高等数学（经管数学）（下册）.pdf

高等院校数学课程改革创新系列教材高等数学(经管数学)(下册)主编:孔德斌韩兆君刘婧副主编:张成学李高尚王松坤内 容 简 介本教材是在建设应用型本科、加强技术技能型人才培养的总体思路下,按照“经济管理类本科数学基础课程教学基本要求”,结合多数本专科院校学生基础和教学特点进行编写而成的。本教材紧紧围绕应用型教学的要求,简化理论论证,增强数学语言的形象生动性,突出经济数学和应用数学特色,便于学生理解、掌握和运用。内容包括空间解析几何、多元函数微分学及其应用、重积分、级数、常微分方程与差分方程,各节后均配有相应的习题,书末附有参考答案。未经许可,不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有,侵权必究。图书在版编目(C I P)数据高等数学:经管类.下册/孔德斌,韩兆君,刘婧主编.-北京:电子工业出版社,2 0 1 6.6I S B N9 7 8-7-1 2 1-2 9 1 1 1-1.高.孔韩刘.高等数学-高等学校-教材.O 1 3中国版本图书馆C I P数据核字(2 0 1 6)第1 3 7 4 4 3号策划编辑:朱怀永责任编辑:贺志洪特约编辑:张晓雪徐堃印刷:装订:出版发行:电子工业出版社北京市海淀区万寿路1 7 3信箱邮编1 0 0 0 3 6开本:7 8 71 0 9 21/1 6印张:9.2 5字数:2 3 6.8千字版次:2 0 1 6年6月第1版印次:2 0 1 6年6月第1次印刷印数:3 0 0 0册定价:2 1.8 0元凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题,请向购买书店调换,若书店售缺,请与本社发行部联系,联系及邮购电话:(0 1 0)8 8 2 5 4 8 8 8。质量投诉请发邮件至z l t s p h e i.c o m.c n,盗版侵权举报请发邮件至d b q q p h e i.c o m.c n。服务热线:(0 1 0)8 8 2 5 8 8 8 8。前言高等数学是普通高等院校本、专科各专业普遍开设的一门公共基础课,不但是培养学生的思维能力的重要方法,也是学生学习专业课的重要前提,更在培养应用型人才方面起着重要作用。在不断适应国家和社会发展要求的办学过程中,很多高校都将培养高素质的应用型、技能型人才作为学校的办学定位,为适应这一发展要求,经管类专业对基础课程尤其是数学类课程提出了新的要求,在坚持理论完整的情况下,还要保证其应用性、实用性。而目前的多数同类教材理论性过强,应用性较少,基于此种原因,我们组织了多位一线教师,根据多年对不同专业学生讲授该课程所积累的经验,针对应用型人才的培养目标和学生的学习特点编写了本教材。本教材根据数学与统计学教学指导委员会关于“经济管理类本科数学基础教学基本要求”,参考各经管类专业对该课程知识点的需求情况编写而成。编写时,我们以教育部的教学大纲为准绳,以专业要求为目标,侧重于必要的理论、全面的知识及在经济中的应用。通过本教材的学习使学生系统地获得微积分、无穷级数和常微分方程的基本知识、基本理论和基本方法,培养学生抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力及创新能力,为学习后继课程和专业课程奠定必要的数学基础。更重要的是使学生能运用所掌握的高等数学特有的思维方式和处理问题的思想方法去分析、解决现实世界中的各种实际问题。本教材叙述深入浅出、结构严谨、知识系统、难度适中、经管应用突出,可读性强,便于教与学,充分体现了经济数学、应用数学的特点,在内容设计方面淡化数学在纯理论方面的教学,增强数学在经济和管理方面的应用教学;在一些数学概念上采用描述性叙述,淡化理论证明,降低概念理解的难度,同时增加部分应用型的例题、习题,使经管类学生能更好地应用数学知识理解专业知识,体现经济数学的应用性。本教材适合作为普通高等院校经济管理类相关本科专业或对知识面要求较高的专科专业的公共基础课程教材使用,也可作为大学本、专科理工类学生高等数学课程的教学参考书,还可供成教学院或申请升本的专科学校选用。本教材具有以下特点:(1)在满足教学基本要求前提下,紧紧围绕应用型教学的要求,简化理论推导,增强数学语言的形象生动性。(2)突出经济数学特色,学术术语多采用经济类语言,改变现有经管类教材中多采用工科体系语言叙述的形式。(3)突出应用数学特色,注重应用与理论的统一,增加了数学在经济中应用的例子,培养学生解决实际问题的能力。(4)突出基本教学与教学辅导相结合的特色。例题解答详细,使学生能理解解题思路,尽量减少学习障碍,每节均配有适量习题,可以帮助学生巩固所学的有关理论和方法。全书由烟台南山学院孔德斌统稿定稿。全书在编写过程中得到了渤海大学吕志远教授、山西广播电视大学大同分校王捷副教授的热心指导,提出了具体的意见和建议,我们在此表示诚挚的谢意。由于编者水平有限,书中难免存在错误或不尽如人意之处,敬请专家和读者不吝批评、赐教。编者2 0 1 5年1 2月高等数学(经管数学)(下册)目录第1章空间解析几何11.1空间直角坐标系11.1.1空间直角坐标系11.1.2空间中的点坐标21.1.3空间中两点间的距离21.2曲面及其方程41.2.1平面及其方程41.2.2曲面及其方程5第2章多元函数的微分及其应用1 22.1多元函数的基本概念1 22.1.1点集和邻域1 22.1.2多元函数的概念1 32.1.3多元函数的极限1 32.1.4多元函数的连续性1 52.2偏导数1 72.2.1偏导数的定义及其计算1 72.2.2高阶偏导数2 02.3全微分2 22.3.1全微分的定义及计算2 22.3.2全微分在近似计算中的应用2 62.4多元复合函数的求导法则2 72.4.1复合函数的中间变量均为一元函数的情形2 72.4.2复合函数的中间变量均为多元函数的情形2 82.4.3复合函数的中间变量既有一元函数,又有多元函数的情形2 82.4.4复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量的情形2 92.5隐函数的求导公式3 02.6多元函数的极值及其求法3 32.6.1多元函数的极值3 32.6.2条件极值拉格朗日乘数法3 52.6.3函数的最大值和最小值3 6第3章重积分3 83.1二重积分3 83.1.1二重积分的概念3 83.1.2二重积分的性质4 13.2二重积分的计算4 33.2.1利用直角坐标计算二重积分4 33.2.2利用极坐标计算二重积分4 83.3二重积分的应用5 33.3.1立体体积5 33.3.2平面图形的面积5 43.3.3曲面的面积5 53.3.4质心5 63.3.5转动惯量5 73.4三重积分5 93.4.1三重积分的概念与性质5 93.4.2三重积分的计算5 9第4章级数6 54.1常数项级数的概念与性质6 54.1.1常数项级数的概念6 54.1.2常数项级数的基本性质6 74.2常数项级数的审敛法7 14.2.1正项级数及其审敛法7 14.2.2交错级数及其审敛法7 64.2.3绝对收敛与条件收敛7 84.3幂级数7 94.3.1函数项级数的概念7 94.3.2幂级数及其收敛性8 04.3.3幂级数的运算及性质8 34.4函数展开成幂函数8 64.4.1泰勒级数8 64.4.2初等函数的幂级数展开8 8第5章常微分方程与差分方程9 35.1微分方程的基本概念9 35.2可变量分离的微分方程9 65.2.1可分离变量的微分方程9 65.2.2齐次微分方程9 8高等数学(经管数学)(下册)5.2.3可化为齐次方程的微分方程1 0 05.3一阶线性微分方程1 0 25.3.1一阶线性微分方程1 0 25.3.2伯努利方程1 0 65.4可降阶的高阶微分方程1 0 75.4.1y(n)=f(x)型的微分方程1 0 75.4.2y=f(x,y)型的微分方程1 0 85.4.3y=f(y,y)型的微分方程1 0 95.5线性微分方程解的结构1 1 05.5.1二阶齐次线性微分方程解的结构1 1 15.5.2二阶非齐次线性微分方程解的结构1 1 25.6二阶常系数线性微分方程1 1 45.6.1二阶常系数齐次线性微分方程1 1 55.6.2二阶常系数非齐次线性微分方程1 1 75.7差分方程1 2 35.7.1差分的概念1 2 35.7.2差分方程的概念1 2 45.7.3线性差分方程解的基本定理1 2 55.7.4一阶常系数线性差分方程1 2 6习题答案与提示1 3 0参考文献1 4 0目录第1章空间解析几何平面解析几何的知识对学生学习一元函数微积分是十分重要的.现若想讨论多元函数微积分,空间解析几何的基础知识就必不可少.本章在建立空间直角坐标系的基础上,先介绍空间中的点与坐标,然后主要讨论空间中的平面与曲面及其对应的方程.1.1 空间直角坐标系1.1.1空间直角坐标系过空间中的一个定点O作三条两两垂直的数轴O x,O y,O z,它们具有相同的单位长度,即构成了空间直角坐标系,如图1-1所示.常称O为坐标原点,分别称三个轴为x轴(或横轴),y轴(或纵轴),z轴(或竖轴),统称为坐标轴.它们的正方向符合右手法则,即以右手的握住z轴,当右手的四个手指从x轴正向以角度转向y轴正向时,大拇指的指向就是z轴的正身,如图1-2所示.图1-1图1-2图1-3三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面,这样定出的三个平面统称为坐标平面,简称坐标面.x轴及y轴所确定的坐标面记为x O y面,x轴及z轴所确定的坐标面记 为x O z面,y轴 及z轴 所 确 定 的 坐 标 面 记 为y O z面.这三个平面将空间划分成8个部分,称为空间直角坐标系的8个卦限.含有x轴、y轴和z轴正半轴的那个卦限称为第一卦限,其他为第二、第三、第四卦限,在x o y面的上方,从z轴的正方向往下看,按逆时针方向确定.第五 至 第 八 卦 限 分 别 在 第 一 至 第 四 卦 限 的 下 方,如图1-3所示,这8个卦限分别用字母、表示.1.1.2空间中的点坐标建立了空间直角坐标系后,如同平面直角坐标系,就可建立空间中的点与三元有序数组的一一对应关系.图1-4设M为空间中的任一点,过点M分别作垂直于三个坐标轴的三个平面,与x轴、y轴和z轴依次交于A、B、C三点,如图1-4所示.若这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x0,y0,z0,于是点M就唯一确定了一个有序数组(x0,y0,z0).反之,任给一有序数组(x0,y0,z0),可以在x轴、y轴和z轴上取坐标x0,y0,z0为的点A、B、C,并过A、B、C分别作与坐标轴垂直的平面,则它们相交于唯一的点M.这样就建立了空间中的点M与有序数组(x0,y0,z0)之间的一一对应关系.点M在该空间直角坐标系中的坐标,x0,y0,z0分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标轴、坐标面上的点,以及8个卦限内部的点,其坐标各有一些数值特征,具体如下坐标轴:x轴(x0,0,0),y轴(0,y0,0),z轴(0,0,z0).坐标面:x O y面(x0,y0,0),x O z面(x0,0,z0),y O z面(0,y0,z0).8个卦限:(+,+,+),(-,+,+),(-,-,+),(+,-,+),(+,+,-),(-,+,-),(-,-,-),(+,-,-).1.1.3空间中两点间的距离设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间任意两点,为了求它们之间的距离|M1M2|,过M1,M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面,则这六个平面围成了一个以M1M2为对角线的长方体,如图1-5所示.图1-5由勾股定理得|M1M2|2=|M1N|2+|NM2|2=|M1P|2+|P N|2+|NM2|2由于|M1P|=|P1P2|=|x2-x1|,|P N|=|Q1Q2|=|y2-y1|2高等数学(经管数学)(下册)|NM2|=|R1R2|=|z2-z1|所以|M1M2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2上式称为空间两点M1,M2间的距离公式.特殊地,空间任一点M(x,y,z)到坐标原点的距离为|O M|=x2+y2+z2例1.1.1求P1(1,2,3),P2(-2,0,1)两