从直观表征走向直观建构——...教学的几何直观能力培养策略_万萍.pdf

2 0 2 3年4月第3 8卷第4期内江师范学院学报J o u r n a l o fN e i j i a n gN o r m a lU n i v e r s i t yA p r.2 0 2 3V o l.3 8N o.4从直观表征走向直观建构 基于“草图绘制”教学的几何直观能力培养策略万 萍1,刘成龙2*(1.内江市市中区教师进修学校,四川 内江 6 4 1 0 0 0;2.内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 6 4 1 1 0 0)摘 要:几何直观主要指利用图表描述和分析问题的意识与习惯.为实现直观表征到直观建构,提出了基于“草图绘制”教学的几何直观能力可视化策略:重视“绘制草图”的活动体验,培养直观意识;经历“绘制草图”的抽象过程,发展直观认知;内化“绘制草图”的方法步骤,形成直观品质.关键词:几何直观;草图绘制;直观表征;直观建构D O I:1 0.1 3 6 0 3/j.c n k i.5 1-1 6 2 1/z.2 0 2 3.0 4.0 0 2中图分类号:G 6 3 3.6文献标志码:A文章编号:1 6 7 1-1 7 8 5(2 0 2 3)0 4-0 0 0 7-0 50 引言 义务教育数学课程标准(2 0 2 2年版)提出了小学阶段十一个核心概念:数感、量感、符号意识、运算能力、几何直观、空间观念、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识.1其中,几何直观主要是指利用图表描述和分析问题的意识与习惯1.借助几何直观建立数与形的联系,构建数学问题的直观模型,可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,明晰思维的路径1.在小学数学学习活动中,画图能够将抽象的数学关系转化成形象的、直观的具体图形,有利于学生观察发现和深度理解.“草图”作为一类重要的、最基本的图形,有利于建立数学对象的直观模型,为问题解决、数学理解提供了直观、形象、有效的智力支持.“草图绘制”作为画图的一种重要方式,成了发展小学生几何直观能力的重要数学活动.近年来,我们在教学实践中着力探讨学生运用草图绘制解决实际问题的现实路径,努力揭示小学生数学“草图绘制”教学行为与“几何直观能力”之间的本质联系,力图实现从直观表征走向直观建构.为此,我们提出了基于“草图绘制”教学的几何直观能力培养策略:重视“绘制草图”的活动体验,培养直观意识;经历“绘制草图”的抽象过程,发展直观认知;内化“绘制草图”的方法步骤,形成直观品质.1 重视“绘制草图”的活动体验,培养直观意识史宁中2指出:“数学直观是一个人经过日积月累的数学思维而形成的,是逐渐养成的一种思维习惯,一种数学素养.”尽管学生的几何直观有先天的成分,但高水平的几何直观却主要依赖于后天,依赖于个体参与其中的认识活动,包括观察、操作(如折纸、展开、折叠、切截、拼摆等)、判断、推理等等3.根据皮亚杰的认知发展阶段理论,小学生处于思维和认知水平不断发展、逐步完善时期.因此,在数学教学中应有目的、有计划地设置几何直观体验性活动,让学生在感受中达成对几何直观认识的不断调整和丰富,进而形成几何直观意识.下面以人教版三、四年级“图形与几何”中的实践活动课“怎样围面积最*收稿日期:2 0 2 2-0 8-1 4 基金项目:四川省教育科学研究院科研项目(S C J G 2 0 A 1 6 3);内江师范学院基础教育研究与实践专项项目(J G 2 0 2 1 2 5)作者简介:万萍(1 9 7 6-),女,重庆人,内江市市中区教师进修学校,中学高级,研究方向:数学教育、教师培训*通信作者:刘成龙(1 9 8 5-),男,四川南部人,内江师范学院副教授,硕士,研究方向:数学教育、教师教育内江师范学院学报第3 8卷大”为例,从丰富直观感知、提炼直观经验、渗透直观理解三个维度阐述小学生草图绘制意识培养的体验性活动过程.1.1 丰富直观感知,创设绘制草图的现实情景在“创设情境,激趣引入”阶段,动画呈现“喜羊羊与灰太狼”场景(见图1):青青草原的羊村长要用2 0米长的绳子围一块长方形菜地,懒羊羊、美羊羊、喜羊羊、灰太狼分别给出围成的菜地(课件出示),请同学们猜猜谁围成的菜地面积最大?由此引出课题“怎样围面积更大”.图1 喜羊羊与灰太狼【评注】创设现实情境,将数学问题与生活实际巧妙联系,通过不同方案的呈现,让学生在观察、对比中做出面积大小判断.同时,让学生经历面积的情景表征,积累生动、具体的几何图形表象,为运用几何图形进行几何直观做铺垫.1.2 提炼直观经验,产生绘制草图的内在需求在“新课探究,操作实践”阶段,教师设置系列问题,让学生感受草图绘制的必要性.比如:“2 0米是长方形菜地的什么?”“长方形的周长公式是怎样的?”“想要知道2 0米长的绳子围出的最大面积菜地是什么样子的,可以怎么做?”“2 0米长的绳子围出的长方形太大了,在纸上画不下怎么办?”通过提炼相关数据信息,形成初步直观经验,从而一步一步地引导学生产生“绘制草图”在“方格纸”上的需求(见图2),再出示研学单,提出小组合作要求:用一根2 0米长的绳子,可以围成哪些不同的长方形?(长、宽取整米数)(在下面边长为1米的格子图上画一画,并标出长和宽,计算出面积)【评注】从课件呈现真实情境到画图再现数学情境,引导学生在画一画、放一放、摆一摆、拼一拼等直观体验性活动中,尝试用几何图形描述数学问题,在不断调整几何图形中丰富几何直观认识,进而积图2 方格纸累从真实情景到数学情景问题解决的直观经验.1.3 渗透直观理解,体验绘制草图的意义价值在“观察讨论,初步猜想”环节,课件动态呈现方格图中有序排列的长方形(见图3):长从9逐次减少1,减少到长为5.学生观察课件中图形形状和面积的变化规律,直观体验:随着长的减小、宽的增加,长方形的面积在不断增大.通过小组合作交流,最终形成猜想:周长相等的长方形,长与宽越接近,面积越大.图3 周长2 0、长宽不同的5种长方形【评注】通过图形的动态、直观呈现,让学生感知“周长一定,长宽变化带来面积的变化”.在此基础上形成“周长相等的长方形,长与宽越接近,面积越大”的直观性体验和直观性经验,再借助图形直观辅助理解,最终脱离图形,推断出“和相等的两个数越接近,它们的乘积就越大”的一般性规律,实现学生从高级基本活动经验到高级几何想象能力的思维飞跃.2 经历“绘制草图”的抽象过程,发展直观认知通过大量的课堂实践,依据几何直观素养的表现形式,我们构建了“绘制草图”教学的基本框架(见图4).可以看出,通过数学抽象与再抽象,形成几何直观的 四 种 表 现 形 式:实 物 直 观 简 约 符 号 直观 替代物直观 图形直观3,在学生经历“真实情境 再现情境 结构图示 图形表象”的草图绘制过程中,实现由“初级基本活动经验 8第4期万 萍,等:从直观表征走向直观建构图4“绘制草图”教学的基本框架高级基本活动经验 高级几何想象”的跨越,进而达到“直观表征能力 直观理解能力 直观建构能力”的形成,从而发展学生直观认知.下面以人教版小学数学二年级上“求比一个数多(少)几的数”为例展示图4中的四个环节.2.1 第一环节:真实情境如图5所示,让学生借助实物,动手摆实物小红旗,初步体验“对齐”,直观感知一、二班红旗数量上的差异(二班的红旗比一班多3面或一班的红旗比二班少3面).图5 一、二班红旗数量【评注】摆实物是最直接、最“原始”、最朴素的直观形式 实物直观,有利于形成直观表征能力.这一过程经历了实物表征和操作表征,通过实物表征和操作表征的交融,强化了实物对学生的直观刺激,为初级基本活动经验的形成作了铺垫.但这一过程仍属于生活化的范畴,算不上是真正意义上的数学活动,还需要经历数学化(垂直数学化)的过程,即数学抽象过程.2.2 第二环节:再现情境如图6所示,用简单图形替代实物:将实物(小红旗)用简单图形(如圆片、小棒、方片等)替代,从而将实物的数量变成图形的数量(如圆片、小棒、方片等),进而感受图形在数量上的差异.图6 简单图形替代红旗【评注】尽管环节二仍保留着“小红旗”的影子,但已经发挥了替代物的作用.从实物到简单替代物,经历了初步抽象,这是认识上的一大进步,明显有了符号化的意义:由实物表征过渡到图形表征,有利于形成初级基本活动经验.2.3 第三环节:结构图示如图7所示,用替代性、抽象性更强的几何图形(条形图,即线段图雏形)替代图6中的简单图形,进一步感受图形整体间的数量关系.图7 条形图替代红旗【评注】环节三在环节二的基础上进一步抽象(水平数学化),比较环节一可谓是面目全非,已经完全脱离了“小红旗”,认识上不再是一个一个地数,取而代之的是整体上的数量关系和图形结构,有利于培养学生直观理解能力.这一环节,学生再次经历数学抽象和图形表征,已经是真正意义上的数学活动.从简约符号到几何替代物的直观认知过程,有利于促进高级基本活动经验的形成.2.4 第四环节:图形表象如图8所示,运用线段图代替图7中的条形图,更为直观地呈现数量关系.图8 线段图替代红旗【评注】对条形图进行水平数学化,获得更高层次数学对象 线段图,这是对实物表征、简单符号表征、条形图表征进行进一步优化和深化.在线段图的绘制及呈现过程中,既帮助学生直观理解数量间关系,又培养了学生直观建构能力.同时,通过比画建立比多比少的结构化表象,经历语言表征、图形表征,培养了学生高级几何想象能力,又为实现符号表征打下铺垫.3 内化“绘制草图”的方法步骤,形成直观品质依据几何直观认知三维度:知道事实与简单技能、联系与应用规则、推理与问题解决,结合长期教学实践,我们凝练了绘制草图教学“三线六步法”(见图9):方法线、认知线、品质线层层递进,将“选图、9内江师范学院学报第3 8卷理图、视图、说图、画图、析图”六步有机整合为一个层层递进、逐步深入的整体,为草图绘制教学提供了理论依据和方法论指导.图9 绘制草图教学“三线六步法”联系几何直观认知维度的三个层级,六个步骤从三个方面提升学生的几何直观品质:“选图”与“理图”感觉与图形相随,通过模型识别和整体辨析,形成敏捷准确的几何直觉4,完成“知识建立与技能提升”;“视图”与“说图”视觉与思维共行,通过多方沟通和有效转化,形成灵活的几何思维,达到“联系与应用规则”;“画图”与“析图”抽象与形象互辅,推广抽象形象和联系应用,积累丰富的几何经验,使“绘制草图”成为分析和解决问题的有效工具4,实现“推理与问题解决”.下面以“画草图解决坐车问题”为例详细阐述六个步骤.问题呈现:一辆面包车上坐了9个人,超市门口下去了2个人,体育馆门口又下去了4个人,车上还剩下多少个人?一辆大巴车上坐了6 3个人,超市门口下去了3 0个人,体育馆门口又下去了1 6个人,车上还剩下多少个人?3.1 选图 识别模型,选择合适的直观表征方式根据题意画图表示.通过对比,适合题目、的图形表征分别如图1 0、图1 1所示.图1 0 题目的图形表征图1 1 题目的图形表征【意图】在对比中让学生形成共识;数量较少时,用圆形、三角形、正方形等简单图形来表示具体的数量,更直观、方便;数量较多时,用线段图比用简单图形表示更方便、快捷.通过不同的表征,为后续学习积累直观感知体验.3.2 理图 整体辨析,理清合理的直观演示顺序以题目为例,教师一边引导学生思考,一边示范:先画一条线段,再画上大括号把这条线段括起来表示大巴车上的总人数,写上:车上有6 3人,在6 3人的这条线段上找一段,用大括号括起来,写上:下去了3 0人,表示下去的人数,再找一段用大括号括起来,写上:下去了1 6人,表示又下去的人数.剩下的线段表示车上剩下的人数,也用大括号括起来,写上问号,表示问题.【意图】引导学生梳理绘制线段图的顺序,更清晰地表达题意及呈现有效信息.在教师示范、思路整理中为实际操作做好充分的思维积淀.3.3 视图 聚焦关键,沟通数学信息与图形表征的联系结合题目“理图”思路,教师示范线段(见图1 2):图1 2 教师示范线段图【意图】引导学生观察题目及图形,有条理地找出文字信息和图中包含的信息.寻找出已知条件,提炼出关键信息.从