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微 积 分 之 美 杜耀刚 编 著 II内 容 简 介 微积分从酝酿到萌芽，到建立、发展、完善，凝结着两千多年来无数数学家的心血才谱写完成，可以说是美的交响乐。微积分之美，美在简单、和谐、对称、奇异，更美在原创。微积分之美，集多年教学激情体验，探索微积分的数学艺术，培养莘莘学子对数学崇高的敬意：数学中有美、美中有数学；提升他们的创新创业能力，深入科技最新发展前沿，跟随用微积分改变人们看待宇宙方式的数学之旅，使学生相信数学与诗一样，都充满了人类的精神力量。本书主要内容有函数、极限和连续；导数与微分；中值定理及其应用；不定积分；定积分。每章节涉及名人名言、内容提要、问题探究等，通过 222 道例题简要阐述美中有数学、数学中有美的具体含义。本书可以作为高等院校理工科各专业的教材使用，也是广大学生和教师必备的重要参考资料。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 微积分之美/杜耀刚编著.北京：电子工业出版社，2018.2 ISBN 978-7-121-33697-3.微.杜.微积分高等学校教材.O172 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2018）第 029428 号 策划编辑：杨 波 责任编辑：裴 杰 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16 印张：10 字数：256 千字 版 次：2018 年 2 月第 1 版 印 次：2018 年 2 月第 1 次印刷 定 价：38.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（010）88254584。III21 世纪的劳动者应该懂得微积分初步。德菲利克斯克莱因（Felix Klein，18491925）/哥廷根学派创始人 微积分学，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学和人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具。理查德柯朗（Richard Courant，18881972）/美籍德国数学家、哥廷根学派重要成员 只有采取无穷小的观察单元历史的微分，并运用积分的方法得到这些无穷小的总和，我们才能得到问题的答案历史的规律。正是这门学问（微积分），纠正了人类由于只观察个别单元所不能不犯下的和无法避免的错误。列夫尼古拉耶维奇托尔斯泰（Lev Nikolayevich Tolstoy，18281910）/俄国思想家、现实主义文学的一坐丰碑 社会的进步就是人类对美的追求的结晶。卡尔马克思（Karl Marx，18181883）/马克思主义创始人，国际共产主义的奠基者 导 言 沁园春数学 数学风光，无限魅力，万千符号；望银河内外，奥秘茫茫，空间变幻，数浪滔滔，线舞银蛇，图驰蜡象，欲与珠穆朗玛峰试比高，须回味。赏图装数裹，分外妖娆，数学如此多娇，引无数英才竞折腰，惜语文英语，略输严谨，科学社会，稍逊精巧，现代工具，手机电脑，只能遵其命令指标，俱往矣，数科目奇葩，数学首当！（1）数学的应用：）数学的应用：数学改变了我们看待宇宙的方式。数学物理中的频谱分析概念与快速变换密切相关。傅里叶变换是一种积分变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。令人吃惊的是，这一方法已被成功应用于文学研究。文学作品中的微量元素，即文学的“指纹”，就是文学的风格，其判断的主要方式是频谱分析。日本有两位著名作家多正九和安本美典大量应用频谱分析来研究各种文学作品。最后研究到这种程度：随便拿一本书来，不讲明作者，也可以知道作者是谁。这就像法医根据指纹抓犯人一样，准确无误。哲学与数学之间的交互影响是人类文化中最深刻的部分。数学家德穆林（Demollins，18691947）说的好：“没有数学，我们就无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度；若没有两者，人们就什么也看不透。”哲学为人类文明提供了理性精神，而对理性精神贯彻最彻底的是数学。例如，数学的无限、连续的概念，一出现便成为了哲学研究的对象。自古以来，唯物主义与唯心主义的斗争就贯穿于数学的全部历史，并且数学对逻辑的发展有着明显的作用。万有引力的发现与证明万有引力的发现与证明。16 世纪后期，天才的观察家，丹麦天文学家第谷布拉赫（Tycho Brahe，15461601），对太阳系中的行星运动进行了长达 20 多年的观察，积累了大量的丰富的资料，为历法改革奠定了基础。其助手天空的立法者德国天文学家、物理学家和数学家约翰内斯开普勒（Johannes Kepler，15711630）曾参与了一部分观察工作，叶立军数学与科学进步杭州：浙江大学出版社，2011 IV 并继承了他的全部数据，又进行了 20 年之久的研究，开普勒提出了行星运动的三个定律。这不禁使我们想起英国数学家、哲学家怀特海（Alfred North Whitehead，18611947）的名言：“物质未曾来到，精神先已出现”。开普勒第一定律（椭圆定律）：行星（运动方程的极坐标形式为 eitz tr t）绕太阳运行(公转)的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，其椭圆极坐标方程为1r 221coscoshrr。其中：22bac，2ba，ca，两焦点的距离为2c；开普勒第二定律（面积定律）：向径的面积速度是常数，即从太阳到行星的向径在相等的时 间 内 扫 过 相 同 的 面 积，即 面 积 速 度2122hAr（常 数）。其 中，椭 圆 面 积 为122a bhTabhT；开普勒第三定律（调和定律）：椭圆轨迹的长轴的立方与其公转周期的平方之间的比值是和行星无关的常数，即23Ta。1687年，艾萨克牛顿（Issac Newton，16421727）用微积分等工具由开普勒定律得到万有引力定律。根据牛顿第二定律及22coshrr，行星运动方程的极坐标形式为20Fmrr，221rFm rrkmr，其中2hk；再根据22 a brhT及23Ta，得到224hk（常数），即21rFkmr，这就是说：行星所受的力指向太阳，它的大小与行星的质量成正比，与行星到太阳的距离的平方成反比。牛顿正是从这些结论出发，通过进一步的思考，总结出著名的万有引力定律的。从万有引力定律推导开普勒第三定律见例5-2-16。万有引力定律成功预言了海王星的存在万有引力定律成功预言了海王星的存在。对木星和土星的轨道的推算结果和实测不符，而天王星存在着不可忽略的差异，“是否存在一颗尚未发现的行星干扰着天王星的运行呢？”1843年，英国剑桥大学22岁的学生亚当斯（J.C.Adams，18191892）根据力学原则，利用微积分等数学工具，算出了未知行星的位置。比亚当斯稍晚，法国巴黎天文台青年数学家勒维列（U.J.J.Leverrie，18111877）于1845年解出了由几十个方程组成的方程组，并于1846年算出了新行星的轨道。海王星被发现了，这是人类最早用笔头算出的行星，这个发现是数学计算的胜利，并产生了很大的影响。（2）数学与素质教育：）数学与素质教育：从心所欲，不逾矩。数学不仅是一种工具，还是一种思维模式；不仅是一种知识，还是一种素养；不仅是一种科学，还是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养创新人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。中国古代思想家孔子（Confucius，公元前551公元前479）讲的“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”，就是说教育的目的就是自发、自觉和创造。孔子到了七十岁总结了一生在学问方面的成就，是“从心所欲，不逾矩”。我们可以用这句话来概括中西教育之结合，“从心”就是创造力的启发，“不逾矩”就是严密的基础训练。V 哈佛大学于1636年建立，当时没有一个数学教授；1726年，哈佛大学任命了第一位数学教授。当时的入学考试只考算术，1820年，要求考代数；1844年，要求考几何。1971年2月，美国卡尔多伊奇等人在科学上发表了一项研究报告，列举了19001965年间在世界范围内社会科学方面的63项重大成就，其中数学化的定量研究占三分之二，而这些定量研究中的六分之五是1930年以后做出的。美国著名社会学家贝尔（Daniel Bell，19192011）在第二次世界大战以来的社会科学一书中就指出：社会科学正在变成像自然科学一样的硬科学。数学已经拓展到每一个科学领域，并且在生物学、物理学、化学、经济学、社会学和工程学，甚至是任何一个涉及速度或温度变化量的领域中，扮演着无法替代的角色。美国科普鬼才克利福德皮寇弗（Clifford A.Pickover）曾说：“对我而言，不论是心智的特质、思想的极限，或者是人类相对于浩瀚宇宙所处的环境，都可以用数学来发掘其中永无止境的惊奇奥秘。”（3）数学、物理及计算机：）数学、物理及计算机：学好数理化，干啥都可以。1957年前苏联人造卫星发射成功，震惊了美国，美国从官方到民间都在检查落后的原因，最终得出的结论是数学教育落后于前苏联。20世纪所有的重大发明中，计算机的发明应该排在首要位置，现代有记忆功能的计算机在1946年诞生于美国，其设计者冯诺伊曼（John von Neumann，19031957）就是一位搞基础数学的美藉匈牙利数学家，著名北大方正的创始人、中国计算机专家王选（Wang Xuan，19372006）教授也毕业于数学系。计算机和计算机科学技术的出现，在理论推导和科学实验两大传统手段外，又增添了人类发展科学的新手段，即所谓的“计算”手段。学好数学物理到底有什么用？我们的回答就是数学与物理学结合的一大杰作是电子数字计算机，计算机使得物理学实现了数学提供的计算原理。数学、物理及计算机是每个公民科学思维训练所必需的：数学训练逻辑思维、物理训练实证思维、计算机训练计算思维。学好了数学、物理及计算机，干什么都可以。（4）数学发展简史：）数学发展简史：从“李约瑟难题”到“陈省身猜想”。英国哲学家弗朗西斯培根（Francis Bacon，15611626）曾说“读史使人明智”。数学史大致可以分为五个不同的时期，精确地区分这些阶段是不可能的，因为每一个阶段的本质特征都是在前一阶段中酝酿形成的。第一时期称为数学形成时期，人类从数数开始逐渐地建立了自然数的概念、简单的计数算法，并认识了简单的几何图形，逐渐形成了理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹”数学。第二时期为初等数学，即常数数学时期，从公元前5世纪17世纪，逐渐形成了初等数学的主要分支：算术、代数、几何、三角。第三时期称为变量数学的时期，变量数学的第一个决定性步骤出现在1637年法国哲学家、数学家、物理学家的勒内笛卡儿（Rene Descartes，15961650）著作几何学中，弗里德里希恩格斯（Friedrich Engels，18201895）指出：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了”变量数学的第二个决定性步骤是自然科学家的偶像牛顿和样样皆通的大 张顺燕数学科学与艺术北京：北京大学出版社，2014 美克利福德皮寇弗数学之书陈以礼译重庆：重庆大学出版社，2015 恩格斯自然辩证法北京：人民出版社，1971 VI 师莱布尼茨于17世纪后半叶分别独立建立了微积分。第四个时期是现代数学时期，以及所有基础部门代数、几何和分析深刻变化为特征。代数的解放是由四元数的诞生引起的；几何学的解放是由欧氏几何的第五公式引起的；分析的严密化是由第二次数学危机引起的。19世纪初，数学发生了质的变化，开始了从变量向公理化数学的过渡，如没有非欧几何学，就不会有20世纪最伟大的科学家、思想家阿尔伯特爱因斯坦（Albert Einstein，18791955）的相对论。第五个时期就是信息数学时期。计算机的诞生和广泛使用使数学进入了一个新的时代。几乎同时，信息论和控制论也诞生了，数学迎来了一个新的高