高等数学例题与习题（下册）.pdf

高等数学例题与习题高等数学例题与习题（下册）马 倩 金凌辉 主编 李 霞 孙晓梅 熊 萍 副主编 内 容 简 介 本书与同济第六版高等数学相配套，分为上、下两册。下册共 5 章，分别为：空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数。每章首先理清教材的主要内容和基本要求，然后辅以典型例题讲解和释疑解难，最后通过练习题来巩固。本书还特别增加了考研真题的“讲”和“练”，让学生为考研打好基础。本书可作为高等院校开设高等数学的各专业学生的学习辅导教材，也可作为考研学生的高等数学辅导书。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。版权所有，侵权必究。图书在版编目(CIP)数据 高等数学例题与习题下册/马倩，金凌辉主编 北京：电子工业出版社，2014.3 ISBN 978-7-121-22465-2 I高 II马 金 III高等数学高等学校习题集 IVO13-44 中国版本图书馆 CIP 数据核字(2014)第 025896 号 策划编辑：王二华 责任编辑：郝黎明 印 刷：装 订：出版发行：电子工业出版社 北京市海淀区万寿路 173 信箱 邮编 100036 开 本：7871 092 1/16 印张：17.25 字数：441.6 千字 版 次：2014 年 3 月第 1 版 印 次：2016 年 2 月第 2 次印刷 定 价：35.00 元 凡所购买电子工业出版社图书有缺损问题，请向购买书店调换。若书店售缺，请与本社发行部联系，联系及邮购电话：（010）88254888。质量投诉请发邮件至 ，盗版侵权举报请发邮件至 。服务热线：（010）88258888。前 言 高等数学是高等理工科院校的一门重要基础理论课，也是硕士研究生入学考试的重要部分。习题课是复习巩固基本概念、加深理解基本理论、提高学生运算和论证能力的重要环节，为此，我们结合教学中的实践经验，编写了此书。本书是根据教育部制定的高等数学课程教学基本要求的精神，并按照同济大学应用数学系主编的高等数学（第六版 下册）的章节顺序编写而成，读者也可将此书与其他高等数学教材配合使用。全书共 5 章，每章由“基本要求”、“主要内容”、“典型例题”、“释疑解难”、“部分习题解答”、“练习题”、“考研真题”组成。在“基本要求”中，向读者提出本次课要达到的要求；“主要内容”则扼要概括了有关定义、定理、公式等，条理清晰，重点突出；“典型例题”部分着重分析解题思路，引导学生思考，并加以评注，开拓思路，达到举一反三的效果；“释疑解难”采用问答的形式，指明概念中容易误解的疑点，帮助学生辨析在学习中常见的一些似是疑非的难点；“部分习题解答”针对课后习题中一些较难的题目给出解答过程；“练习题”附有答案，可供读者自我检查；“考研真题”将近几年的硕士研究生入学考试题编入各讲，希望通过对此类题目的分析，能够让读者对研究生入学考试的要求、命题的基本思路有一个基本的了解，并为以后考研打好基础。本书可作为高等理工科院校的习题课教材，还可作为自学高等数学，特别是准备报考硕士研究生的读者复习参考书。本书由武汉科技大学城市学院规划，旨在提高学生学习高等数学的兴趣，以及为考研数学奠定良好基础。本书由马倩、金凌辉担任主编，李霞、孙晓梅、熊萍担任副主编。具体分工如下：第 8 章由金凌辉编写；第 9 章由马倩编写；第 10 章由李霞编写；第 11 章由孙晓梅编写；第 12 章由熊萍编写，全书由马倩统稿。武汉科技大学城市学院的陈建勋院长、王良刚部长对本书的编写提出了许多宝贵意见。电子工业出版社对本书的编审、出版做了大量工作，在此一并致谢！由于编者水平有限，时间仓促，书中不足及错漏之处在所难免，望各位专家、同行、读者批评指正。编 者 目 录 第 8 章 空间解析几何与向量代数 1 8.1 向量代数 1 8.1.1 基本要求 1 8.1.2 基本内容 1 8.1.3 典型例题 2 8.1.4 疑难释疑 5 8.1.5 部分习题解答 6 8.1.6 练习题 7 8.1.7 考研真题 8 8.2 空间平面、直线和曲面方程 8 8.2.1 基本要求 8 8.2.2 基本内容 8 8.2.3 典型例题 11 8.2.4 疑难释疑 14 8.2.5 部分习题解答 15 8.2.6 练习题 17 8.2.7 考研真题 18 8.2.8 总习题八选讲 21 第 9 章 多元函数微分法及其应用 26 9.1 多元函数、偏导数和全微分 26 9.1.1 基本要求 26 9.1.2 基本内容 26 9.1.3 典型例题 29 9.1.4 疑难释疑 33 9.1.5 部分习题解答 35 9.1.6 练习题 41 9.1.7 考研真题 42 9.2 多元函数的微分法 44 9.2.1 基本要求 44 9.2.2 基本内容 44 9.2.3 典型例题 45 9.2.4 疑难释疑 51 VI9.2.5 部分习题解答 53 9.2.6 练习题 59 9.2.7 考研真题 61 9.3 多元函数微分学的几何应用、极值 65 9.3.1 基本要求 65 9.3.2 基本内容 65 9.3.3 典型例题 67 9.3.4 疑难释疑 71 9.3.5 部分习题解答 72 9.3.6 练习题 75 9.3.7 考研真题 77 9.4 方向导数和梯度 83 9.4.1 基本要求 83 9.4.2 基本内容 83 9.4.3 典型例题 84 9.4.4 疑难释疑 87 9.4.5 部分习题解答 89 9.4.6 练习题 91 9.4.7 考研真题 92 9.4.8 总习题九选讲 94 第 10 章 重积分 99 10.1 二重积分的概念、性质及计算法 99 10.1.1 基本要求 99 10.1.2 基本内容 99 10.1.3 典型例题 102 10.1.4 释疑解难 106 10.1.5 部分习题解答 108 10.1.6 练习题 111 10.1.7 考研真题 114 10.2 三重积分的概念、性质及计算法 121 10.2.1 基本要求 121 10.2.2 基本内容 121 10.2.3 典型例题 122 10.2.4 疑难释疑 125 10.2.5 部分习题解答 126 10.2.6 练习题 130 10.2.7 考研真题 131 10.3 重积分的应用 133 10.3.1 基本要求 133 VII10.3.2 基本内容 133 10.3.3 典型例题 134 10.3.4 释疑解难 136 10.3.5 部分习题解答 137 10.3.6 练习题 140 10.3.7 考研真题 142 10.3.8 总习题十选讲 144 第 11 章 曲线积分与曲面积分 149 11.1 两类曲线积分的概念、性质及计算方法 149 11.1.1 基本要求 149 11.1.2 基本内容 149 11.1.3 典型例题 152 11.1.4 释疑解难 154 11.1.5 部分习题解答 155 11.1.6 练习题 161 11.1.7 考研真题 161 11.2 两类曲面积分的概念、性质及计算方法 163 11.2.1 基本要求 163 11.2.2 基本内容 163 11.2.3 典型例题 165 11.2.4 释疑解难 169 11.2.5 部分习题解答 170 11.2.6 练习题 175 11.2.7 考研真题 175 11.3 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式 176 11.3.1 基本要求 176 11.3.2 基本内容 176 11.3.3 典型例题 180 11.3.4 释疑解难 186 11.3.5 部分习题解答 187 11.3.6 练习题 192 11.3.7 考研真题 193 11.3.8 总习题十一选讲 197 第 12 章 无穷级数 202 12.1 常数项级数的性质及审敛法 202 12.1.1 基本要求 202 12.1.2 基本内容 202 12.1.3 典型例题 205 12.1.4 释疑解难 213 VIII12.1.5 部分习题解答 216 12.1.6 练习题 218 12.1.7 考研真题 219 12.2 幂级数 221 12.2.1 基本要求 221 12.2.2 基本内容 222 12.2.3 典型例题 225 12.2.4 释疑解难 234 12.2.5 部分习题解答 235 12.2.6 练习题 239 12.2.7 考研真题 241 12.3 傅里叶级数 247 12.3.1 基本要求 247 12.3.2 基本内容 248 12.3.3 典型例题 249 12.3.4 释疑解难 252 12.3.5 部分习题解答 253 12.3.6 练习题 256 12.3.7 考研真题 258 12.3.8 总习题十二选讲 259 参考文献 266 第 8 章 空间解析几何与向量代数 8.1 向向 量量 代代 数数 8.1.1 基本要求基本要求 1理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示 2掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件 3理解单位向量、方向角与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.8.1.2 基本内容基本内容 1向量的基本概念 向量的定义：向量的定义：既有大小又有方向的量称为向量（矢量），通常记为 a 或AB.向量的模：向量的模：向量的大小称为向量的模，记为|a|或|AB.单位向量：单位向量：模等于 1 的向量叫做单位向量.零向量：零向量：模等于 0 的向量叫做零向量，记作 0 或0.零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作是任意的.空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i、j、k，就确定了三条都以 O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、z 轴（竖轴），统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系，称为 Oxyz 坐标系.向量的坐标表达式：向量的坐标表达式：设,x y z 分别为向量 r 在三个坐标轴上的投影，则OM=r xyz+ijk.称为向量 r 的坐标分解式，xi、yj、zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向的分向量.此时,x y z 称为向量 r 的坐标.向量的方向角、方向余弦：向量的方向角、方向余弦：非零向量 r 与三条坐标轴的夹角、称为向量 r 的方向角.、的余弦称为向量 r 的方向余弦，设 r=(x,y,z)，则 cos|x=r,cos|y=r,cos|z=r.2向量的线性运算 向量的加法：向量的加法：设有两个向量 a 与 b，平移向量使 b 的起点与 a 的终点重合，此时从 a 的起高等数学例题与习题（下册）2 点到 b 的终点的向量 c 称为向量 a 与 b 的和，记作 a+b，即 c=a+b.向量的加法在几何上符合平行四边形法则（或三角形法则）.向量的数乘：向量的数乘：向量 a 与实数的乘积记作a，规定a 是一个向量，它的模|a|=|a|，它的方向当 0 时与 a 相同，当 第 8 章 空间解析几何与向量代数 11续表 柱面方程(,)0F x y=，母线平行于z轴的柱面方程(,)0F y z=，母线平行于x轴的柱面方程(,)0F x z=，母线平行于y轴的柱面方程 旋转面方程 母线(,)00f y zx=()()2222:,0:,0zfxyzyfyxz+=+=绕 轴旋转所得旋转面方程绕 轴旋转所得旋转面方程 8.2.3 典型例题典型例题【例 1】求经过点(3,2,1)A和(1,2,3)B且与坐标平面xOz垂直的平面的方程 解：与xOz平面垂直的平面平行于y轴，方程为 0AxCzD+=（1）把点(3,2,1)A和点(1,2,3)B代入上式得 30ACD+=（2）30ACD+=（3）由（2），（3）得 2DA=,2DC=代入（1）得 022DDxzD+=消去D得所求的平面方程为 20 xz=.评注：本例考察的是平面的位置与平面一般方程的关系.一般地，若平面平行于x轴或垂直于yOz面，则0A=；若平面平行于y轴或垂直