圆之吻——有趣的尺规作图.pdf

内 容 简 介 本书是一本讨论平面几何的核心问题尺规作图的专著。在简要介绍了点、线、面、角、圆以及线段的平行和垂直等基本概念和定义后，重点讨论在人们的日常生活和生产劳动中经常需要的许多图形的作图方法，以正规的尺规作图为主，兼及单尺、单规、锈规等非常规的尺规作图。本书内容丰富、有趣、既具有实用价值，又能启发思维。可供广大数学爱好者学习，也可作为中学生学习数学的辅助读物。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 圆之吻：有趣的尺规作图/莫海亮编著.北京：电子工业出版社，2016.2 ISBN 978-7-121-27672-9.圆.莫.几何学普及读物.O18-49 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2015）第 285528 号 策划编辑：徐云鹏 责任编辑：郝黎明 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7201 000 1/16 印张：14.25 字数：273.6 千字 版 次：2016 年 2 月第 1 版 印 次：2016 年 2 月第 1 次印刷 印 数：3 000 册 定价：49.80 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。服务热线：（010）88258888。前言 数学的研究对象可以概括为“数”和“形”两大类。无论是“数”还是“形”，都是和人们的日常生活和生产活动紧密相连的，这就不难理解为什么数学成了人类最早涉足的科学领域，具有悠久的历史和辉煌的成绩，并成为其它科学发展的基础。在研究“形”这部分数学中，尺规作图已有两千多年的历史。它起源于古希腊，内容非常丰富，对推动数学发展作出了很大贡献，在数学史上占有重要的地位。其实用价值虽然因为各种现代绘图工具的出现，尤其是计算机诞生以后各种绘图软件的出现而下降，但在锻炼人们的逻辑思维能力方面，其作用仍不容低估。因此在世界各国，尺规作图始终是中学生必须学习和掌握的重要内容，是衡量学生综合素质的一个重要指标。在尺规作图里，解和最优解是两回事，为了获得最优解，往往需要更高深的数学知识，这使尺规作图充满魅力。另外，一些尺规作图难题蕴含的数学原理比较高深（如锈规作图），至今尚未完全被解决，所以这门古老的数学依旧充满青春活力，吸引一代又一代的人努力探索，推动着数学继续向前发展。本书是有关尺规作图的综合性科普读物，供对此有兴趣的科技人员阅读，也可作为学生用以扩大知识面的课外读物。本书分十二章，前五章介绍尺规作图，这是尺规作图的基础，也是本书的重点；第六章到第八章分别介绍单规作图、单尺作图、锈规作图，这些是尺规作图的主要分支；第九章介绍其他尺规作图，如直尺定规作图、短尺小规作图等，这些分支内容相对较少；第十章近似作图，介绍一些尺规作图不能作出的图形的一些参考近似作法，这类作图不存在对错之分，只有优劣之别；第十一章介绍双边尺和刻度尺作图，这类作图工具超出了尺规作图对工具的限制，已经不属于尺规作图范畴，是人们为了解决一些尺规作图不能 解决的问题而发展起来的作图；第十二章番外篇，介绍一些和尺规作图很像又不太像的另类“尺规作图”。数学常常被认为是既抽象难懂又枯燥乏味的学科，尺规作图也是如此。实际上这仅仅是问题的表面，一旦深入研究，就能体会到其中有无穷趣味。为了不引起大家的审美疲劳，本书侧重介绍一些有趣的尺规作图问题，有兴趣者可自行研究其他作图问题。另外考虑到繁冗复杂的推理证明过程确实会降低读者的兴趣，所以本书所有作图的证明过程一概从略，愿意验证作图正确性的读者可以自行证明，或者用几何画板、AutoCAD 等数学或工程软件按照书中的步骤画出，也不难验证。本书的作图方法绝大多数来自笔者自己多年的研究，少部分作图参考了数学家的方法，重要难题作者在书中有标明。莫海亮 2014 年末于深圳 V 目录 第一章 尺规作图基础知识-1 第一节 尺规作图定义/1 第二节 尺规作图的起源/2 第三节 三大作图难题/3 第四节 作图公法/7 第二章 基本作图-9 第一节 基本作图/9 第二节 基本作图详解/10 第三章 尺规作图-31 第一节 正三角形问题/31 第二节 正方形问题/34 第三节 等分问题/37 第四节 多边形的分割与拼合/38 第五节 其他问题/42 第四章 正多边形尺规作图-44 第一节 基础知识/44 第二节 正多边形尺规作图历史/45 第三节 正多边形尺规作图/47 第五章 圆之吻-76 第一节 反演几何学部分基础知识/76 第二节 作三个相切圆/84 第三节 Soddy 圆/85 第四节 阿波罗尼奥斯问题/86 第五节 余音/116 VI 第六章 单规作图-125 第一节 基础知识/125 第二节 基本作图/126 第三节 正多边形作图/138 第七章 单尺作图-150 第一节 基础知识/150 第二节 基本作图/151 第三节 正多边形作图/158 第八章 锈规作图-168 第一节 基础知识/168 第二节 基本作图/169 第九章 其他尺规作图-176 第一节 松动圆规尺规作图/176 第二节 短尺小规作图/177 第三节 直尺定规作图/179 第四节 短尺定规作图/179 第五节 小规作图/179 第六节 短尺作图/180 第七节 尺规作图结束语/180 第十章 近似作图-181 第十一章 双边尺和刻度尺-187 第一节 双边尺作图/187 第二节 平行双边尺作图举例/188 第三节 刻度尺作图/192 第四节 刻度尺作图举例/193 第五节 结束语/197 第十二章 番外篇-198 第一节 火柴棒几何学/198 第二节 折纸几何学/207 第三节 包络线/213 后记-221 第一章 尺规作图基础知识 人类很早就懂得使用直尺和圆规作为几何作图工具。由于它们简单实用，直到今天，仍然是我们常用的绘图工具。围绕着尺规，便产生了如何用尺规作出复杂的几何图形的问题。第一节 尺规作图定义 只使用无刻度的直尺和圆规这两种作图工具，并且在有限次步骤内解决平面几何作图问题就叫尺规作图，也叫欧几里得作图。尺规作图在英文里叫作Ruler-and-Compass Construction 或 Compass-and-Straightedge Construction。这里需要明确以下四点：（1）尺规作图里的直尺不同于日常使用的普通直尺。普通直尺长度是有限的，而尺规作图中的直尺长度则是无限的，可以连结任意距离的两个点；普通直尺有刻度，而尺规作图中的直尺没有刻度，无法利用刻度作出两段长度相等的线段；普通直尺有矩形特性，可以利用尺子两边作出平行线，尺规作图中的直尺没有矩形特性，它只有一边，无法直接作出两条互相平行的平行线。也就是说，尺规作图里的直尺，只能利用直尺的一边作出不确定长度的线段、无限延长一条线段或连结任意距离的两个点。（2）尺规作图里的圆规，也不同于普通圆规。普通圆规两脚长短是有限的，可以作出的圆的大小总有一个上限。尺规作图里的圆规大小则是无限的，可以作出任意半径长度的圆。（3）尺规作图中只能用一把直尺和一个圆规。当然，有了前面对直尺和圆规的使用限制，多把直尺和圆规也派不了用场。（4）尺规作图的作图过程必须是可以穷尽的，也就是说必须在有限步骤内完成。尺规作图对作图工具限制非常严格，尤其是对直尺的规定，长度无限但既没有刻度又没有宽度并且只有一边，同现实的直尺大相径庭。另外，有些需要人为判断的作图非常困难，甚至是办不到的，例如，两条直线的夹角如果非常小，就很难判断交点在哪里，由此可见，尺规作图是一种理想化的作图，实际上并不存在。我们在实际作图时使用的还是普通的直尺和圆规，但只要我们遵守上述规定，就可以认为是尺规作图。002 第二节 尺规作图的起源 作图是和几何学的兴起联系在一起的，有悠久的历史。“几何学”的英文“Geometry”来自拉丁文“Geometria”，原意就是土地测量，即测地术。相传四千年前，埃及的尼罗河每年洪水泛滥，总是把两岸的土地淹没，水退后土地界限不分明。当时埃及的劳动人民为了重新测出被洪水淹没的土地的地界，每年总要进行土地测量，因此积累了许多测量土地的知识，从而产生了几何学的初步知识。后来希腊人由于跟埃及人通商，从埃及学到了测量与绘画等的几何初步知识。希腊人在这些几何初步知识的基础上，逐步充实并提高成为一门完整的几何学。约公元前 300 年，希腊人欧几里得（见图 1-2-1）把在他以前的埃及和希腊人的几何学知识加以系统地总结和整理，写出了几何原本（Euclids Elements，形成了严密的演绎系统学科，如图 1-2-2 所示为几何原本最早英文版的首页）。大约在 2500 年前，希腊天文学家、数学家伊诺皮迪斯（Oenopides of Chios，约公元前 465 年）提出了两个著名命题：（1）给定直线外一点求作直线的垂线（编入几何原本卷第 11 命题）。（2）求作一角等于已知角（编入几何原本卷第 23 命题）。图 1-2-1 欧几里得 图 1-2-2 英文版几何原本 伊诺皮迪斯提出这两个命题的重要性不在于垂线和角的作出，而是在尺规限制的条件下来解决。在此之前，作图工具不受限制，是随意的。伊诺皮迪斯在解决这两个问题时，首先明确提出只准使用直尺和圆规两种工具，是希腊尺规作图的最早倡导者，以后尺规的限制逐渐成为一种公约，最后总结在几何原本中。为什么对尺规作图的作图工具有这些限制？现在一般认为有三个原因：（1）古希腊数学的基本精神是从尽可能少的原始假设导出尽可能多的结论。003 第一章 尺规作图基础知识 （2）按毕达哥拉斯学派的观点，圆是最完美的图形，直线则是最基本的几何元素，他们认为有了这两样基本的几何对象，应该得出所有几何的内容。（3）古希腊强调数学的思维训练作用而忽视了其实用价值，所以作图工具就有了严格的限制。在我国，相传女娲伏羲（见图 1-2-3）创造了画圆的“规”、画方的“矩”，这里的“矩”是“直角尺”也叫“矩尺”，与直尺不同（见图 1-2-4）。又传说倕是“规矩”和“准绳”的创始人。据史记夏本纪记载，禹（见图 1-2-5）“左准绳，右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽，度九山”，说明当时的“规”和“矩”就已经作为实用的测量及规划工具。墨子（约公元前 468376，如图 1-2-6 所示）所著的墨经，是我国的几何学雏形。图 1-2-3 女娲伏羲 图 1-2-4 矩尺 图 1-2-5 大禹 图 1-2-6 墨子 相比西方，我国比较务实，我国古代的“规”和“矩”，没什么严格的使用规则限制，可作图范围便大大拓宽了，这也导致我国古代的数学未能形成像西方数学那样严密的演绎体系。第三节 三大作图难题 由于尺规作图对作图工具的限制比较严格，所以有的平面几何作图问题无法通过尺规作图解决。历史上有三个比较著名的尺规作图难题曾长期困扰着学术界，004 被称作“三大作图难题”，分别是：（1）三等分角问题，也就是三等分给定的任意角。（2）立方倍积问题，也叫“倍立方问题”，即求作一立方体，使其体积是已知立方体体积的 2 倍。（3）化圆为方问题，求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积。关于这三个问题有这样的故事：三等分角 三等分角 公元前 4 世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；他又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书 75 万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，他邀请著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。一天，公主问侍从：“从北门到我