高职应用数学.pdf

前 言 1 高等院校公共基础课规划教材 高职应用数学 陈申宝 主 编 包丽君 副主编 张新德 史彦龙 阳 军 参 编 Publishing House of Electronics Industry 北京BEIJING 高职应用数学 2 内 容 提 要 本书是根据教育部制定的“高职高专教育数学课程教学基本要求”和“高职高专教育专业人才培养目标及规格”，结合最新的课程改革理念与教学改革成果编写而成的本书融入了数学软件 MATLAB 使用、数学建模案例，体现数学的工具性、应用性，从知识、能力、素质三个方面培养学生的数学综合素质，具有内容通俗易懂，符合高职教学的要求等特色 本书主要内容有函数、极限与连续，导数与微分，不定积分与定积分，常微分方程四章每章有数学文化、基础理论知识、知识拓展、数学实验、知识应用模块本书每节配有一定的练习题，每章有习题 A、习题 B，供不同程度读者选用附录给出了学习高等数学所需要的初等数学的预备知识书末附有练习题、习题参考答案，供读者参考 本书可作为高职高专院校各专业高等数学或应用数学课程的教材或参考书，也可供成人高校等相关专业或自学考试的读者学习参考 未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容 版权所有，侵权必究 图书在版编目（CIP）数据 高职应用数学/陈申宝主编 北京：电子工业出版社，2017.1 ISBN 978-7-121-30638-9 高 陈 应用数学高等职业教育教材 029 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2016）第 305966 号 策划编辑：贺志洪 责任编辑：贺志洪 特约编辑：杨 丽 薛 阳 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871092 1/16 印张：13 字数：332.8 千字 版 次：2017 年 1 月第 1 版 印 次：2017 年 1 月第 1 次印刷 定 价：34.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888 质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 服务热线：（010）88254609 或 前 言 III 前 言 为适应高职教育迅速发展及多层次办学的需要，满足高职高专教育以就业为导向，培养面向生产和管理第一线的、具有一定理论知识和较强动手能力的高级技术应用型人才培养目标的要求，进一步提高高职应用数学的教学质量，使高职学生具备适应社会需求的变化和可持续发展的能力而编写本教材 本教材按照“应用为目的”和“必需、够用为度”的原则选择内容，使学生在高中数学的基础上，能够在有限时间内，掌握专业所需要的基本知识和基本技能，培养具备计算能力、一定的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的应用能力和创新能力等数学素养，具有思想性、科学性、实用性和内容的弹性，易学、易懂、易教本教材具有以下特色：1模块化的教学内容 1模块化的教学内容 每章有数学文化、基础理论知识、知识拓展、数学实验和知识应用模块基础知识“必需、够用”，对必学内容进行了整合，省略了定理的严格证明，力求用清晰、易懂的直观、形象方式来讲解概念和定义，便于学生理解和掌握知识应用不但介绍数学在现实生活中的应用，也介绍在专业中的应用，使学生体会到数学学习的必要性 2问题导向，引例驱动 2问题导向，引例驱动 每节尽量从引例或问题开始引入，再抽象出数学概念知识的展开以解决问题为导向，使数学从实际中来又应用到实际中去，符合高职教育培养应用型人才的目标和要求 3结合专业，突出应用 3结合专业，突出应用 教材内容为高职各专业学生学习后续课程所需在每章知识应用模块中尽可能介绍数学知识在专业中的应用，体现高职教育的特点 4注重数学文化教育，提高人文修养 4注重数学文化教育，提高人文修养 每章介绍数学思想或数学故事、人物，激发学生学习兴趣，培养细致、坚毅等数学品质，提高人文修养 5强调数学软件的使用，融合数学建模思想 5强调数学软件的使用，融合数学建模思想 高职高等数学课时有限，在有限时间内要让学生掌握必需的数学知识，应减少在计算技巧上的时间为此，在每章中介绍数学软件 MATLAB 的使用，使学生有较多的时间学习基本概念与数学的应用同时，在每章知识应用中结合 MATALB 介绍数学建模案例 高职应用数学 IV 6因材施教，适合分层次教学 6因材施教，适合分层次教学 知识拓展给教师选教和供学有余力学生选学习题分为习题 A 和习题 B，习题 A 为所有学生练习，习题 B 供学习程度好的学生练习，适合分层次教学需要，也是部分学生专升本和数学建模竞赛需要，符合高职学生数学基础差别大的实际情况和高职教育的理念 本书主要内容为微积分知识，内容涉及函数极限与连续、导数与微分、不定积分与定积分、常微分方程四章内容通俗易懂，有利于“教、学、做”一体化 全书的结构布局、统稿由浙江工商职业技术学院的陈申宝完成按章节分工，第 1 章由陈申宝编写，第 2第 4 章分别由浙江医药高等专科学校的史彦龙、宁波大红鹰学院的阳军、宁波广播电视大学的包丽君、陈申宝、宁波城市职业技术学院张新德共同编写 本书编写过程中得到了浙江工商职业技术学院领导和相关兄弟院校的大力支持，出版社的有关人员也为本书编写和出版提供了帮助，同时也参考了相关书籍，在此一并致谢 由于编者水平有限，书中难免存在不足之处，敬请专家、同行及广大读者批评指正同时将意见反馈给我们，以便于修改更正编者电子邮箱为：.编 者 2016 年 12 月 V 目 录 绪 论.第 1 章 函数、极限与连续.数学文化函数、极限的思想.基础理论知识.1.1 函数.1.2 极限的概念.12 1.3 极限的运算.18 1.4 无穷小与无穷大.23 1.5 函数的连续性.27 知识拓展.311.6 无穷小比较、函数的间断点类型、闭区间上连续函数的性质、函数曲 线的渐近线.31 数学实验.371.7 实验用 MATLAB 绘图与求极限.37 知识应用.461.8 函数、极限与连续的应用.46 习题 A.52习题 B.52第 2 章 导数与微分.54 数学文化导数的起源与牛顿简介.54 基础理论知识.552.1 导数的概念.55 2.2 导数的基本公式与运算法则.62 2.3 复合函数和隐函数的导数.64 2.4 函数的微分.67 知识拓展.722.5 微分中值定理、高阶导数、洛必达法则、函数的凹凸性.72 数学实验.792.6 实验用 MATLAB 求导数.79 知识应用.80 高职应用数学 VI 2.7 导数的应用.80 习题 A.90习题 B.94第 3 章 不定积分与定积分.97 数学文化莱布尼茨的故事.97 基础理论知识.983.1 不定积分概念与性质.98 3.2 不定积分的积分方法.103 3.3 定积分的概念.110 3.4 牛顿莱布尼茨公式与定积分计算.116 知识拓展.1203.5 变上限定积分、广义积分.120 数学实验.124 3.6 实验用 MATLAB 求不定积分和定积分.124 知识应用.1273.7 定积分的应用.127 习题 A.133习题 B.134第 4 章 常微分方程.137 数学文化杰出的数学家欧拉.137 基础理论知识.1384.1 常微分方程的基本概念.138 4.2 可分离变量的微分方程.141 4.3 一阶线性微分方程.146 知识拓展.1494.4 二阶线性微分方程.149 数学实验.1554.5 实验用 MATLAB 求微分方程.155 知识应用.1584.6 常微分方程的应用.158 习题 A.166习题 B.168附录 A 基本初等函数的图像、定义域和性质.170 附录 B 初等数学常用公式和相关知识选编.173 附录 习题答案.180 参考文献.199 绪 论 1 绪 论 俗话说“开卷有益”，为使广大读者提高对数学重要性的认识和学习兴趣，在开始学习本书前，谈谈对为什么学习高等数学、学习什么内容、如何学好高等数学三个方面的一些认识 一、为什么学习高等数学 1数学是一切科学技术的基础 1数学是一切科学技术的基础 数学是自然科学、工程技术科学、经济管理科学和社会科学的基础在现代科学，任何一门学科的发展都离不开数学，可以说“科学技术就是数学技术”2学习高等数学的重要性 2学习高等数学的重要性 我们现在学习的高等数学主要由微积分学、微分方程组成微积分是微分学和积分学的统称，英文简称 Calculus，意为计算微积分的产生是数学史上的一件大事，是人类自然科学史上最重大的事件之一，是人类思维的伟大成果，是开启近代文明的钥匙，其思想方法对自然科学的各个领域产生了巨大的推动作用，已成为人类认识和改造世界的一个有力工具，充分显示了数学的发展对人类文明的影响 微积分作为一个基本的处理连续数学问题的工具，被广泛地应用于自然科学、工程技术科学、经济管理科学等领域恩格斯曾评价说“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的”同时他还说“在一切理论成就中，未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分学的发明那样被看做人类精神的最高胜利了”“计算机之父”冯诺依曼（John von Neumann，19031957，匈牙利人）评价说“微积分是近代数学中最伟大的成就，对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分”时至今日，微积分已成为高校许多专业的必修课程，微积分已经并将继续影响和改变我们的生活 3学习高等数学是学习后续专业课程的需要 3学习高等数学是学习后续专业课程的需要 无论是计算机专业、电子技术专业、数控技术专业等工科专业，还是会计专业、投资理财专业等经济管理专业，在专业的学习中必然要用到极限、导数、积分等高等数学知识，没有这些高等数学知识作基础，专业的学习必然是肤浅的、困难的 4学习高等数学是提高个人素质与修养的需要 4学习高等数学是提高个人素质与修养的需要 日本数学教育家米山国藏说过：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后很快就忘掉了然而，不管他们从事什么工作，铭记在心的数学精神、数学思想、研究方法、推理方法和看问题的角度等，却随时随地发生作用，使他们终生受益”数学的学习提 高职应用数学 2 高了每个人的思维能力、分析和解决实际问题的能力及创新能力，使他们具备终生学习的能力与素质数学家的奋斗故事，将激发他们今后在工作、生活中碰到困难时能百折不挠、顽强不屈同时，对一部分专升本的同学来说，这也是一种需要 二、高等数学的学习内容 1微积分的历史回顾 1微积分的历史回顾 从 15 世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代，生产力得到了很大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动数学的发展科学的发展对数学提出的种种要求，最后汇总成几个核心问题：运动中速度与距离的互求问题；求曲线的切线问题；求长度、面积、体积与重心问题；求最大值和最小值问题等 围绕着解决上述 4 个核心的科学问题，微积分问题至少被 17 世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过例如费马（Fermat）、巴罗（Barrow）都对求曲线的切线以及曲线围成的面积问题有过深入的研究，并且得到了一些结果，但是他们都没有意识到它的重要性直到 17 世纪下半叶，牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）两人在前人的基础上，创立了微积分，成为一门独立的学科微积分是能应用于许多类函数的一种新的普遍方法 牛顿发现了微积分的一般计算方法，确立了微分与积分的逆运算关系（微积分基本定理），他在其划时代巨著自然哲学之数学原理中首次发表了这些成果，他把微积分称为“流数术”莱布尼茨也是同时代的杰出数学家和哲学家，他主要从几何角度出发研究了微积分的基本问题，确立了微分与积分之间的互逆关系，