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对偶空间简史 冯丽霞 著 Publishing House of Electronics Industry 北京BEIJING 内 容 简 介 对偶空间理论是泛函分析的核心内容之一，是泛函分析历史的重要篇章之一。本书通过历史分析和文献考证的方法，以“积分方程的求解”为主线，对对偶空间理论形成的历史脉络进行了较为深入与细致的研究。全书在相关原始文献和研究文献的基础上，对希尔伯特、里斯、黑利、汉恩和巴拿赫等重要数学家的相关工作进行了详细的重构还原和恰当的分析论证，挖掘了孕育在这些数学家工作中的深邃思想，如希尔伯特求解积分方程的代数化方法，里斯具体对偶空间的产生，黑利、汉恩、巴拿赫抽象对偶空间理论的形成等，探究了这一理论产生过程中重要数学家之间的思想传承和突破。本书可供大学数学专业的师生、科学史工作者和数学爱好者阅读与参考。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目（CIP）数据 对偶空间简史/冯丽霞著北京：电子工业出版社，2019.4 ISBN 978-7-121-36057-2.对.冯.对偶空间历史.O151.24 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2019）第 035372 号 策划编辑：谭海平 责任编辑：谭海平 特约编辑：王 崧 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编：100036 开 本：7201 000 1/16 印张：10.75 字数：187.2 千字 版 次：2019 年 4 月第 1 版 印 次：2019 年 4 月第 1 次印刷 定 价：59.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888，88258888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。本书咨询联系方式：（010）88254552。III 前 言 19 世纪末 20 世纪初，探寻积分方程求解的一般理论大大推动了数学的发展 希尔伯特在弗雷德霍姆第二型积分方程工作基础上研究积分方程的求解理论，他借助内积这个数学工具将积分方程问题转化为无穷线性方程组的求解问题，借用代数方法处理分析中的问题，其方法蕴含着泛函分析中无限维空间的对偶思想希尔伯特有关积分方程求解的一系列论文中蕴含着深刻的泛函思想，被认为是泛函分析思想的开端，为泛函分析的发展奠定了坚实基础 里斯充分吸收了希尔伯特积分方程工作中的思想精髓，将代数化方法推广到勒贝格平方可积函数空间、p次可积函数空间上积分方程的求解，在此过程中，产生了具体的对偶空间，其中pL与qL的对偶在数学史上具有划时代意义里斯这些深邃的思想吸引了众多数学家对对偶空间理论的探索 在 20 世纪数学更加抽象化和统一化思潮驱使下，顺应结构数学发展的趋势，产生了用统一的一般观点考虑所有这些具体对偶空间的必要性，希尔伯特和里斯的具体对偶空间思想与方法引起了一大批追随者的兴趣这些思想方法经过奥地利数学家黑利、汉恩和波兰数学家巴拿赫等人的进一步抽象，逐步建立了抽象的对偶空间 对对偶空间理论的历史进行研究有重要意义首先，对偶空间是函数空间的推广，是泛函分析中的核心概念之一，对偶空间理论也是泛函分析的重要内容，对其历史进行研究有助于理解泛函分析发展的历史进程其次，对希尔伯特、里斯、黑利、汉恩和巴拿赫等重要数学家原始文献的解读，有助于厘清数学家之间的思想传承以及他们的数学思想对近现代数学的影响最后，这一梳理为积分方程和泛函分析的教学提供历史背景，使数学专业的学生理解抽象数学概念、数学理论背后的具体问题来源，从而促进学生更深刻地理解相关数学知识 本书以“积分方程的求解”为主线，详细梳理了 20 世纪初起始的对偶空间形对偶空间简史 IV 成过程中重要数学家的工作，探讨了如何由具体问题逐步产生抽象数学概念的过程，以及概念形成后随着新的数学理论的产生与引入如何进行更高一级抽象的过程，由此理解重要数学概念、数学理论和数学分支形成的历史脉络 本书结构清晰、层次分明、表述准确、论述有力、内容丰富，可作为数学类专业高年级本科生和研究生学习泛函分析和泛函分析史的参考用书，也可作为科学史工作者和数学爱好者的参考用书 衷心感谢导师李文林研究员及西北大学曲安京教授对本书的指导和帮助，感谢家人对我的关心、支持和帮助，感谢国家自然科学基金（11471189）及山西师范大学数学与计算机科学学院的资助尽管作者对书稿进行了多次校对，由于水平有限，不足之处在所难免，敬请各位读者批评指正 目录 V 目 录 第 1 章 绪论1 1.1 背景及意义 1 1.2 问题提出 6 1.3 方法与目标 12 第 2 章 希尔伯特的对偶思想14 2.1 希尔伯特在有限线性方程组解理论中的对偶思想 15 2.1.1 有限线性方程组解理论历史的简单回顾 15 2.1.2 希尔伯特对有限线性方程组解理论的升华 16 2.2 希尔伯特在积分方程解理论中的对偶思想 28 2.2.1 希尔伯特对有限二次型的解释 28 2.2.2 2l空间及其上连续线性泛函的引入 31 2.2.3 积分方程的代数化 35 2.3 小结 39 第 3 章 具体对偶空间的产生41 3.1 连续线性泛函概念的产生 41 3.1.1 沃尔泰拉的泛函概念 42 3.1.2 平凯莱的泛函思想 44 3.1.3 阿达玛的泛函表示思想 46 3.2 弗雷歇的连续线性泛函表示工作 48 3.2.1 ,C a b 上连续线性泛函表示 49 3.2.2 ,C a b 上连续线性泛函表示的进一步思考 51 3.2.3 20,2L上连续线性泛函表示 52 3.3 里斯的对偶工作 53 对偶空间简史 VI 3.3.1 2,L a b的对偶 56 3.3.2 ,C a b 的对偶 61 3.3.3 (),1pL a bp 的对偶 64 3.3.4 (1)plp 的对偶 74 3.3.5 1l 的对偶 79 3.4 弗雷歇与里斯泛函表示工作比较 83 3.4.1 动机与目的 83 3.4.2 思想与方法 84 3.4.3 贡献与影响 87 3.5 斯坦豪斯的对偶工作 88 3.5.1 1,L a b，,L a b的引入 89 3.5.2 1,L a b上的连续线性泛函 90 3.5.3 在级数收敛中的应用 91 3.6 小结 92 第 4 章 抽象对偶空间理论的建立94 4.1 黑利的对偶空间工作 94 4.1.1 问题与目标 95 4.1.2 序列赋范线性空间及其对偶空间思想 98 4.2 汉恩的对偶空间工作 106 4.2.1 对黑利工作的进一步发展 107 4.2.2 对里斯求解积分方程过程的抽象 111 4.2.3 汉恩的抽象对偶空间理论 112 4.3 巴拿赫的对偶空间工作 115 4.3.1 动机与目标 116 4.3.2 赋范线性空间理论的建立 117 4.3.3 对偶空间理论的建立 121 4.4 复赋范线性空间的对偶空间 126 4.5 小结 127 目录 VII 第 5 章 对偶空间理论的发展129 5.1 具体赋范线性空间上对偶空间的发展 129 5.1.1 不可分希尔伯特空间的对偶空间 129 5.1.2 ()C K 的对偶空间 134 5.1.3 (,)pLE M(1p)的对偶空间 135 5.2 局部凸线性空间及其上的对偶空间理论 140 5.3 对偶思想的影响 144 5.3.1 算子代数的产生 145 5.3.2 局部紧群上调和分析的研究 145 5.3.3 嘉当的外形式法 146 5.4 小结 147 参考文献149 人名索引158 后记 163 第章 绪 论 1第 1 章 绪 论 1.1 背景及意义 19 世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段由于欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新兴学科；对于代数方程求解问题的一般思考，创立了群论；对数学分析的进一步研究又建立了集合论等19 世纪的数学已经呈现出千姿百态的多样性，到了 19 世纪末 20 世纪初，“出现了用统一的观点来理解 19 世纪数学各个分支所积累的大量实际材料的必要性”在这样的观点下，“泛函分析的基本概念从不同的方面和不同的联系中产生了”可以说，分析、代数、几何与拓扑中数学思想方法的交融是泛函分析得以发展壮大的力量之源 首先，集合论是泛函分析形成的基础 当 19 世纪在分析中建立严密性成为必然趋势时，数学家们不得不面对有关无穷集合的许多问题尤其是在对不连续函数研究时，需要考虑使函数不连续或者使收敛问题困难的点集，由此导致了集合论的建立在这个过程中，贡献最大的是德国数学家康托尔（Georg Cantor，18451918 年）的工作他在研究函数的三角级数表达式唯一性问题时开始接触无穷点集，认识到建立集合论重要的是把数的概念从有穷数推广到无穷数，在德国数学家狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet，18051859 年）和黎曼（Bernhard Riemann，18261866 年）等人工作的基础上系统发展了一般点集理论泛函分析是研究无穷维函数空间的学科，有了无穷点集理论，各种具体和抽象函数空间的形成才有了根基可以说，没有无穷点集理论，就不会有泛函 胡作玄近代数学史M济南：山东教育出版社，2006:202.A.D.亚历山大洛夫等著数学它的内容、方法和意义（第三卷）M北京：科学出版社，2001:218.A.D.亚历山大洛夫等著数学它的内容、方法和意义（第三卷）M北京：科学出版社，2001:218.李文林数学史概论（第 2 版）M北京：高等教育出版社，2002：255-258.对偶空间简史 2 分析学科的诞生，甚至不会有现代分析的整座数学大厦 其次，勒贝格积分理论是泛函分析发展的助推器在 19 世纪中后期，分析学上的一个重要课题是“不连续函数的可积性问题”通过对黎曼积分的研究发现，不仅在有限处不连续的函数是黎曼可积的，而且许多数学家们构造出了很多在无限处不连续的可积函数，这就引出了“如何衡量点集大小”的问题在这个过程中，数学家们重新审视“实数轴”这个看似已很熟悉的研究对象，在极限思想指导下，进一步建立起完备的实数理论，如确界原理、区间套定理、柯西收敛定理等在此基础上，取得突破进展的是法国数学家勒贝格（Henri Lon Lebesgue，18751941 年），他创造性地把关于集合的代数和外测度的概念结合起来，建立了勒贝格测度理论在其论文“积分、长度与面积”中，他第一次叙述了关于测度和积分的思想，建立了以测度为基础的勒贝格积分理论，他的工作替代了 19世纪的创造在这个全新理论支持下，黎曼可积性的问题便迎刃而解，即黎曼可积函数是几乎处处（即除去一个零测集外）连续的当然勒贝格积分理论可以应用到更广泛的函数空间（本书第 3 章和第 4 章中都有体现）以及级数理论等其他数学分支虽然该理论像集合论一样在初期遭到许多数学家的强烈反对，但它在解决积分方程问题中的成功应用大大促进了泛函分析学科的诞生事实上，没有勒贝格积分理论，函数空间的研究是无法想象的 法国数学家和数学史家迪厄多内（Jean Alexandre Eugne Dieudonn，19061992 年）也认为：“如果没有勒贝格积分，泛函分析的发展进程可能会缓慢下来”第三，代数学为泛函分析提供了强有力的研究方法 随着 18 世纪行列式的广泛应用，行列式本身成为独立的研究对象，19 世纪数学家们得到了更丰富的行列式理论及其相关理论，如二次型理论、矩阵理论和线性变换理论以及线性空间理论等它们不仅为解决代数学问题提供了实用的工具，促使代数学独立，而且由此引出了一系列新领域19 世纪 90 年代，关于无限维矩阵的研究直接导致泛函 Lebesgue H.Intgrale,longueur,aire J.Annali di matematica pura ed applicata,1902,7(1):231-359.美莫里斯克莱因著邓东皋，张恭庆等译古今数学思想（第四册）M上海：上海科学技术