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高等职业教育公共基础课规划教材文 科 数 学杨伟传 编著内 容 简 介本书立足于高等教育(含高等职业教育)文科类专业学生的数学素养培养和学生综合能力培养而编写,主要内容包括数学精神、思想方法、数学文化、常见统计量、函数与极限、导数与微分等。同时,在附录中分别介绍生活中常见数学问题以及一些数学家的生平业绩和思想品质。本书可作为应用型本科院校、高等职业院校人文科学和社会学各专业的教材,也可作为数学爱好者的有益读本。未经许可,不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有,侵权必究。图书在版编目(C I P)数据文科数学/杨伟传编著.-北京:电子工业出版社,2 0 1 5.1 2I S B N9 7 8-7-1 2 1-2 7 8 0 5-1.文.杨.高等数学-高等职业教育-教材.O 1 3中国版本图书馆C I P数据核字(2 0 1 5)第2 9 6 0 7 2号策划编辑:朱怀永 特约编辑:徐 堃责任编辑:朱怀永印 刷:装 订:出版发行:电子工业出版社北京市海淀区万寿路1 7 3信箱 邮编 1 0 0 0 3 6开本:7 8 71 0 9 2 1/1 6 印张:1 3.5 字数:3 4 5千字版次:2 0 1 5年1 2月第1版印次:2 0 1 5年1 2月第1次印刷定价:3 0.8 0元凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题,请向购买书店调换,若书店售缺,请与本社发行部联系,联系及邮购电话:(0 1 0)8 8 2 5 4 8 8 8。质量投诉请发邮件至z l t s p h e i.c o m.c n,盗版侵权举报请发邮件至d b q q p h e i.c o m.c n。服务热线:(0 1 0)8 8 2 5 8 8 8 8。前 言 文科数学是面向高等应用型本科和高等职业院校文外艺体等人文科学和社会科学各专业学生文化素质教育的一门基础课,它对学生思维能力的培养、聪明智慧的启迪以及创造能力的开发,都起着一定的作用。多年以来,在高等职业院校中一直都有人在争论是否要开设高等数学课程这个问题,课时也已经压缩再压缩了,更谈不上高等职业院校文科专业中开设公共数学课程。编者所在的江门职业技术学院本着对高等数学与众不同的认识,没有更多的争论,只是实实在在地开展工作,所以自2 0 0 7年开始,就在所有专业开设高等数学课程,并分为理工类专业高等数学、经管类专业高等数学和文外艺体专业高等数学,本教材正是系列配套教材之一。人类的文明进步和社会发展,无时无刻不受到数学的恩惠和影响,数学科学的应用和发展牢固地奠定了它作为整个科学技术乃至许多人文学科的基础的地位。当今时代,数学正突破传统的应用范围向几乎所有的人类知识领域渗透,它和其他学科的交互作用空前活跃,越来越直接地为人类物质生产与日常生活做出贡献,也成为其掌握者打开众多机会大门的钥匙。数学是研究数量关系和空间形式的科学,它是科学和技术发展的基础,其严密性、逻辑性和高度抽象的特点,使得它有广泛的应用性。数学对学生思维能力的培养、聪明智慧的启迪以及创造能力的开发都起着重要作用。数学是一种语言,随着数字化生存方式的发展,极限、变化率、概率、图像、坐标、优化和数学模型等数学词汇的使用越来越频繁。人们在思维、言谈和写作中,在文化创造和日常生活中将会越来越多地应用数学的概念和词汇。数学是各类学科和社会活动中必不可少的工具。数学的作用与日俱增,如果仅仅了解中学里所学的那些数学知识,就显得很不够了。让文科学生熟悉并运用数学思想和数学语言,正是开展高职文科数学教学和编写教材的一个重要目的。如何编写一本符合我国中学生基础的、内容的广度和深度恰当的,形式又能被文科大学生欢迎的高等数学教材,是一个长期探索的过程。我们只是做了一些努力。首先,在内容的取舍上,我们确定了“二常”的原则,即常见、常用为主线。例如,电视等媒体常见的发展速度、同期增长率、环比增长等统计知识,写得浅一些,但又要有实在的内容,使学生能从教材中学到一些高等数学的知识,得到一些能力的训练。其次,我们希望学生对重要的数学思想、概念和方法有所了解,能够运用传递和接收信息的基本语汇,对推理、判断、论证和演算的能力要有所提高,但在技巧方面及习题难度上都不做过高的要求。最后,结合数学人物、数学典故、数学趣闻、数学文化、数学历史,在表达形式上丰富多彩,提高学生学习的积极性。本书建议学时为3 6学时,主要针对高职高专文外艺体类等专业使用。本书共分为八章,包括第一章,数学的内容与意义;第二章,数学的魅力和应用;第三章,数学史与数学文化;第四章,数学思想方法;第五章,数学推理;第六章,常见基本统计量;第七章,微积分的基础 函数与极限;第八章,微积分的核心 导数与微分。在使用本书进行教学时,任课教师可根据学时数和学生的基础增加或删减一些内容,使教学活动更加有效。在本书正式出版之际,我们要感谢电子工业出版社的编辑们,是他们的辛勤劳动使本书得以早日与读者见面。限于作者的学识与水平,本书的缺点和疏漏在所难免,敬请专家和读者批评指正。编著者 杨伟传二一五年十月文科数学目 录 第一章 数学的内容与意义1第一节 什么是数学1第二节 数学素养1 1第三节 文科学生为什么要学习数学1 5第四节 如何学好文科数学1 8习题一2 0数学家的故事(1)2 1第二章 数学的魅力和应用2 5第一节 数学的魅力2 5第二节 数学的语言3 0第三节 数学的应用3 6习题二4 0数学家的故事(2)4 2第三章 数学史与数学文化4 7第一节 历史上的三次数学危机4 7第二节 田忌赛马与运筹学5 0第三节 海岸线的长度问题5 4第四节 有限与无限5 8第五节 韩信点兵与中国剩余定理6 1习题三6 6数学家的故事(3)6 7第四章 数学思想方法7 1第一节 函数与方程7 2第二节 转化与化归7 5第三节 分类讨论8 0第四节 数形结合8 2习题四8 6数学家的故事(4)8 6第五章 数学推理9 0第一节 演绎推理9 0第二节 归纳推理9 3第三节 类比推理9 7第四节 分析与综合1 0 1习题五1 0 3数学家的故事(5)1 0 7第六章 常见基本统计量1 1 0第一节 平均指标1 1 0第二节 水平指标与速度指标1 1 8习题六1 2 8数学家的故事(6)1 3 1第七章 微积分的基础 函数与极限1 3 4第一节 函数的概念1 3 4第二节 极限的概念1 4 1第三节 极限的运算1 4 5习题七1 4 8数学家的故事(7)1 5 1第八章 微积分的核心 导数与微分1 5 4第一节 导数的概念1 5 4第二节 导数的运算1 5 8第三节 导数应用初步1 6 1习题八1 6 6数学家的故事(8)1 6 8附录A 生活中常见数学1 7 1附录B 数学史上2 4道智力经典名题欣赏与思考1 8 7附录C 练习答案1 9 1参考文献2 0 6文科数学第一章 数学的内容与意义内容提要:在日常生活中,数学无处不在,人们常常不去深究数学是什么、叫什么。特别是进行更深入的专业化学习时,往往把数学遗忘了。事实上,即使我们之前学习数学知识不是那么多、那么透,也在刻意与不刻意中使用数学,特别是那些使人终身受用的数学思维方法。本章介绍什么是数学、数学素养,文科学生为什么要学习数学和如何学习数学;让大一文科类专业学生进一步了解数学的含义,数学素养对人的影响,数学在各个领域的应用,数学在现实生活中的重要性,对文科生学习数学的重要性进行深入的诠释,并对如何学好数学提出建议。第一节 什么是数学一、数学定义的不同描述 尽管每一个人的日常生活都离不开数学,“数学”对每一个人来说,似乎是很熟悉的,但很多学数学的人,很少去深究“数学”是什么,很难从定义上说清楚“数学”这个概念。很多版本的教材或书本选用恩格斯描述的数学定义:数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。但是,随着现代科学技术和数学科学的发展,“数量关系”和“空间形式”具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。进入信息时代,数学迅猛发展。“混沌”、“分形几何”、“数理逻辑”等新的数学分支,似乎不能包含在上述定义中。人们在寻找数学的新“定义”。事实上,要给数学下定义,不那么容易。至今难以有关于“数学”的、大家取得共识的“定义”。目前,比较多的数学定义说法来自方延明的 数学文化,有1 5种之多,包括万物皆数说、符号说、哲学说、科学说、逻辑说、集合说、结构说(关系说)、模型说、工具说、直觉说、精神说、审美说、活动说、艺术说、创新说等。分别简述如下。1.万物皆数说万物皆数,是说数的规律是世界的根本规律,一切都可以归结为整数与整数比。“万物皆数”可追溯到毕达哥拉斯(公元前约5 8 05 0 0)。他精通数学,热心探讨数与现实世界的关系。他发现发出谐音的琴弦长度之比是整数比。他认为球和圆是最完美的几何图形,所以大地应该是球形的,行星应该做圆周运动。毕达哥拉斯学派主张:数是万物之本源,有了数才有点,有了点才有线、面、体,有了这些几何形体才有宇宙万物。总之,万物皆数!万物皆数代有传人。古希腊的另一位先哲柏拉图(公元前4 2 73 4 7)认为:造物主是数学家,根据几何原理建造宇宙。当时已知五种正多面体,柏拉图将构成万物的四元素火、土、气、水分别对应于四面体、六面体、八面体、二十面体,宇宙则对应于最接近球形的十二面体。天文学家开普勒(1 5 7 11 6 3 0)说:“几何学在上帝创造万物前就已存在,为上帝创世提供了模型。”开普勒提出:金、木、水、火、土加上地球这六大行星,其圆形轨道位于六个以太阳为中心的同心球面上,以上述五种正多面体之表面作为六个球面之间的支撑,构成太阳系的几何模型。他根据第谷(1 5 4 61 6 0 1)对行星运动的观测数据,试图证实这个上帝创造的完美模型未果。十六年后,开普勒终于发现行星运动三定律,证明行星轨道不是圆形的而是椭圆形的。几何化即数学化。爱因斯坦创立广义相对论,揭示引力的本质是空间(及时间)的弯曲,是为引力几何化;他继而致力于统一场论,试图将电磁作用几何化。寻求“万物之理”者继承了几何化的基本思想,弦论、圈论、旋子论、扭子论、先子论等诸论者,均试图以不同形式将四种作用力连同宇宙万物几何化。几何论形,数形一体,几何化即数学化,万物皆数触及宇宙万物之本源。“数之现实”。麻省理工学院物理学教授泰格马克著文题为“数之现实”,提出“数之宇宙假说”物理现实是数学结构,不是数学描述宇宙,而是宇宙即数学。他将物理学理论分为两部分,一是数学方程,二是人根据自己的理解将方程与现实相联系。泰格马克认为后者是无用的累赘,他说:宇宙中的一切都是数学方程,包括你在内。将想象力发挥到极致,也不明白血肉之躯怎么会变成数学方程。万物皆数者辩解道:“万物之理找到后,宇宙万物统统都几何化了,你就会明白,血肉之躯无非是按数学方程构成的几何形体之组合。”言之过早,容后再议。8 0-1=7 9,汞就变为金。“数代表量,除量以外还有质,万物皆数岂不是否定了质。”万物皆数论者并不服气,辩解说:“关键在于质是什么。炼金术家试图将汞化为金,他们失败了,因为两者之质不同。查元素周期表可知:金的原子核具有7 9个质子,汞的具有8 0个质子。用加速器从汞原子核中击出一个质子来,8 0-1=7 9,汞就变为金,这是科学的现代炼金术。汞和金的差别,其实只是8 0和7 9数的差别。可见万物皆数已包含了质。”爱情无非是两串互相契合的0与1数码而已。驳者突发奇想冒出一句:“爱情也可以数量化吗?”辩者笑道:“当然可以!爱情是大脑中的信息过程,两情相悦即双方的信息过程合拍。大脑包含约一千亿个神经元,每个神经元有一千到一万个突触与其他神经元相连接,构成无比复杂的神经网络,大脑中的信息过程体现为由0和1组成的二元数码在网络中环流。爱情无非是两串互相契合的0与1数码而已。”辩论并未结束。万物究竟是否皆数?它涉及科学、哲学和社会人文的方方面面,许多问题值得深究。2.符号说符号说认为数学是一种高级语言,是符号的世界。符号说(希尔伯格)认为:“算术符号是文化的图形,而几何图形是图像化的公式;没有一个数学家能缺少这些图像化的公式。”人