微积分同步练习与提高（一）.pdf

“新工科建设”教学探索成果“十三五”规划教材 微积分同步练习与提高（一）余琛妍 李莎莎 涂黎晖 主编 王聚丰 孙海娜 翁云杰 副主编 苏德矿 主审 内 容 简 介 本书是与微积分学（第二版）上册（高等教育出版社，2013，ISBN 9787040374582）配套的同步练习与提高，内容包括：函数与极限、导数与微分、微分学基本定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、一元微积分学的补充应用和无穷级数。本书按章节编写了与教材内容相对应的基础练习题，并在题目之后留了相应的解题空间，以便学生可以随时书写解题步骤，同时也利于教师的批阅。通过同步基础练习题的训练，希望学生能更好地掌握每一章节的内容和重点、难点；本书每个章节还设有综合提高练习题，使部分学有余力的学生可以进一步尝试，开阔解题思路，提高自身解题能力，达到分层次教学的目的；最后，本书收录了微积分课程的期中、期末考试样卷，旨在让学生了解试卷类型和知识分布，帮助学生取得理想的成绩。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 微积分同步练习与提高.一/余琛妍,李莎莎,涂黎晖主编.北京：电子工业出版社，2018.2 ISBN 978-7-121-31975-4 I微 II余 李 涂 III微积分高等学校教学参考资料 IVO172 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2017）第 139779 号 策划编辑：章海涛 责任编辑：章海涛 文字编辑：刘 瑀 文字编辑：王二华 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：7871092 1/16 印张：22.25 字数：273 千字 版 次：2018 年 2 月第 1 版 印 次：2018 年 2 月第 1 次印刷 定 价：30.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：192910558（QQ 群）。前前 言言 微积分是高等学校工科类专业和经管类专业的一门重要的数学基础课。能否用数学的思维、方法去思考、推理及定量分析一些自然现象和经济现象，是衡量民族科学文化素质的重要标志，提高数学素养在培养高素质人才中有着不可替代的重要作用。本书是与高等教育出版社出版的微积分学（上册）（蔡燧林 吴正昌 孙海娜 编著）相配套的学习辅导用书，主要面向使用该教材的学生，也可供使用该教材的教师参考。本书分成三大部分：第一部分为基础题，根据微积分学的章节顺序和教学进度，选出适量的习题并留有解题空间，可作为作业供学生练习，同时也为老师批阅和学生复习提供了方便；第二部分为提高题，在原有的习题难度基础上，结合教材内容和考研大纲筛选出具有一定综合性的习题，并给出了详细的解题思路和解答过程，有的还提供了多种解法，该部分可作为学有余力的学生提高数学解题能力的参考题；第三部分为期中、期末样卷，可供学生复习备考使用。本书的编写自始至终得到了浙江大学宁波理工学院领导的支持和关怀，数学组全体老师对各章节习题进行了筛选、演算和校正，并提出了很多宝贵的意见，编者在此一并向他们表示衷心的感谢。高等教育出版社出版的微积分学（上册）在浙江大学宁波理工学院和其他一些院校已经使用十多年，编写与该教材配套的用书是我们多年的心愿，现将长期教学实践积累的点滴写出来，为数学课程的学习带来更多的方便。由于我们对编写此类书缺乏经验，水平有限，书中难免存在不足之处，恳请同行和读者批评指正。编 者 浙江大学宁波理工学院 目目 录录 第第 1 1 章章 函数函数.1 1.1 函数概念.1 1.2 函数的几种特性.2 1.3 反函数与复合函数.4 1.4 基本初等函数与初等函数.4 第第 2 2 章章 极限与连续极限与连续.6 2.1 数列的极限.6 2.2 函数的极限.7 2.3 无穷大与无穷小.8 2.4 极限的运算.9 2.5 判别极限存在的两个重要准则、两个重要极限.11 2.6 无穷小的比较.13 2.7 函数的连续性.15 第第 3 3 章章 导数与微分导数与微分.17 3.1 导数的概念.17 3.2 导数的四则运算、反函数与复合函数的导数.19 3.3 高阶导数.24 3.4 隐函数求导法.25 3.5 函数的微分.27 第第 4 4 章章 微分学的基本定理与导数的应用微分学的基本定理与导数的应用.29 4.1 微分学中值定理.29 4.2 洛必达法则.30 4.3 函数的单调性与极值、最大值、最小值及不等式问题.32 4.4 曲线的凹向、渐近线与函数图形的描绘.34 4.5 泰勒定理.35 第第 5 5 章章 不定积分不定积分.37 5.1 不定积分的概念与性质.37 5.2 几种基本的积分方法.40 5.3 几种典型类型的积分举例.48 第第 6 6 章章 定积分及其应用定积分及其应用.50 6.1 定积分的概念.50 6.2 定积分的性质及微积分学基本定理.50 6.3 定积分的换元法与分部积分法.51 6.4 反常积分.55 6.5 定积分在几何上的应用.56 第第 7 7 章章 一元微积分学的补充应用一元微积分学的补充应用.58 7.1 参数方程与极坐标方程及其微分法.58 7.2 平面曲线的弧长与曲率.60 7.3 定积分与反常积分在物理上的某些应用.61 7.4 一元微积分在经济中的某些应用.61 第第 8 8 章章 无穷级数无穷级数.62 8.1 无穷级数的基本概念及其性质.62 8.2 正项级数及其判敛法.63 8.3 交错级数与任意项级数及它们的判敛法.65 8.4 幂级数及其性质.67 8.5 函数展开成幂级数及应用.67 附录附录 A.1 A.1 极限与连续提高题极限与连续提高题.70 附录附录 A.2 A.2 导数与微分提高题导数与微分提高题.72 附录附录 A.3 A.3 微分学的基本定理与导数的应用提高题微分学的基本定理与导数的应用提高题.74 附录附录 A.4 A.4 不定积分提高题不定积分提高题.76 附录附录 A.5 A.5 定积分及其应用提高题定积分及其应用提高题.78 附录附录 A.6 A.6 一元微积分学的补充应用提高题一元微积分学的补充应用提高题.81 附录附录 A.7 A.7 无穷级数提高题无穷级数提高题.82 附录附录 B.1 B.1 微积分微积分期中考试样卷（一）期中考试样卷（一）.85 附录附录 B.2 B.2 微积分微积分期中考试样卷（二）期中考试样卷（二）.90 附录附录 B.3 B.3 微积分微积分期末考试样卷（一）期末考试样卷（一）.97 附录附录 B.4 B.4 微积分微积分期末考试样卷（二）期末考试样卷（二）.103 附录附录 B.5 B.5 微积分微积分期末考试样卷（三）期末考试样卷（三）.109 附录附录 B.6 B.6 微积分微积分期末考试样卷（四）期末考试样卷（四）.115 附录附录 C.1 C.1 习题答案习题答案.121 附录附录 C.2 C.2 提高题答案提高题答案.128 附录附录 C.3 C.3 考试样卷答案考试样卷答案.162 姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 1 第 1 章 函数 1.1 函数概念 1求 f x。（1）已知21f xx0 x；（2）已知2211+=+fxxxx0 x；（3）已知22sincos2tanfxxx；（4）已知222cossintanfxxx。姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 2 2求2lg 54yxx的定义域。3设函数 yy x由方程2arcsinxy所确定，求 yy x的定义域。1.2 函数的几种特性 4设 f x的定义域为,0a aa，问下列函数的奇偶性。（1）xf xfx；（2）xf xfx。姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 3 5 设 f x与 g x分别是定义在,上的严格单调增函数与严格单调减函数，试讨论下列函数在,上的单调性。（1）f g x；（4）g g x；（2）g f x；（5）f x g x；（3）ff x；（6）2f x；（7）2g x。6设常数满足01，讨论函数 1f xx：（1）在区间0,1内的有界性；（2）在区间,1)内的有界性。姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 4 1.3 反函数与复合函数 7求下列函数的反函数 xy，并注明反函数的定义域。（1）1ee2xxyx；（2）e,01,0 xxyxx 。1.4 基本初等函数与初等函数 8求下列函数值：（1）2arcsin2；（2）；1arccos2姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 5 （3）3arcsin sin2；（4）5arctan tan4；（5）4arcsin cos7；（6）5sin arccos13。姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 6 第 2 章 极限与连续 2.1 数列的极限 1设等腰直角三角形ABC的斜边2AB，将斜边分成2n等份，作内接台阶形（如图2-1 所示）。求台阶形面积nA，并求出limnnA是多少？图 2-1 2设数列 nu的通项nu如下，指出它们是否收敛？若收敛，求出其极限是多少？（1）12nnu；（2）11nnun；（3）1nnun；（4）1cos2nnun；（5）2111333nnu。A B C 姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 7 2.2 函数的极限 3指出下列极限是否存在，若存在，则求出其极限值：（1）lim exx；（4）lim sinxxx；（2）01limsinxx；（5）10lim exx；（3）0limxx；（6）1limexx。4设 f x如下，指出 0limxf x是否存在，若存在，则求出该极限值：（1）1arctanf xx；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 8 （2）1e,0sin,0 xxf xxx。2.3 无穷大与无穷小 5指出下列各题中，哪个是无穷小，哪个是无穷大；哪个既不是无穷小，也不是无穷大。（1）当0 x 时 tanx；（2）当2x 时 tanx；（3）当0 x 时 31sinxx；（4）当x时 cosxx；（5）当0 x 时 11 cosx；（6）当0 x 时 1ln x。姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 9 2.4 极限的运算 6求下列极限：（1）1coslim2xxx；（2）2sinlim1xxx；（3）11limtan2xxx；（4）0sin1lime1xxx姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 10 7求下列极限：（1）3113lim11xxx；（2）2221lim0 xaxaxaaxa；（3）2232lim1 4xxx；（4）2332lim1 4xxx；（5）3232lim1 4xxx；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 11 （6）3070100123lim21xxxx；（7）2lim1xxxx；（8）22411limsinxxxxxx。2.5 判别极限存在的两个重要准则、两个重要极限 8取“1”，“0”，“”，“不存在但也不是无穷”中适当的填入下列空格。（1）1lim sin=xxx_；（2）01lim sin=xxx_；（3）21limsin=xxx_；（4）011limsin=xxx_；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 12 9求下列极限：（1）22sinlimxxx；（2）2351limsin53xxxx；（3）10lim 1xxx；（4）22lim 1xxx；（5）lim0 xxxaaxa；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 13 （6）10lim02xxxaaxa。2.6 无穷小的比较 10求下列极限：（1）0arcsin2limln 1xxx；（2）011limln 1ln 1xxx；（3）ln 1 3limln 12xxx；姓名：_ 学号：