保号WENO-AO型中心迎风格式_郑素佩.pdf

第 卷 第 期 年 月计 算 物 理 ，文章编号：（）收稿日期：；修回日期：基金项目：国家自然科学基金（）、陕西省自然科学基金青年项目（，）资助第一作者：郑素佩（），女，副教授，博士，硕士导师，主要从事科学与工程中的高性能计算技术研究，：通信作者：建芒芒，：保号 型中心迎风格式郑素佩，建芒芒，封建湖，翟梦情（长安大学理学院，陕西 西安）摘 要：证明 （）重构的保号性，确保在单元交界面处重构值的跳跃符号与原始值的跳跃符号保持一致，给出保号性成立的充分条件。重构通过高阶多项式与低阶重构的非线性组合来实现自适应收敛阶，在求解不连续点附近的解时，重构比经典 重构更精确，且具有很好的稳定性。采用中心迎风数值通量，结合时间方向的三阶强稳定 法计算。数值结果表明该格式最高可达五阶精度，且具有分辨率高、鲁棒性强等良好特性，并能够准确地捕捉间断位置，有效抑制伪振荡的产生。关键词：保号性；重构；双曲守恒律方程；中心迎风通量函数中图分类号：；.文献标识码：.引言 双曲守恒律方程的数值求解算法是计算流体力学领域研究的重要内容，若不计粘性和热传导的影响，可压缩流体的流动方程可简化成双曲型方程。一直以来，人们致力于研究如何数值求解双曲守恒律方程，年，等针对双曲守恒律方程和 方程提出了 型半离散中心迎风格式，它是一种高精度、高分辨率格式，该格式的主要优势是：既不需要利用精确的或者近似的黎曼求解器，也不需要考虑特征分解以及通量分裂；使用波的单侧局部传播速度来估计黎曼扇的宽度，使其具备迎风性；在间断位置（如激波区域）的分辨率高，且易于将其推广到多维情形。为了构造高分辨率的数值格式，重构方法需要在不连续处保持符号不变，鉴于此，本文基于中心迎风数值通量以及保号性重构来研究格式的构造。目前，只有很少一部分重构被证明是满足保号性的。等指出（）重构以及在 限制器下二阶（）重构的保号性，但 重构的精度有限。随后，构造了保号的三阶 重构，称为 （）。重构保持了 重构的鲁棒性和高阶精度，使用所有模板的凸组合，消除了相应插值多项式的截断误差，并提高了精度。而 等在满足局部显著跳跃的意义下也证明了三阶 重构的保号性和有界性，构造了高阶保号的 重构。近期，郑素佩等在研究高阶熵稳定格式的过程中证明了三阶紧致（）重构在跳跃间断处满足保号性质，并进一步证明了任意阶紧致 重构的保号性。自适应 重构的核心思想是将一个大的、中心的、高精度的模板和一个低阶的 重构进行非线性组合，既保证自适应收敛阶，又能保持 重构原有的优势，即利用所有模板的凸组合来提高整体精度，在重构过程中会依据模板的光滑性对每个模板分配相应的权重，权重决定了这个模板对最终近似值的贡献，包含间断的模板对应的权重接近于零。相比于经典 重构，但自适应 重构使用相同的模板，精度能达到五阶，在间断附近可避免伪振荡现象产生。自适应 重构的构造过程及权值分配不同于经典 重构。经典 重构一般局限于最优正线性权值的存在，若线性权值为负，则需要对计 算 物 理第 卷权值进行进一步处理，而自适应 重构的优势在于不依赖于最优正权，可以自适应地选取一组和为 的正线性权。本文大模板采用含有 个节点的中心模板，在该模板上构造一个以 多项式为基的五阶多项式，低阶重构选用相对稳定、保号的三阶紧致 重构，两者组合所得的重构称为（，）重构。在不混淆的情况下，将“（，）”省略，简记为 重构。该重构精度可达五阶，在激波等间断区域避免伪振荡现象产生。本文证明 重构的保号性，进而将该重构与低耗散中心迎风格式相结合应用到数值求解中，数值结果表明该格式具有五阶精度，且分辨率高、鲁棒性强。模型方程 考虑如下守恒律方程（），（）其中向量：为守恒变量，向量（）：为通量函数，如果雅可比矩阵（）的所有特征值均为实数且对应的 个右特征向量线性无关，则方程（）称为双曲型守恒律方程。在一维标量情形下，若（）为定常数，则可得最简单的一类双曲守恒律方程 对流方程，可以利用它特殊的初值来检验方法的效果，一般形式如 。（）若（）与 有关，则化为非线性标量问题，常见的方程如 方程，由于非线性方程的解析解很难求得，通常采用数值解法求解，方程常常应用于大气、交通动力学、湍流、化学等领域，其理论研究具有很强的学术价值和实际应用前景。方程的一般形式为（）。（）此外，应用广泛的双曲守恒律方程还有浅水波方程以及欧拉方程等。浅水波方程模拟的是受重力影响的水体，具有如下形式的守恒变量 和通量函数（），其中，和分别表示水的深度和速度，由重力引起的加速度用 （常数）表示，|，（）|。（）另外，方程是计算流体力学领域学者十分关注的模型，它可以被用于可压缩性流体，同时也可以被应用于非压缩性流体，它的数值结果具有重要的工程应用价值，守恒型变量 和通量函数（）的形式如|，（）（）|，（），分别代表气体的密度、速度和压力，是总能，.是理想气体常数，下文会针对以上方程进行数值求解。数值离散方法 在数值离散双曲守恒律方程的过程中会涉及到单元交界面处的变量重构，而变量重构需要满足保号性。引言部分列举了满足保号性质的几类重构，本节证明 重构的保号性，重点给出重构保号性成立的充分条件。方程的离散形式也会在最后给出以便计算。简单起见，将区间划分为均匀网格，为空间步长，记 ，（），以（）（，）表示（，）在网格单元 ，上的网格均值。为了过程的完整性并为下文保第 期郑素佩等：保号 型中心迎风格式号性证明做准备，这里以标量方程为例来简要阐述 重构的实现过程。步骤 构造三阶紧致 重构，求出三个模板 ，分别对应的三个插值多项式（），（），（）。步骤 为了提高重构的精度，构造五阶多项式（）。主要思想是对 多项式进行修正，得到在区间（，）上的一组基，根据这组基以及守恒性要求可以有效地重构任意阶多项式。步骤 计算模板对应的归一化权重。每个模板的线性权重会涉及两个参数，（，），具体形式为（）（），（），（）（），（）且满足 ，进一步可求出每个模板对应的非线性权重，详见文献，这里不再赘述。步骤 计算单元交界面处的重构值。为了保证大模板上函数光滑时大部分贡献来自于大模板，不光滑时来自更稳定的三阶紧致 重构模板，定义重构的 次多项式为（）（）（）（）（），而最终的非线性重构为（）（）（）（）（），同理，可以利用类似的过程重构出 。下面着重讨论该重构保号性成立的条件，根据以上论述，可以得到在单元交界面 处的重构值为 （）（）（）（），（）（）（）（）。（）定义 称离散集 在区间，上存在局部显著跳跃，如果不等式 ，()（）成立。换句话说，即区间，上的跳跃比其他左右相邻两个区间的跳跃要大。定理 如果参数、满足不等式|，（）则五阶（，）重构式（）在跳跃间断处满足保号性和局部有界性，即 。注：，。证明 假设（）的不连续点位于，上，那么离散集 在区间，上的跳跃对应于式（）中的局部显著跳跃，即 ，()，方便起见，令 ，则有，。（）考虑五阶 重构：|，|，计 算 物 理第 卷该重构在单元交界面 处的重构跳跃值为|。对任意的 ，权值满足，根据式（），保号性成立当且仅当 。由于大模板上存在间断点，所以大模板对应的权重趋近于，进而可得 成立的充分条件|，（）又由于，是由参数、所决定的，故上式可进一步表示为|，（）只要保证、满足上述条件，根据三阶紧致 重构的保号性可得 重构的保号性也成立，同时有界性也得到满足。综上所述，当不等式（）或（）成立时，五阶 重构式（）在跳跃间断处满足保号性和局部有界性，即 。对方程（）采用低耗散中心迎风格式进行离散可得（），（）数值通量 为 （）（）|，（），()，（）（）（），（）式中 表示重构多项式在单元 的交界面 处的左右极限值，在不连续面处左右两个方向的局部传播速度可定义为 （）|，（）|，（）|，（）|，（）其中，为雅可比矩阵 的 个特征值且满足 。为了提高整体精度，利用保第 期郑素佩等：保号 型中心迎风格式号的 重构（取 .），基于低耗散中心迎风数值通量对具体问题进行求解，时间方向上采用三阶强稳定 法，最后将该格式（格式）与基于五阶 重构的熵稳定格式（格式）进行比较。数值算例.线性对流方程 为了分析格式的精度及在间断附近解的情况，考虑对流方程（）在区间，上两种不同初始数据的数值结果。）光滑初始条件：（，）（），（）（，）（）|，。（）间断初始条件：（，），。对于具有光滑初始条件式（）的对流方程，表 给出了 ，.时该格式的，误差及其收敛阶，计算结果表明该格式近似达到五阶精度，符合预期效果。表 比较了 时刻 格式和 格式的 误差以及精度，初始条件式（）包含两个一阶极值点，该算例可以用来检测格式在极值点附近的精度，根据表 可得五阶精度的 格式在连续解极值点处精度降到三阶，而 格式达到了五阶，有效地提高了格式在极值点处的计算精度。表 光滑初始条件式（）下线性对流方程的误差及收敛阶 （）.表 光滑初始条件式（）下基于不同重构格式的误差及收敛阶 （）.图（）所示为在周期边界条件下当 ，.时该格式以及熵稳定格式的数值结果与参考解。可以看出该格式有效地改善了数值抹平现象，提高了数值结果的分辨率。图（）给出了格式分别基于保号 重构（简称）和非保号 重构（简称）的数值结果，可得满足保号性的重构在间断处的结果更接近精确解，分辨率更高。图（）是在熵稳定格式下基于以上两种重构的结果，可以看出若重构不满足保号性，则在间断处会产生振荡。.无粘 方程 方程的具体形式见式（），在区间，上计算下面几种初值问题。计 算 物 理第 卷图 间断初始条件下线性对流方程的数值结果 ）光滑初始条件：（，）（），。）间断初始条件：（，），。对于初值连续的问题，取 ，.，.，使用 范数和 范数来计算该格式在 .时刻的收敛阶，结果如表 所示，精度可达五阶，与理论保持一致。对于初值间断的问题，采取周期性边界条件，在区间 ，上取 个网格点，条件数取.，计算 .时的值，如图 所示，新格式计算效果更好，对稀疏波和激波的捕捉准确，且无伪振荡产生。表 光滑初始条件下 方程的误差及收敛阶 .图 间断初始条件下 方程的数值结果 .浅水波方程.溃坝问题 方程如式（）所示，初始条件为（，），（，），在区间，上计算 .时的数值解，空间网格数为，条件数为.，溃坝问题的解析解是由左行稀疏波及右行激波所构成，水深及速度的求解结果如图 所示，可以观察到，该格式能够更精准地捕捉解的结构，有效地抑制了在间断位置附近的过度抹平，具有较高的分辨率。.大型溃坝问题 方程如式（）所示，初始条件为第 期郑素佩等：保号 型中心迎风格式图 溃坝问题的数值结果 （，），（，）。在区域，上选取 个网格单元，条件数定为.，模拟 .时的解。由图 可以看出在间断位置附近新格式的数值解与参考解的误差更小，过渡带很窄，能够精准识别解的结构，达到预期效果，进一步验证了该格式的良好性能。图 大型溃坝问题的数值结果 .一维欧拉方程.激波管问题 方程如式（）所示，初始条件为（，）（，），.，（.，.），.。在区间，上计算 .时的数值解，空间网格数为，图 所示为密度、速度、压力的计算结果，激波管问题的精确解涉及三种波，即稀疏波、接触间断、激波，从图中可以清晰地看出该格式能够更准确地捕捉以上三种波，在跨越间断时所需的单元个数更少，具备很好的鲁棒性。.强稀疏波问题 方程见式（），初始条件为（，）（，），（.，），其他。在区间，上取 个网格单元，计算至 .时刻，条件数为.，数值结果与初值问题的精确解如图 所示，可发现该格式取得了更好的效果，解在稀疏波的地方存在平滑的过渡，且在波头波尾的位计 算 物 理第 卷 图 激波管问题的数值结果 图 强稀疏波问题的数值结果 第 期郑素佩等：保号 型中心迎风格式置也非常贴近参考解。结论 给出了 重构满足保号性的充分条件，只有当、满足一定的条件时才能使重构在单元交界面处满足保号性质。值得注意的是，重构可任意选取一组和为 的正线性权，而，决定的就是每个模板对应的线性权取值，所以充分条件本质上是对线性权的取值进行了限制。保号性在熵稳定格式中有重要的意义，将其与中心迎风格式相结合，得到了高分辨率数值结果。可以将 重构的保号性理论推广至更