现代微分几何.pdf

工业和信息化部“十二五”规划教材 工业和信息化部“十二五”规划教材 高等院校精品教材系列 现代微分几何 孙和军 赵培标 编著 内 容 简 介 本书是“工业和信息化部十二五规划教材”。本书针对理工科学生的特点和人才培养的需要编写，体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。全书共6章，主要内容包括：曲线与曲面论，张量代数和外形式，微分流形，切向量场、单参数变换群与切丛，张量场、黎曼流形与列维-齐维塔联络，流形上的积分、微分算子和德拉姆上同调。本书提供配套电子课件、MATLAB程序代码等。本书可供理工科高等学校的数学、计算机设计、图形处理、物理等专业的研究生和高年级本科生作为学习现代微分几何、微分流形课程的教材使用，也可供数学工作者参考使用。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 现代微分几何/孙和军，赵培标编著.北京：电子工业出版社，2015.8 工业和信息化部“十二五”规划教材 ISBN 978-7-121-26272-2 I现 II孙 赵 III微分几何高等学校教材 IVO186.1 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2015)第 125049 号 策划编辑：王晓庆 责任编辑：王晓庆 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：7871092 1/16 印张：14 字数：358 千字 版 次：2015 年 8 月第 1 版 印 次：2015 年 8 月第 1 次印刷 定 价：39.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。服务热线：(010)88258888。导 论 3导 论 数学的理论发展是建立在公理化基础之上的，后人在前人工作基础之上的创新推动了数学的发展。法国数学家庞加莱（J.H.Poincare，18541912 年）曾经说过：“如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”而了解一些几何学发展的历史情况，可以为阅读本书所涉及的微分几何内容提供一个清晰的历史脉络。杨振宁先生曾为陈省身先生（S.S.Chern，19112004 年）写过一首名为“赞陈氏级”的诗：“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”这首诗中提到了欧几里得、高斯、黎曼、嘉当、陈省身 5 位数学大师。而这 5 位数学家大致对应于几何学发展的几个时期，可以看成是几何学相应发展阶段的代表人物。以他们的生平和学术贡献为线索和基础，并进行适当的扩充，我们大致可以梳理出几何的发展历程。若以此作为本书学习的一条历史线索，则可以对本书所涉及的知识点有感性的认识。几何学的系统发展开始于欧几里得（Euclide，公元前 325265 年）的几何原本。在这本发行量仅次于圣经的经典著作中，欧几里得研究了平面上的规则几何图形，如点、直线、多边形等。几何原本 更重要的贡献在于为数学乃至科学的发展提供了构建理论体系的公理化方法。在欧几里得之后的长达两千年的时间里，几何学的研究都是围绕着这些几何对象展开的。因此，在很长的一段时间里，人们认为：“几何即欧几里得，欧几里得即几何”。法国数学家笛卡儿（R.Descartes，15961650 年）发明了直角坐标系，将代数方法应用于几何研究，创立了解析几何。这大大拓广了几何学的研究对象：方程对应的曲线、曲面等都纳入几何学的研究范畴。这也为后来微积分的发明创造了条件，为微分几何的出现奠定了基础。17 世纪初，社会进步和生产力发展对变量数学产生迫切的需求。在此背景下，微积分被英国数学家牛顿（I.Newton，16431727 年）和德国数学家莱布尼兹（G.H.Leibniz，16461716 年）分别独立创立起来。微积分给数学带来了巨大的变革，成为现代数学发展的重要基石。它也给几何研究带来了新的思想和工具。人们开始用微积分来研究曲线和曲面这样的几何对象，这就是微分几何。微分几何（differential geometry）的命名最早来源于由意大利数学家比安基（L.Bianchi，18561928 年）所使用的意大利语“geometria differenziale”一词。在黎曼几何出现之前，几何学发展的这个时期都可以划归为古典微分几何阶段。在这个时期，瑞士数学家欧拉（L.Euler，17071783 年）、法国数学家蒙日（G.Monge，17461818 年）、德国数学家高斯（C.F.Gauss，17771855 年）等众多数学家都为微分几何的发展做出了重要贡献。1854 年，德国数学家黎曼（G.F.B.Riemann，18261866 年）发表了论作为几何基础的假设（德文原标题：ber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen，英文翻译标题：On the hypotheses which underlie geometry）的就职演说。这是黎曼几何创立、现代微分几何开端的标志。在这篇具有里程碑意义的演说中，黎曼在高斯等人古典微分几何研究基础之上对空间的观念给予了重新认识，引入了现代数学的核心概念流形。但限于当时其他数学分支理论的发展，黎曼给出的是流形概念的雏形，并不是现代形式的流形概念。4 现代微分几何 黎曼几何属于非欧几何。事实上，在黎曼创立黎曼几何之前，俄国数学家罗巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky，17921856 年）创立了另外一种非欧几何罗氏几何。而高斯和匈牙利数学家鲍耶（J.Bolyai，18021860 年）也是非欧几何的最早发现者。德国数学家希尔伯特（D.Hilbert，18621943 年）曾经指出：“19 世纪最有启发性、最重要的数学成就是非欧几何的发现。”1895 年，庞加莱在他的论文拓扑（Analysis Situs）中给出了流形定义，这是流形现代概念的先导。之后，在希尔伯特、德国数学家外尔（H.K.H.Weyl，18851955 年）、美国数学家惠特尼（H.Whitney，19071989 年）和其他数学家的先后努力下，流形、微分流形的现代形式定义最终形成。1915 年，美国物理学家爱因斯坦创立了广义相对论。而他创立广义相对论的重要数学工具和语言就是黎曼几何和张量分析。这让人们充分认识到微分几何的重要性。同时，这一事件也展现出数学与物理之间的殊途同归、相辅相成的关系。这种关系也被后来的杨-米尔斯规范场论与纤维丛的联络论之间的奇妙对应所再次印证。20 世纪 20 年代，法国数学家嘉当（lie J.Cartan，18691951 年）很好地继承和发展了达布（J.G.Darboux，18421917 年）等人发现的外微分式和活动标架。著名华人数学家陈省身先生将之进一步发展和应用，给出了黎曼流形上的高斯-博内公式（Gauss-Bonnet formula）的内蕴证明，推动了大范围微分几何研究的深入。现代微分几何已成为现代数学中发展最为迅速的分支之一。现代微分几何为非线性分析提供了舞台和工具，是开展现代数学研究不可或缺的语言和工具。同时，微分几何与多个数学分支相互渗透，产生了一些新的研究领域。例如，它与微分方程的融合交叉产生了几何分析，进而为世纪猜想庞加莱猜想的解决提供了关键性的技术工具。微分几何也被广泛地应用于大地测量中的地图描绘、生物数学中的 DNA 结构研究、图像处理、计算机辅助设计、建筑业中曲面的浇筑、机械加工业曲面工件的制作等方面。流形是现代微分几何和现代数学的核心概念，也是本书的主要研究对象。“流形”（manifold）最早来源于德文的 Mannigfaltigkei 一词，出现于 1854 年黎曼所发表的那篇著名的就职演说。“流形”的中文翻译最早是由我国著名数学家江泽涵先生给出的，出自南宋民族英雄、爱国诗人文天祥所作的正气歌中的一句诗：“天地有正气，杂然赋流形”。这句诗的大意是说：天地间有一股正气，纷杂地散步在各种形体上。流形为人们开展微分几何及其他数学研究、认识自然界提供了广阔的天地。曾获得菲尔兹奖和阿贝尔奖的著名英国数学家阿蒂亚（M.Atiyah，1929 年）在其报告20 世纪的数学中谈到“从局部到整体”、“维数的增加”、“从线性到非线性”、“几何与代数”等问题。这些问题都是现代微分几何中的重要问题，都与流形有着密不可分的联系。流形的附加结构为我们学习现代微分几何提供了一条主线。事实上，根据研究的需要，我们可以在流形上添加合适的附加结构：度量结构、微分结构、代数结构、复结构等，从而获得微分流形、李群、复流形等。仅就度量结构而言，就有黎曼流形、伪黎曼流形、次黎曼流形、芬斯勒流形等之分。我们不妨用“天地有真理，杂然赋流形”来概括流形附加结构及其作用：渐次增加的这些附加结构纷杂地附加在流形上，我们将以此为工具探究数学和自然中不同空间形式的真理流形的性质。流形的多种附加结构为我们开展现代微分几何研究提供了工具，也带来了众多困难而又令人着迷的公开问题。这其中有一部分已在数学家们孜孜以求的不断努力下得以解决，但是还有许多未解决的问题，有待包括各位读者在内的有心人去继续探索。前 言 5前 言“微分几何”在我国研究生数学教育课程体系中占据着重要地位，它承担着向研究生普及现代数学知识、培养学生数学思维和创新能力的重要功能。随着我国建设创新型国家步伐的加快，创新型人才培养的客观需要、学生知识背景和需求的变化都对研究生微分几何课程的教学提出了新的要求。在主持江苏省高等教育学会“十二五”高等教育科学研究规划课题、江苏省研究生教育教学改革研究与实践课题、南京理工大学研究生课程教学模式改革项目、南京理工大学高等教育教学改革研究课题的过程中，第一作者对“现代微分几何”课程的教学内容和教学方法做了一系列的改革尝试。本书是作者在多年讲授的“现代微分几何”课程的教案基础上，结合相关教学改革实践编写而成的。“工业和信息化部十二五规划教材”项目为本书的出版提供了契机。本书可供理工科高等学校的数学、物理、计算机设计、图形处理等专业的研究生和高年级本科生作为学习现代微分几何、微分流形的课程教材使用，也可供数学工作者参考使用。针对理工科学生的特点和人才培养的需要，本书注意体现内容的完备性、易懂性、应用性、实践性、文化性和前沿性。第一，为了增强教材内容的完备性、提高教材的适用性，本书整合了曲线论、曲面论的主干内容和拓扑学的基本概念。本书内容可以分为古典微分几何和现代微分几何两部分：第一部分也就是本书的第 1 章，着重介绍古典微分几何的曲线和曲面主干理论，还包括公理化方法建立的欧氏空间的概念、向量代数和向量分析内容。第二部分是本书的第 26 章，介绍的是现代微分几何的基本概念、思想和方法，主要内容包括张量、外形式、微分流形、子流形、切向量场、单参数变换群、切丛、张量场、黎曼流形、协变微分、外微分式、流形上的积分、斯托克斯定理、流形上的微分算子、拉普拉斯算子的特征值、德拉姆上同调和霍奇分解定理等。我们希望通过这样的内容安排，能让具有微积分知识基础的读者自然地由古典微分几何进入现代微分几何。考虑到近年来许多理工科数学专业的研究生并没有古典微分几何的知识基础，以及服务于高年级本科生选修的需要，这样的安排还是有所裨益的。事实上，古典微分几何的曲线和曲面是现代微分几何中流形的低维例子，其概念和性质是研究和理解流形有关概念和性质不可或缺的基础。纵观全书，我们也希望通过这样的安排，可以为读者呈现几何学从欧氏几何、空间解析几何、古典微分几何直到现代微分几何的历史发展脉络和理论体系。第二，为了加强教材内容的实践性，本书在第 1 章中安排了基于 MATLAB 的几何图形绘制的内容。这既是为了发挥数学软件在绘制几何图形方面的优势，帮助我们更好地理解曲线、曲面和流形等微分几何研究对象的概念和性质，也是为了顺应数学软件普及和使用增加