高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程.pdf

普通高等学校工科类经管类数学深化训练与考研辅导丛书 高等数学深化训练与高等数学深化训练与 大学生数学竞赛教程大学生数学竞赛教程（工科类经管类）刘 强 陶桂平 梅超群 编著 李 霞 孙晓梅 熊 萍 副主编 内 容 简 介 本书是作者多年来在大学生数学竞赛辅导和考研辅导经验的基础上编写而成的全书共分为 13 章，每章包括 4 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练以及深化训练详解本书编写的目的主要有两个：一是帮助工科类、经管类本科生备考全国大学生数学竞赛，使学生能够在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提升学生综合分析问题、解决问题的能力；二是为了满足工科类、经管类本科生考研的需要.在例题和习题选编方面，精选了部分有代表性的数学竞赛真题和考研真题，同时注重例题、习题的创新，按题型分类进行合理编排，使学生能够尽快地适应考研题型，从容应对考试.本书既可以作为普通高等院校工科类、经管类本科生参加全国大学生数学竞赛的辅导用书，也可以作为工科类、经管类本科生考研深化训练用书 未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程/刘强，陶桂平，梅超群编著.北京：电子工业出版社，2017.4 ISBN 978-7-121-31128-4 I高 II刘 陶 梅 III高等数学高等学校教学参考资料 IVO13 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2017)第 057640 号 策划编辑：王二华 责任编辑：王二华 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16 印张：24 字数：620 千字 版 次：2017 年 4 月第 1 版 印 次：2017 年 4 月第 1 次印刷 定 价：56.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：(010)88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：(010)88254532。前 言 为了让学生更好、更快地掌握所学知识，同时结合工科类、经管类本科生参加数学竞赛和报考研究生的需要，应电子工业出版社的邀请，我们编写了高等院校工科类、经管类数学深化训练与考研辅导丛书.该丛书包括高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程、高等数学复习指导与深化训练、微积分复习指导与深化训练、线性代数复习指导与深化训练和概率论与数理统计复习指导与深化训练等辅导教材，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书主编.本书为高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程分册.自 1988 年第一届北京市大学生数学竞赛举办以来，到现在北京市数学竞赛已经成功举办了 27 届，每年的数学竞赛都吸引了北京各大高校众多优秀学生积极参与 北京市数学竞赛也由最初单一的非理科数学竞赛演化到现在包括数学专业、非数学专业、经济管理类，以及高职高专类多层次、多类别的大型赛事.值得一提的是，自 2010 年首届全国大学生数学竞赛举办以来，到现在已经成功举办了 7 届，全国数学竞赛的推出进一步加快了我国大学生数学竞赛的发展，极大地激发了大学生的数学学习热情，一方面数学竞赛提高了学生的数学学习质量，另一方面也为学生以后参加考研打下了坚实的数学基础 本书编写的主要目有两个：一是为了满足工科类、经管类本科生参加数学竞赛的需要；二是为了满足工科类、经管类学生考研深化训练的需要.在例题和习题选编方面，作者结合多年来数学竞赛辅导和考研辅导经验，精选了部分有代表性的数学竞赛真题和考研真题，同时注重例题习题的创新，并进行合理编排，使学生能够尽快地适应数学竞赛与考研，从容面对考试.关于教材的定位，从数学竞赛的角度来看，本教材主要是针对工科类（非数学专业）和经管类大学生数学竞赛而编写的；从考研的角度来看，本教材能够满足数学一和数学三高等数学备考的需要.全书共分为 13 章，每章包括 4 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解具体模块内容为：1知识要点知识要点 本模块对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理，方便读者查阅相关内容 2典型例题分析典型例题分析 本模块创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典题目，汇集了一些有代表性的数学竞赛真题，按照知识结构、解题思路、解题方法等脉络对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧 3深化训练深化训练 本模块精心选编了部分具有代表性的习题以及历年的数学竞赛、考研真题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果，做到融会贯通和举一反三 4深化训练详解深化训练详解 本模块对深化训练部分给出了详细的解答过程，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，培养读者的分析能力和发散思维 IV本书的第 14 章由刘强编写，第 57 章由姜玉英编写，第 810 章由陶桂平编写，第1113 章由梅超群编写，最后由刘强负责统一定稿.本书在编写过程中，得到了北京工业大学程李高荣教授，北京工商大学曹显兵教授，北方工业大学刘喜波教授，首都经济贸易大学张宝学教授、马立平教授、任韬副教授，昆明理工大学吴刘仓教授，北京化工大学李志强副教授，中央财经大学贾尚晖教授，以及首都经济贸易大学聂力副教授、范林元博士等同事的大力支持，电子工业出版社高教分社的谭海平社长也为丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢 本书可以作为工科类（非数学专业）、经管类数学竞赛的教材，也可以作为高等数学考研的参考用书，同时也可以作为本科生高等数学后继提高课程的教学用书.为了便于读者学习，工科类要求而经管类不要求的内容用“*”标出；难度较大的题目用“*”标出，初学者可以先略过该内容.由于作者水平有限，书中仍可能存在不妥甚至错误之处，恳请读者和同行不吝指正.意见请发至邮箱：.作 者 2017 年 3 月 目 录 第 1 章 函数 1 1.1 知识要点 1 1.1.1 函数 1 1.1.2 常用不等式 1 1.1.3 反函数 2 1.1.4 复合函数 2 1.1.5 关于函数表达式的求解 2 1.1.6 一些常用的三角公式 2 1.1.7 一些常用的代数公式 3 1.2 典型例题分析 4 1.2.1 题型一、函数表达式的求解与 证明 4 1.2.2 题型二、复合函数问题 6 1.2.3 题型三、函数的四种几何特性 7 1.3 深化训练 9 1.4 深化训练详解 10 第 2 章 极限与连续 12 2.1 知识要点 12 2.1.1 极限的概念与性质 12 2.1.2 无穷小量与无穷大量 13 2.1.3 四个极限存在准则与两个 重要极限 14 2.1.4 几个重要的结论 15 2.1.5 施笃兹（O.Stolz）定理 15 2.1.6 柯西（Cauchy）定理 15 2.1.7 关于函数的连续性 16 2.1.8 求极限的常用方法 16 2.2 典型例题分析 16 2.2.1 题型一、利用极限的分析定义 求极限 16 2.2.2 题型二、利用初等变换方法求 极限 18 2.2.3 题型三、利用四个极限存在 准则求极限 19 2.2.4 题型四、利用施笃兹定理求 极限 22 2.2.5 题型五、利用两个重要极限 求极限 23 2.2.6 题型六、利用等价无穷小量 替换求极限 24 2.2.7 题型七、利用中值定理求 极限 25 2.2.8 题型八、利用定积分的定义 求极限 28 2.2.9 题型九、函数的连续性问题 29 2.2.10 题型十、连续函数的等式 证明问题 32 2.3 深化训练 33 2.4 深化训练详解 36 第 3 章 导数与微分 44 3.1 知识要点 44 3.1.1 导数的概念 44 3.1.2 导数的几何意义 44 3.1.3 高阶导数 45 3.1.4 复合函数的求导法则 45 3.1.5 反函数求导法则 45*3.1.6 参数方程所确定的函数的 导数 46 3.1.7 几个重要的结论 46 3.1.8 达布（Darboux）定理 46 3.2 典型例题分析 46 3.2.1 题型一、导数的定义问题 46 3.2.2 题型二、反函数、复合函数 求导问题 48 3.2.3 题型三、导数的几何意义 49 3.2.4 题型四、利用导数的定义 求极限 50 3.2.5 题型五、分段函数的导数问题 51 VI3.2.6 题型六、高阶导数问题 51 3.2.7 题型七、隐函数的求导问题 54 3.2.8 题型八、导数的等式证明 问题 54 3.2.9 题型九、导函数的连续性 问题 55*3.2.10 题型十、导数的参数方程 问题 56 3.2.11 题型十一、导数的综合问题 57 3.3 深化训练 58 3.4 深化训练详解 60 第 4 章 微分中值定理 64 4.1 知识要点 64 4.1.1 中值定理 64 4.1.2 一些常用的麦克劳林公式 65 4.1.3 一些常用的结论或公式 66 4.2 典型例题分析 66 4.2.1 题型一、利用中值定理证明 等式问题 66 4.2.2 题型二、利用中值定理证明 不等式问题 69 4.2.3 题型三、利用中值定理证明 恒等式 73 4.2.4 题型四、函数的零点、方程的 根的问题 74 4.2.5 题型五、利用泰勒公式求 极限 75 4.2.6 题型六、利用泰勒公式证明 等式 80 4.2.7 题型七、利用泰勒公式证明 不等式 80 4.2.8 题型八、泰勒公式的其他 应用 82 4.3 深化训练 82 4.4 深化训练详解 84 第 5 章 导数的应用 89 5.1 知识要点 89 5.1.1 洛必达法则 89 5.1.2 函数的单调性 89 5.1.3 函数的极值与最值 89 5.1.4 曲线的凹凸区间与拐点 89 5.1.5 曲线的渐近线 90 5.1.6 函数图形的描绘 90*5.1.7 曲率、曲率圆与曲率半径 90 5.2 典型例题分析 91 5.2.1 题型一、洛必达法则的应用 91 5.2.2 题型二、利用单调性或极值 证明不等式 94 5.2.3 题型三、函数的极值问题 96 5.2.4 题型四、函数的零点、方程的 根的问题 99 5.2.5 题型五、凹凸性问题 100 5.2.6 题型六、渐近线问题 100 5.2.7 题型七、函数图形的描绘 102 5.2.8 题型八、方程的近似解 102*5.2.9 题型九、曲率问题 103 5.3 深化训练 104 5.4 深化训练详解 105 第 6 章 不定积分 113 6.1 知识要点 113 6.1.1 不定积分的定义与性质 113 6.1.2 换元积分法 113 6.1.3 分部积分法 114 6.1.4 有理函数的积分法 114 6.1.5 三角函数有理式的积分法 114 6.1.6 简单无理函数的积分法 115 6.1.7 常用积分公式表 115 6.2 典型例题分析 116 6.2.1 题型一、利用换元法、分部 积分法求解不定积分 116 6.2.2 题型二、利用等式du v dv uuvC求解不定 积分 120 6.2.3 题型三、利用三角替换方法 求解不定积分 121 6.2.4 题型四、求解三角有理函数 的不定积分 123 VII6.2.5 题型五、递推公式问题 124 6.2.6 题型六、分段函数问题 125 6.2.7 题型七、隐函数的积分 126 6.3 深化训练 126 6.4 深化训练详解 128 第 7 章 定积分 134 7.1 知识要点 134 7.1.1 定积分的概念 134 7.1.2 定积分的基本性质 135 7.1.3 积分中值定理 135 7.1.4 变上限积分函数 136 7.1.5 定积分的计算 136 7.1.6 反常积分（或广义积分）136 7.1.7 函数 137 7.1.8 定积分的应用 137 7.1.9 几个重要的结论 139 7.2 典型例题分