与矩阵“打洞”技术的应用解答要直观些与矩阵打洞技术相关的考研题目的多样性，表明这个矩阵方法应用的广泛前景当然，相对于矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的等价、矩阵的合同、矩阵的相似等不同的要求，选择适当的打洞时用到的广义初等矩阵是重要的矩阵补洞及其应用命题 设 可逆，则|，|由命题 和分块矩阵初等变换的逆矩阵性质容易证明命题 的结论文献，等基本遵循命题，用初等变换得“有洞”的分块矩阵由于初等变换是可逆的，所以也可对“有洞”的分块矩阵用命题 进行“补洞”命题 是“补洞”的理论依据，在具体实施中可能难度要比直接“打洞”高一些，怎样选择、是关键命题 设 ，、且 ，则（）（）（）（）（）（），（）证明：设广义初等矩阵|，（）|，|，（）|，由|（）（）（）|即知式（）成立由（）（）（）即有式（）成立证毕如何应用矩阵补洞技术，近年来考研试题也出现了不少相关的题目例 （年中国科学院大学、年北京工业大学试题）若 且 ，则（）与（）满足什么关系？）设，且 证明（）（）且可对角化，同时可以表示成两个可逆的实对称矩阵的乘积从 （）（）和式（）、（）知（）（）由 （）（），应用式（）、（）知（）（）从（）（）知（）无重根，因此 可对角化，即有 使得 （，），（）由 （）（，），都是可逆的实对称矩阵且 这就是）要求的结论当 阶矩阵 时，有熟的知秩等式（）（）；当 时，（）（），在近年的考研试题中，有了更高要求的趋势例 年华中师范大学、年兰州大学、年上海大学、年上海交通大学考研试题，都是对 阶方阵 设计的，分别要求：）若，则 当且仅当（）（）；）证明 满足 的充要条件是（）（）；）证明 当且仅当（）（）；）证明 （）（）北华大学学报（自然科学版）第 卷分别从 （），（）（），（）（），（）（），由式（）、（）就可得相应结论作为命题 的应用，可给出很有用的正交矩阵的性质命题 设 的正、负实特征值