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电子社考研权威辅导丛书 小鑫考研嘚吧嘚 考研数学复习全书（数学一）潘鑫 著 Publishing House of Electronics Industry 北京BEIJING 内 容 简 介 本书按照教育部考试中心公布的考研大纲要求编写，内容涵盖研究生考试数学一全部知识点，突出三个非常：语言非常通俗语言非常通俗，逻辑非常清晰逻辑非常清晰，例题非常丰富例题非常丰富，这三个特色使得本书区别于市场上的同类图书。本书对传统课本中的重点、难点、疑点及最容易被忽视的一些潜在要点进行了全新的诠释，作者总结了自身在考研数学培训生涯中的诸多经验，将其独创的考研数学学习套路毫无保留地奉献给读者。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 小鑫考研嘚吧嘚:考研数学复习全书.数学一/潘鑫著.北京：电子工业出版社，2015.3（电子社考研权威辅导丛书）ISBN 978-7-121-25401-7.小 .潘 .高等数学研究生入学考试自学参考资料 .O13 中国版本图书馆CIP 数据核字（2015）第009698 号 策划编辑：齐 岳 责任编辑：徐 静 齐 岳 文字编辑：万子芬 刘真平 李 蕊 韩玉宏 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：8801 230 1/16 印张：52 字数：2080 千字 版 次：2015 年 3 月第 1 版 印 次：2015 年 3 月第 1 次印刷 定 价：98.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。服务热线：（010）88258888。前 言 考研是一场艰苦的战斗，为了帮助广大备考的同学，尤其是基础相对薄弱的同学在短时间内掌握考研数学的考点，取得理想的分数，夺取考研这场战役的胜利，我精心编写了本书，希望可以在考研的道路上助大家一臂之力。?本书定位 本书是一本适合读者自学的考研数学辅导书籍。与传统教材不同，本书的语言通俗语言通俗，逻辑清晰逻辑清晰，例题丰富，例题丰富，书中所涉及的知识点，无论多简单，都有举例，这“三板斧”使得您完全不用担心有看不懂的知识点。所以，本书定位为“零基础”考研数学自学用书，也是广大考生在考研数学复习阶段应看的第一本书。所谓教材，是指老师上课时所使用的书籍，大多数教材不会把每个知识点都讲解得非常细，目的是要在课堂上给学生留有充分的思考空间，锻炼同学们的思维能力；而教辅书，顾名思义，是教材辅助的书籍，教辅书不能脱离教材，如果一个基础很薄弱的学生直接看教辅书会使学习变得很吃力。本书既非教材，也非教辅，是一本十分“纯正”的自学用书。为了能让读者实现真正的自学，我在写作过程中重视每个细节，每个知识点和例题都配有通俗易懂的解释，这样一来就可以保证“零基础”的读者也能够看懂本书。知识被“掰开揉碎”地讲解，内容编排符合考生的思维习惯，语言风格轻松活泼，相信广大考生阅读本书后会有一种爱不释手的感觉。?本书特色 1.语言通俗语言通俗 大部分考研数学类书籍都摆脱不了语言晦涩难懂、内容体系“模式化”、文字叙述与读者思维不同步，极易出现断档的弊病，读者需要逐字去琢磨文字的意思，一旦在某个知识点卡住，会耗费大量的时间。我认为考研数学类书籍最高级的表达方式就是用最通俗的文字，去讲解最难理解的知识，不需要读者费时费力地反复琢磨，而这正是本书的最大亮点。本书的所有文字，从定义、定理的解释，到例题的解析，再到每章习题的解析，都非常轻松活泼、通俗易懂，让考生抛弃掉考研复习的沉重心情。这样一来，读者在轻松看懂本书内容的同时，又能发现学习的乐趣，更可贵的是可以连贯、高效地复习，节省了宝贵的时间。2.逻辑清晰逻辑清晰 本书的编排合理，逻辑非常清晰。具体来说，本书的所有题目的解析中绝对不会出现任何一个书中没有讲到的知识点，并且每一步解答都详细注明了知识点来源。众所周知，做一道题可能会同时用IV 小鑫考研嘚吧嘚 考研数学复习全书（数学一）到很多不同章节的知识点，很多考研辅导书中都存在这样一种现象：讲完一个知识点，然后下面有配套的例题，但此例题中会用到还未讲解的知识点且没有向读者说明。这样一来，许多读者就不明白了，思考了很长时间，以为是某个复习过的知识点自己忘了，反复看才发现该题用到的是后续的知识点，白白浪费了时间。多年的教学经验以及自身的考研经验让我在这一点上极其重视，避免了上述现象的发生。总的来说，本书“逻辑清晰”的特点体现在以下三个方面：（1）书中例题解析涉及的知识点在对应章节都有详细的讲解。（2）书中例题的每一步解答都详细注明了知识点来源。（3）书中例题均与知识点完全对应。3.例题丰富例题丰富 本书的例题非常丰富，甚至是一些十分简单的知识点对应的例题，按理说没有必要再举例，但本书还是写了。这是为什么呢？因为我在教学的过程中发现了这样一种现象：就算知识点再简单，讲解得再明白，不举例的话，学生心里多少还是会有一些不踏实，不会将知识点运用到实际做题中。基于此，本书所涉及的知识点都有配套的例题。我是一个标准的“90 后”，痴迷于大学阶段数学类课程，在本科阶段我便利用课余时间给同学们办讲座，帮助他们渡过“期末考试”的难关，在研究生入学考试中，我考出了接近满分的成绩。我在平时的学习和备战考研的过程中总结了一套独有的学习方法，研究生阶段边学习边在各大考研机构讲课、录制视频，希望把自己的学习方法教给更多的人，帮助他们顺利考上研究生。本书的写作过程耗时两年，可以说贯穿了我研究生学习生涯。面对着繁重的学习、授课压力，我挤出时间研究同类书籍、独立编写例题、反复修改书稿、广泛征求意见，终于使得本书顺利出版。谨以此书献给所有需要考研的同学们！凤凰鸣九天，需烈火涅槃；蛟龙纳明珠，需深潜寒潭。春日那“深巷梨花轻闭门，风袅篆烟系柳丝”需要冬日那一季枯老，秋日那“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”需要夏日那暴雨骄阳。祝同学们考研成功！潘 鑫 2015 年 1 月于北京 目 录 第一部分 线性代数 第 1 章 行列式2 1.1 行列式的标志 2 1.2 行列式的本质 2 1.3 行列式的基本计算方法3 1.3.1 特殊行列式的计算3 1.3.2 一般行列式的计算5 1.4 行列式的五条性质7 1.5 克拉默法则10 1.6 矩阵12 1.7 矩阵的运算13 1.7.1 矩阵与矩阵相加13 1.7.2 数字与矩阵相乘13 1.7.3 矩阵与矩阵相乘13 1.8 矩阵的转置15 1.9 方阵、对角矩阵、单位矩阵、逆矩阵16 1.9.1 方阵16 1.9.2 对角矩阵 16 1.9.3 单位矩阵 16 1.9.4 逆矩阵16 1.10 矩阵的向量表示法17 1.11 关于代数余子式的三句话18 1.11.1 第一句话18 1.11.2 第二句话18 1.11.3 第三句话19 1.12 克拉默法则的推论20 1.12.1 第一个充分必要条件21 1.12.2 第二个充分必要条件22 1.12.3 第三个充分必要条件22 1.12.4 第四个充分必要条件22 1.13 关于行列式的两种计算题25 1.13.1 抽象行列式的计算25 1.13.2 具体行列式的计算26 1.14 贯穿考研试题的思维定式37 第 2 章 矩阵39 2.1 矩阵的初等变换 39 2.2 初等矩阵39 2.3 矩阵的秩40 2.3.1 矩阵子式的定义40 2.3.2 矩阵秩的定义42 2.3.3 利用初等行变换来求矩阵的秩42 2.4 第一个大总结46 2.5 第二个大总结47 2.6 矩阵乘法的两条定律49 2.6.1 矩阵乘法满足结合律49 2.6.2 矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律49 2.7 可交换的矩阵相乘特例49 2.8 关于矩阵转置的四个公式49 2.9 关于矩阵可逆的六个公式50 2.10 可逆矩阵、初等变换、初等矩阵、矩阵秩之间的关系及等价矩阵 53 2.10.1 可逆矩阵与初等矩阵的关系53 2.10.2 初等矩阵与初等变换的关系53 2.10.3 初等变换与矩阵的秩的关系54 2.10.4 初等矩阵的逆矩阵55 2.10.5 等价矩阵 56 2.11 分块矩阵及一些知识点的深化 57 2.11.1 分块矩阵57 2.11.2 反对称矩阵57 2.11.3 求一个矩阵的逆矩阵 58 2.11.4 特殊分块矩阵的逆矩阵 61 2.11.5 求一个矩阵的若干次幂 63 第 3 章 向量67 3.1 向量与向量组的基本概念67 3.2 线性表出的概念 67 3.3 线性相关与线性无关的概念68 3.4 最大无关组69 3.5 “向量组的秩”的概念69 3.6 “向量组的秩”与“矩阵的秩”的关系69 3.7 线性表出的推广 70 3.8 等价向量组71 3.9 关于线性相/无关要记的几个结论 71 3.10 方程组的求解 72 VI 小鑫考研嘚吧嘚 考研数学复习全书（数学一）3.10.1 求齐次方程组的通解73 3.10.2 求非齐次方程组的通解 77 3.11 五个重要的定理80 3.11.1 定理 1 80 3.11.2 定理 2 81 3.11.3 定理 3 81 3.11.4 定理 4 84 3.11.5 定理 5 85 3.11.6 真题分析85 3.12 线性表出的本质87 3.13 初等行变换前后相应的列向量组的 线性相关性 87 3.14 与秩有关的八个公式89 3.15 向量空间91 3.15.1 向量空间，基，维数，坐标91 3.15.2 基变换公式92 3.15.3 正交向量，正交矩阵，正交化94 3.16 线性相/无关的证明题99 3.16.1 方法 1 99 3.16.2 方法 2 99 第 4 章 解线性方程组102 4.1 求两个方程组的公共解102 4.2 同解方程组的证明104 4.2.1 方法 1104 4.2.2 方法 2105 4.3 已知齐次方程组的基础解系，反求齐次方程组 107 4.4 线性方程组解的性质107 4.5 由方程组中参数的取值判断解的类型110 4.6 已知方程组解的类型，求方程组中的参数113 第 5 章 特征值、特征向量、相似矩阵115 5.1 特征值、特征向量的基本概念115 5.2 特征值、特征向量的计算方法115 5.3 对称矩阵、正交矩阵的复习118 5.4 矩阵有多少个特征值为零119 5.5 相似矩阵120 5.6 对角化120 5.7 合同矩阵120 5.8 证明两个矩阵有相同的特征值121 5.9 几个需要记住的结论122 5.9.1 结论 1122 5.9.2 结论 2122 5.9.3 结论 3122 5.9.4 结论 4123 5.10 与特征向量有关的证明题通常 会用到反证法 123 5.11 由 A 的特征值、特征向量推 A 的 多项式的特征值、特征向量124 5.12 怎样的方阵可以对角化125 5.13 若方阵可以对角化，及 P 怎么求128 5.14 关于相似矩阵的五个小结论132 5.15 实对称阵的两个来自不同特征值的 特征向量必正交132 5.16 实对称阵一定可以相似于对角矩阵133 5.17 实对称阵一定可以合同于对角矩阵138 第 6 章 二次型141 6.1 二次型的定义141 6.2 二次型的对应矩阵141 6.3 利用矩阵乘法来表示二次型142 6.4 标准形143 6.5 规范形143 6.6 化二次型为标准形143 6.7 合同二次型144 6.8 正定二次型、正定矩阵144 6.9 用正交变换法化二次型为标准形 144 6.10 用配方法化二次型为标准形148 6.11 两个对称矩阵合同的充分必要条件150 6.12 正定二次型、正定矩阵的证明方法151 6.12.1 正定矩阵的证明方法151 6.12.2 正定二次型的证明方法 154 第二部分 高等数学 第 1 章 极限与连续156