应用数学与数学文化.pdf

高等职业教育“十三五”规划教材 高等职业教育公共基础课规划教材 现代职业教育研究院规划项目 ZYK2016-FZZ05 应用数学与数学文化 田治平 王德华 夏德昌 编著 内 容 简 介 将传统高等教学知识与（机械）问题相结合，以问题驱动的方式呈现，将实现以往高职教材的再创新，提高数学教学的效果。本书主要内容包括：函数的极限与连续，一元函数微分学及应用，不定积分，定积分及其应用，微分方程，线性代数，概率统计初步。本书可作为职业院校“高等数学”课程教材，也可作为应用型本科及成人学习用书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 应用数学与数学文化/田治平，王德华，夏德昌编著.北京：电子工业出版社，2018.8 ISBN 978-7-121-34170-0.应.田 王 夏.应用数学高等学校教材数学文化高等学校教材.O29O1-05 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2018）第 088275 号 策划编辑：朱怀永 责任编辑：裴 杰 印 刷：北京虎彩文化传播有限公司 装 订：北京虎彩文化传播有限公司 出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16 印张：19 字数：486.4 千字 版 次：2018 年 8 月第 1 版 印 次：2018 年 8 月第 1 次印刷 定 价：44.80 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，（010）88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（010）88254608，。前 言 数学不仅是一种知识，也是一种素质，即数学素质；数学不仅是一种工具，也是一种思维，即理性思维；数学不仅是一门科学，也是一种文化，即数学文化。目前，人类进入信息时代，数学正悄无声息地走进人们的生活，引领科技的发展，推动社会的进步。可以说，信息时代本质上是数学时代，信息技术本质上是数学技术，使用数学的程度甚至成为衡量国家科学技术进步的主要标志。目前，高等职业教育快速发展，伴随着发展也产生了诸多前所未有的一系列问题，高职数学的教育问题首当其冲受到影响，如缺乏与本校人才培养目标高度适应的教材，培养目标及学生的差异使高职院校呈现传授与接受的“脱节”，教师教得辛苦，学生学得艰难，相当多的学生“学不会，用不了”，教学效果事倍功半。进入 2017 年以来，山东科技职业学院以争创国家优质高职院校为统领，不断推进学院创新发展、特色发展，融合发展、共享发展、开放发展，进一步凝练了“知识传授，技能训练，创新实践，素质养成，价值积累”五位一体的人才培养体系，强调的是学生的专业能力、通用能力（主要指社会能力与方法能力，也称为关键能力）与职业素质的有效融合、共同发展。在数学教育方面，笔者认为，“五位一体”的要素就是要完善数学课堂的“知识传授，数学技能实训与数学应用实训，素质培养”，让学生真正地深入学习并有效地提升其综合素质与能力。应用数学与数学文化是山东科技职业学院多年来数学教学改革后的系列校本教材之一，是学院的重点建设教材。本教材的编写思路是：通过分析高等职业教育机电（机械）类人才培养的普适性和培养对象的差异性，吸收国内外高等职业教育数学教学研究与改革的最新成果，从专业应用和素质培养的视角，采用“机电（械）专业问题与数学建模引入基本知识点与专业案例融合课堂综合实训设置释疑问答专节”的体例编写。编写原则：定位高职、注重直观、弱化抽象、淡化技巧、强化应用、重在素质培养，关注“学历补充”和“接续培养”。从教材功能上看，主要有三方面：知识传授；课堂综合实训专业应用实训、数学实验实训，素质培养；基本概念与方法的综合分析释疑。从内容上看，包括微分学、积分学、概率与统计、线性代数、常微分方程、数学文化六大模块。该教材以数学教学改革成果为突破点实现了教材体系向教学体系的转换，主要体现在“与专业深度融合、课堂综合实训、数学能力与素质提升的问题驱动”的教学模式。本书的主要特色如下。1本书吸收了国内外近年来数学教学研究与改革的最新成果。2本书每章节开头首先从数学文化角度介绍相关知识点的起源与发展，然后引入专业问题与数学模型，将专业问题和数学建模思想融入教材。3本书章节中主要知识点与专业问题相机融合，有效的专业问题设计能驱动学生对相关知识的理解和建构。4每个模块还单独设有“应用实训”一节。集中实践本章主要知识点在机电、机械专业及实际生活中的应用，强化学生数学知识的运用能力。5关注学生在“学历补充”和“接续培养”等方面的需求，本书把每个模块中的重点、难点和容易产生疑惑的地方以问题驱动的方式呈现，即设置释疑问答专节。激发学生对数学知识探究的乐趣，培养其自主学习的能力。6本书还重点介绍当今数学技术应用与发展、数学品质、数学历史等数学文化，且贯穿融合于课程的始终。同时，有关知识点还与企业文化相机结合。通过这两项举措，可有效地提升学生的数学素养与职业素质。参与本书编写的人员都是在高校从事高等数学教学与机电（械）专业教学 10 多年的一线优秀教师，经验丰富，编写的内容有许多地方都体现了他们的教学心得与体会。该教材对于缺乏数学辅导教师的数学爱好者及理工科学生非常合适。本教材由田治平、王德华、夏德昌编著，全书由田治平教授总体策划，王德华、夏德昌负责组织，具体编写分工如下：王德华、梁宏昌、周玉霞（电学教授）、李江红负责第一、二模块的编写；夏德昌、高玉静、苏建国（电学教授）、王金平教授负责第三、四模块的编写；李本图、杨燕飞、沈铁宏（机械学教授）负责第五模块的编写；田治平、施桂萍、沈铁宏负责第六、七模块的编写。由于教材对高等数学内容调整幅度较大，缺乏应有的系统性，书中难免存在疏漏和不足，恳请读者批评指正。编 者 2018 年 5 月 目 录 第一模块 函数的极限及连续.001 第一节 函数的起源与发展.001 第二节 函数变量之间依存关系的数学模型.003 第三节 应用实训.013 第四节 释疑问答.016 第五节 数列的极限.018 第六节 无限变化的函数模型函数极限.024 第七节 无穷小量与无穷大量.028 第八节 极限的算术化四则运算.032 第九节 两个重要极限.036 第十节 函数的重要特性连续性.039 第十一节 释疑问答.046 第十二节 拓展实训.051 第二模块 一元函数微分学及应用.053 第一节 微分的发展与应用.053 第二节 函数的局部变化率导数.055 第三节 求导法则.061 第四节 函数的微分及应用.065 第五节 微分中值定理.068 第六节 计算未定式极限的一般方法洛比达法则.071 第七节 函数的性态分析函数的单调性与极值.074 第八节 函数性态的进一步分析函数的最值、凹凸性与曲率.080 第九节 应用实训.088 第十节 释疑问答.093 第十一节 拓展实训.096 数学实验二 Mathematica 在求函数的导数中的应用.097 第三模块 微分的逆运算不定积分.099 第一节 积分的发展与应用.099 第二节 不定积分的概念与性质.100 应用数学与数学文化 VI 第三节 直接积分法.103 第四节 第一类换元积分法（凑微分法）.106 第五节 分部积分法.109 第六节 应用实训.112 第七节 释疑问答.114 第八节 拓展实训.116 数学实验三 Mathematic 在不定积分中的应用.118 第四模块 求总量或变化量的问题定积分及其应用.119 第一节 定积分的概念.121 第二节 定积分的性质.125 第三节 牛顿-莱布尼茨公式.129 第四节 定积分的计算.133 第五节 应用实训.137 第六节 释疑问答.145 数学实验四 Mathematic 在定积分中的应用.147 第五模块 微分方程.149 第一节 微分方程的发展与应用.149 第二节 微分方程的基本概念.150 第三节 一阶微分方程.154 第四节 应用实训.159 第五节 释疑问答.165 数学实验五 Mathematic 在微分方程中的应用.169 第六模块 线性代数.171 第一节 线性代数的发展与应用.171 第二节 行列式的概念.172 第三节 行列式的性质.178 第四节 行列式的计算.182 第五节 克莱姆法则.185 第六节 行列式部分测试题.188 第七节 矩阵的概念与运算.191 第八节 矩阵的初等变换与矩阵的秩.199 第九节 逆矩阵.203 第十节 矩阵部分测试题.206 第十一节 线性方程组的解法.209 第十二节 线性方程组解的判定.213 目 录 VII 第十三节 应用实训.215 数学实验六 Mathematica 在求解行列式中的应用.225 第七模块 概论统计初步.227 第一节 概率论的起源与应用.227 第二节 随机事件.229 第三节 概率的统计定义与性质.234 第四节 概率的常用公式.240 第五节 事件的独立性与伯努利概型.243 第六节 随机变量及其分布.246 第七节 随机变量的期望和方差.257 第八节 概率统计初步测试题.263 第九节 应用实训.267 第十节 释疑问答.270 附录 A 标准正态分布数值表.274 附录 B x2分布数值表.276 附录 C 常用积分公式.277 附录 D 中学数学常用公式.286 参考文献.292 第一模块 函数的极限及连续 自然这部大书只能被那些通晓其中叙述语言的人所阅读这种语言正是数学 伽利略（Galilei，15641642），意大利物理学家、数学家【学习要求学习要求】理解函数的起源与概念，掌握函数的表示方法与基本初等函数的图像性质；理解极限思想的起源与发展、掌握极限的概念及运算法则和求极限的方法；理解函数的连续性概念及性质，掌握函数连续性的判断理解电学与机械学中常用函数所具有的性质及实际意义 第一节 函数的起源与发展 一、函数的起源与发展（1）现在使用的函数一词由德国数学家莱布尼茨首先提出并使用.Gottfried Wilhelm Leibniz（16461716 年），德国自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643 年1727 年）同为微积分的创建人，是第一个公开微积分方法的人，并且精心设计了非常巧妙简洁的微积分符号，沿用至今；牛顿是被确认早于莱布尼茨使用微积分的人（2）瑞士数学家欧拉（17481755 年）在数学著作中多次刻画过函数的概念，现在使用的函数符号()yf x就是欧拉首先提出并使用的 Leonhard Euler（1707 年1783 年），他从 19 岁开始发表论文，直到 76 岁他一生共写下了 886 本书籍和论文，其中在世时发表了 700 多篇论文他常常抱着孩子在膝盖上完成论文即使在他双目失明后的 17 年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和 400 余篇论文当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世欧拉是数学符号的发明者，他创设的许多数学符号，例如，i，e，sin，cos，tg，f(x)等等，至今仍在沿用（3）法国数学家柯西在 1821 年，柯西著作中指出：当变量之间联系起来的时候，若给定其中一个变量的值，其他变量的值就随着确定下来，这时这个变量就成为自变量，其他量就叫做这个自变量的函数柯西不仅给出了函数的文字定义，而且给出了自变量的定义 Cauchy，Augustin Louis（17891857 年）在数学领域，有很高的建树和造诣很多数学的定理和公式也都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式（4）1837 年，德国数学家狄利克雷首先用单值对应的思想提出了新的函数定义：如果对于给定的区间上的每一个 x 值，有唯一的 y 值同它对应，那么 y 就是 x 的函数 Dirichlet，Peter Gustav Lejeune（18051859 年）对数论、数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一1837