线性代数同步练习与提高.pdf

内 容 简 介 本书是与科学出版社出版的线性代数简明教程（第二版）（陈维新 编著）相配套的学习辅导用书，主要面向使用该教材的学生，也可供使用该教材的教师作为参考。本书分三大部分：第一部分为线性代数同步练习，根据线性代数简明教程（第二版）的章节顺序和教学进度，选出适量的习题供学生练习；第二部分为提高篇，包括按章节内容的提高题和综合提高题；第三部分为综合练习，可以为同学们复习迎考提供借鉴，同时也可为教师命题提供参考。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 线性代数同步练习与提高/涂黎晖，王聚丰，李莎莎主编北京：电子工业出版社，2018.2 ISBN 978-7-121-31968-6.线.涂 王 李.线性代数高等学校教学参考资料.O151.2 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2017）第 139726 号 策划编辑：章海涛 责任编辑：裴 杰 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16 印张：20.5 字数：268.8 千字 版 次：2018 年 2 月第 1 版 印 次：2018 年 2 月第 1 次印刷 定 价：30.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：192910558（QQ 群）。前 言 线性代数课程是高等学校工科类、经管类以及农林类等专业的一门重要数学基础课。通过该课程的学习后，能否用数学的思维、方法去思考、推理，以及定量分析一些自然现象和经济现象，是衡量大学生文化素质的重要标志，数学素养在培养高素质人才中有着不可替代的重要作用，本书编写的目的之一就是为了能更好地帮助读者得到这方面训练。本书是与科学出版社出版的线性代数简明教程（第二版）（陈维新 编著）相配套的学习辅导用书，主要面向使用该教材的学生，也可供使用该教材的教师作为参考。本书分三大部分：第一部分为线性代数同步练习，根据线性代数简明教程（第二版）的章节顺序和教学进度，选出适量的习题并留有解题空间可作为作业供学生练习，同时也为老师批阅和学生复习提供了方便；第二部分为提高篇，包括按章节内容的提高题和综合提高题。在原有的习题难度基础上，结合教材内容和考研大纲筛选出具有一定综合性的习题，并给出了详细的解题思路和解答过程，有的还提供了多种解法，该部分可作为学有余力的学生提高数学解题能力的参考用书；第三部分为综合练习，其实也是线性代数课程的考试样卷，可以为同学们复习迎考提供借鉴，同时也可为教师命题提供参考。本书的编写自始至终得到浙江大学宁波理工学院领导的支持和关怀，数学所的许多老师对各章节习题进行了筛选、演算和校正，并提出了很多宝贵的意见，编者在此一并向他们表示衷心的感谢。科学出版社出版的线性代数简明教程（第二版）（陈维新 编著）在浙江大学宁波理工学院和其他一些院校使用已经十多年，编写与该教材配套的同步练习和提高是我们多年的心愿，现将长期教学实践积累的点滴写出来，为读者对线性代数课程的学习带来更多的方便。由于我们对编写此类书缺乏经验，加之编者水平有限，书中难免会存在不足和疏漏之处，恳请同行和读者批评指正。编者 浙江大学宁波理工学院 符 号 表（按教材中出现顺序排列，页码指教材的页码）符号 意义 P 数域 Q 有理数域 R 实数域 C 复数域 Z 全体整数 i1i2in n 阶排列(i1i2in)排列 i1i2in的逆序数 111212122212.=.nnijnnnnnaaaaaaaaaa n阶行列式 1 2n.j jj对所有n阶排列j1j2jn求和 DT 行列式D的转置行列式 RikRj 行列式（矩阵）第i行加上（减去）第j行k倍 CikCj 行列式（矩阵）第i行加上（减去）第j行k倍 连加号 Mij 行列式元素aij的余子式 Aij 行列式元素aij的代数余子式 D(a1，a2，an)n阶范德蒙行列式 II 连乘号 111212122212.=.nnijm nnnnnaaaaaaaaaa mn矩阵 A（A 的）增广矩阵 Rij（Cij）矩阵第i行（列），第j行（列）互换 kRi（kCi）矩阵第i行（列）乘k 秩（A）矩阵 A 的秩 AB A 成立可推出 B 成立 AB A 成立的充要条件为 B 成立 续表 符号 意义|A|方阵 A 的行列式 O（0mn）零矩阵 A 矩阵 A 的负矩阵 E（En）单位矩阵（n阶单位矩阵）E（En）数量矩阵（n阶数量矩阵）diag1，2，n 对角矩阵 Ak 方阵 A 的k次方幂 f(A)矩阵多项式 AT（A）A 的转置矩阵 Eij 矩阵单位 trA A 的迹 A-1 A 的逆矩阵 A*A 的伴随矩阵 111212122212qqPPPqAAAAAAAAA 分块矩阵 E(i，j)初等矩阵（互换）E(i(k)初等矩阵（倍乘）E(i+j(k)，j)初等矩阵（倍加）O=0，0，0T 零向量 的负向量 Pn n元向量空间 Rn 实向量空间 dimV 向量空间 V 的维数(，),的内积 a 实向量 的长度 与 相交 0W 属于0的特征子空间 fEAA 的特征多项式 k k阶顺序主子式 VII 目 录 第一部分 线性代数同步练习 第 1 章 行列式同步练习.2 1.1 数域与排列.2 1.2 行列式的定义.4 1.3 行列式的性质.9 1.4 行列式的按行（列）展开.14 1.5 克拉默法则.18 第 2 章 线性方程组同步练习.21 2.1 消元法.21 2.2 矩阵的秩.23 2.3 解线性方程组.26 第 3 章 矩阵同步练习.30 3.1 矩阵的运算.30 3.2 可逆矩阵.37 3.3 矩阵的分块.41 3.4 矩阵的初等变换和初等矩阵.44 3.5 矩阵的等价和等价标准形.47 第 4 章 向量同步练习.50 4.1 定义及其背景.50 4.2 向量的线性关系.51 4.3 向量组的极大线性无关组和矩阵的秩.54 4.4 线性方程组解的结构.56 第 5 章 向量空间同步练习.60 5.1 基和维数.60 5.2 子空间.62 5.3 RN的内积和标准正交基.64 第 6 章 矩阵的相似特征值和特征向量同步练习.67 6.1 矩阵的相似和对角化.67 6.2 特征值和特征向量.68 6.3 矩阵相似的理论和应用.71 VIII 6.4 实对称矩阵的对角化.74 第 7 章 二次型.77 7.1 配方法化二次型为标准形.77 7.2 矩阵理论化二次型为标准形.79 7.3 二次型的规范形.82 7.4 正定二次型.85 第二部分 提高篇 第一篇 分章节提高题.90 第 1 章 行列式提高题.90 第 2 章 线性方程组提高题.91 第 3 章 矩阵提高题.96 第 4 章 向量提高题.102 第 5 章 向量空间提高题.105 第 6 章 矩阵的相似特征值和特征向量提高题.106 第 7 章 二次型提高题.111 第二篇 综合提高篇.115 第三部分 综合练习 第一篇 期中考试样卷.136 样卷一 线性代数课程期中考试试卷.136 样卷二 线性代数课程期中考试试卷.140 样卷三 线性代数课程期中考试试卷.144 第二篇 期末考试样卷.149 样卷一 线性代数课程期末考试试卷.149 样卷二 线性代数课程期末考试试卷.154 参考文献.159 部分参考答案.160 第一部分 线性代数同步练习 姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 2 第 1 章 行列式同步练习 1.1 数域与排列 1对一组整数进行四则运算，所得结果是什么数？2写出 4 个数码 1，2，3，4 的所有 4 阶排列.3分别计算下列四个 4 阶排列的逆序数，然后指出奇排列是（）A4312；B4132；C1342；D2314 4计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性.（1）314265；（2）314265789；（3）542391786；（4）987654321；（5）246813579；（6）(1)21n n.姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 3 5在由 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成的下述 9 阶排列中，选择ij与使得：（1）2147 95 8ij 为偶排列；（2）1 25 4896ij为奇排列；（3）412 5769ij偶排列；（3）3142 786ij奇排列.均要求说明理由.6写出全体形如5225 3 及的 5 阶排列。总结一下，有k 个位置数码给定的()n nk阶排列有多少个？姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 4 1.2 行列式的定义 1按行列式定义，计算下列行列式（要求写出过程）：（1）22baba；（2）1loglog1baab；（3）tansin1cos；（4）00000abcd；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 5（5）111111111；（6）00000abde.2在 6 阶行列式ija中，下列项应该取什么符号？为什么？（1）23314256 1465a a a a a a；（2）324354 11 6625a a a a a a；（3）21 53 16426534a a a a a a；（4）51 1332442665a a a a a a.姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 6 3当i _，k=_时13242553ika a a a a成为 5 阶行列式ija中一个取负号的项，为什么？4若(4 1 5)(12345)41213455(1)k ikia a a a a是 5 阶行列式ija中的一项，则当i _，k=_时该项的符号为正，当i _，k=_时该项的符号为负，为什么？5写出 4 阶行列式ija中包含因子4223a a的项，并指出正负号.6写出 4 阶行列式ija中所有取负号且包含因子23a的项.姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 7 7按行列式定义，计算下列行列式（4）中1n，并均要求写出计算过程）：（1）1012003ab；（2）000000000000abcd；（3）1234512345121212000000000aaaaabbbbbccddee；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 8（4）11121,1121222,11,11,21000000nnnnnnaaaaaaaaaa.8问111422233233414400000000aaaaaaaa=1122334414233241a a a aa a a a 为什么错？正确答案是什么？9若n阶行列式ijDa中元素ija(,1,2,)i jn均为整数，则D必为整数，这结论对不对？为什么？姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 9 10计算(1)n n 阶行列式0001001001001000.1.3 行列式的性质 1设1112132122233132330aaaaaaaaaaD，据此计算下列行列式（要求写出计算过程）：（1）313233212223111231aaaaaaaaa；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 10（2）111312122123222231333232235235235aaaaaaaaaaaa.2用行列式性质计算下列行列式（要求写出计算过程）：（1）199819992000200120022003200420052006；（2）111abcbcacab；（3）111213212223313233x yx yx yx yx yx yx yx yx y；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 11（4）1001022003304004；（5）111112341410204004；（6）1110110110110111；（7）211411201 10299；姓名：_ 学号：_ 所在院系：_ 所在班级：_ 12